周潔

一、教材分析

1.本課內(nèi)容分析

小學數(shù)學教學在涉及抽象概念教學時會采用幾何直觀的方法開展教學，蘇教版教材將“分數(shù)乘除法”內(nèi)容分為分數(shù)乘法和分數(shù)除法兩個部分，通過環(huán)環(huán)相扣的環(huán)節(jié)安排，加深學生的理解。在“分數(shù)乘法”的教學中，提出做一朵綢花要用米綢帶，小芳做3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米的問題，使抽象的數(shù)學概念與學生的日常生活緊密相連，增強學習的實用性。

2.橫向教材比較

在北師大版、蘇教版、人教版三個版本的教材中，“分數(shù)乘除法”都是教學的重點，教學的共同特點是它們都通過幾何直觀的方式，幫助學生清晰地理解分數(shù)的概念。通過幾何圖形的拆分、組合和轉(zhuǎn)換，學生能夠直觀地看到分數(shù)的運算過程，從而更容易掌握這些概念。此外，所有版本都強調(diào)將分數(shù)運算與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，這不僅增強了學習的趣味性，還提高了學生理解應用運算概念的能力。

二、學情分析

六年級的學生通常具備一定的數(shù)學基礎(chǔ)，已經(jīng)學會基本的四則運算和初步的分數(shù)概念，然而，對分數(shù)乘除法的學習仍面臨著一些挑戰(zhàn)。在理解分數(shù)概念的深度上，六年級學生仍然停留在對分數(shù)作為“部分整體”的直觀理解上，對于分數(shù)的更深層次概念理解不夠深入。這就需要教師在教學中通過具體的幾何直觀示例來加深學生對分數(shù)乘除法運算規(guī)律的理解。

三、教學目標

1.充分理解分數(shù)表示的意義，能熟練進行分數(shù)的乘法和除法運算，學會運算過程中的約分化簡。

2.通過解決分數(shù)乘除法相關(guān)問題，訓練邏輯思維，使其能夠獨立分析問題、尋找解決方法。

3.將分數(shù)的知識應用于解決實際生活中的問題，增強數(shù)學的應用意識。

四、教學重點

在“分數(shù)乘除法”的教學過程中，教師的教學重點是讓學生發(fā)現(xiàn)分數(shù)乘法和分數(shù)除法之間的內(nèi)在一致性。要讓學生理解分數(shù)乘除法之間的聯(lián)系，教師需要讓學生從算理的角度去探究。分數(shù)乘法在本質(zhì)上是一種“乘積”的表示，即一個數(shù)被另一個數(shù)重復取多次。而分數(shù)除法則是分數(shù)乘法的逆運算，它表示的是一種“分配”的概念，即將一個數(shù)分成幾個相等的部分。

五、教學過程

（一）借助學生知識經(jīng)驗，溫故知新導入

師：同學們，我們來回顧一下乘法的基本概念。請想一想，如果一桶水有3升，那么5桶水共有多少升？

生A：老師，我知道，這就是簡單的乘法運算。我們可以用“一桶水的體積×桶數(shù)=水的體積”的公式來計算。所以，3×5=15（升）。

師：很好，看來同學們都已經(jīng)掌握了乘法的基本概念?，F(xiàn)在我們來擴展一下這個概念，如果一桶水有3升，那半桶水是多少升呢？

生B：半桶水應該是3升的一半，所以應該是1.5升。

例題：

（1）如果一桶水有4升，那么?? 桶水是多少升？（學生列式：4×）

（2）一塊巧克力重50克，?? 塊巧克力是多少克？（學生列式：50×）

（設(shè)計意圖：通過這些練習，學生不僅復習了之前學習的乘法概念，還逐漸理解了分數(shù)乘法的本質(zhì)。）

（二）幾何直觀教學，借助圖形搞懂算理

1.分數(shù)乘整數(shù)

生B：我是用畫圖的方法來計算的。我畫了一個整體，然后把它分成10個相等的部分。我著色了其中的3部分，然后重復這個過程三次，最后統(tǒng)計著色的部分。

師：非常好，學生B用圖形來表示這個乘法，這是一種直觀的展示方法?，F(xiàn)在，讓我們看看學生B是怎樣畫的。（見圖1）

師：同學們，你們通過圖形表示了分數(shù)乘整數(shù)的過程，這幫助我們更直觀地理解了這個概念?，F(xiàn)在，讓我們再來探討一下，如果我們要進行分數(shù)乘分數(shù)的計算，我們該怎樣用圖形來表示呢？

（設(shè)計意圖：學生通過實際操作和視覺化的表達方式，能夠更深入地理解分數(shù)乘法的本質(zhì)。）

2.分數(shù)乘分數(shù)

師：同學們，現(xiàn)在我們來探索一個新問題：如果有一個長方形，它的長是0.7分米，寬是0.3分米，這個長方形的面積是多少平方分米？請嘗試列式計算。

（學生嘗試計算后，開始全班交流）

生A：我覺得可以先把分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)來計算。所以長方形的面積可以用0.7乘0.3來計算，結(jié)果是0.21平方分米。

師：這是一種很好的計算方法。但是，我們還可以用另一種方式來理解這個問題，你能用畫圖的方式來解釋你的計算過程嗎？

展示生A的圖形。（見圖2）

生A：分母10乘以10表示我們把這個圖形均勻分成100份，長為0.7分米，表示每行有7個這樣的小份額，寬為0.3分米，表示有3行這樣的小份額。所以，整個長方形覆蓋了21個這樣的小份額。

（設(shè)計意圖：使學生掌握基本的計算技巧，深化他們對這一數(shù)學概念的理解。）

3.分數(shù)除法

師：同學們，我們已經(jīng)學習了整數(shù)除法以及小數(shù)除法的相關(guān)知識?，F(xiàn)在，讓我們來看一個例子，試試看你們能否計算，請計算40除以2和0.4除以2。

學生開始計算這兩道題。

（學生計算后，教師開始引導討論）

師：你們是怎么計算的呢？能不能說出你們的計算過程和其中的道理？

生A：對于40除以2，我把它看作是4個10除以2，所以結(jié)果是2個10，即20。

生B：對于0.4除以2，我認為是4個0.1除以2，結(jié)果是2個0.1，也就是0.2。

師：很好，你們的計算是正確的。但你們提到了一個很有趣的概念——“10”和“0.1”。這些其實是我們的計數(shù)單位。在這兩個例子中，計數(shù)單位發(fā)生改變了嗎？

生：沒有改變。我們是把它前面的數(shù)字拿來除的。

師：沒錯，這是一個非常重要的觀點。我們在計算時，實際上是在操作計數(shù)單位前面的數(shù)字。現(xiàn)在，讓我們用這樣的方法來計算一個分數(shù)除法的題目。假設(shè)你有一張紙，你需要將它的七分之四平均分成2份。每份會是這張紙的幾分之幾呢？請嘗試計算。

學生開始嘗試解決這個問題。

生：每份是七分之二。

師：你是怎么算出來的呢？

生：因為4除以2等于2，所以每份是七分之二。我想的是，如果我們把紙分成7個等份，那么每份就是七分之一。在七分之四的部分，我們有4個這樣的份額，如果我們將它們平均分成2份，每份就會有2個七分之一，所以答案是七分之二。

師：這是一個非常好的解釋?，F(xiàn)在讓我們嘗試更復雜的問題。如果我們要把一張紙的七分之四平均分成3份，每份會是這張紙的幾分之幾呢？

學生嘗試計算后，教師繼續(xù)引導討論。

師：你們在解決這個問題時遇到什么困難了嗎？

生：是的，我發(fā)現(xiàn)4除以3除不盡。

師：這是一個更有挑戰(zhàn)性的問題。讓我們一起用圖形來幫助我們理解。假設(shè)我們將紙張分成7個等份，那么七分之四意味著我們有4個份額。如果我們要將這4個份額平均分成3份，我們需要理解這意味著每份不再是整數(shù)個七分之一了。讓我們嘗試在圖紙上表示這個分配過程。

師：我們將一張紙分成7個相等的部分來表示七分之一。然后，我們著色其中的4個部分來表示七分之四?，F(xiàn)在，我們需要考慮如何將這些著色部分平均分成3份。

學生在紙上繪制圖形，嘗試用視覺方法解決問題。

師：請注意，當我們嘗試將這4個份額分成3份時，我們實際上是在分割每個七分之一的部分。這意味著我們不能再將每份視為整個七分之一，而是需要將每個七分之一的部分進一步分割。

學生依據(jù)指導在紙上畫出分割的圖形。

師：很好，現(xiàn)在我們可以看到，每份實際上包含了超過一個七分之一，但又少于兩個七分之一的部分。這就是分數(shù)除以另一個分數(shù)時的復雜性。通過這個圖形，我們可以更直觀地看到每份的大致大小。

（設(shè)計意圖：教師引導學生用圖形表示分配的過程，幫助他們直觀地理解分數(shù)除法在不整除情況下的應用。）

六、教學總結(jié)

（一）辯證看待借助幾何直觀代替運算

在教學中，我們采用幾何直觀的方法來教授分數(shù)乘除法。這種方法的應用是基于布魯納的多元表征理論以及其后學者對該理論的修正。布魯納原先提出的動作表征、表象表征與符號表征，以及后來的修正——操作模型表征、圖像表征、書面符號表征，以及新增的口頭語言表征、現(xiàn)實情境表征，這些都強調(diào)學習過程中多種表征方式的重要性及其相互轉(zhuǎn)換。

（二）幾何直觀過程不適合紙筆測驗

教學實踐中展現(xiàn)了幾何直觀教學法的高效性。然而，這種方法并不適合紙筆測驗。盡管幾何直觀在課堂上非常有效，但在標準化的紙筆測試環(huán)境中，其實用性較小。紙筆測驗通常側(cè)重于評估學生的最終結(jié)果，而非思考過程。當學生在試卷上畫出直觀示意圖時，這些圖形通常只能展示問題的最終結(jié)果，而無法反映學生得出這一結(jié)果的具體思考過程。

（三）幾何直觀應逐步退出學習過程

在“分數(shù)乘除法”的教學中，我們采用了幾何直觀的方法來輔助學生理解數(shù)學概念。但教師需要認識到學生對數(shù)學知識理解的四個水平（直觀理解、程序理解、抽象理解與形式理解）。隨著學生年齡的增長，他們的思維逐漸從具象、自我中心向抽象、結(jié)構(gòu)化轉(zhuǎn)變。因此，數(shù)學學習的過程也應該相應地從依賴直觀模型逐漸過渡到更加抽象的思維方式。