田文迪

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)苡行l(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生通過“做中學(xué)”不斷積累經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識. 研究者主要從實(shí)物驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)、模擬思考型實(shí)驗(yàn)與探索發(fā)現(xiàn)型實(shí)驗(yàn)著手展開分析，并分別從如下三方面談一些思考：實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)注重科學(xué)性，內(nèi)容選擇具有實(shí)效性，實(shí)驗(yàn)方法具有探索性.

［關(guān)鍵詞］ 實(shí)驗(yàn)；教學(xué)；新課標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱“新課標(biāo)”）提出：想要讓學(xué)生從真正意義上理解并掌握數(shù)學(xué)知識，最好的方式就是將知識與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)以及其他學(xué)科知識關(guān)聯(lián)，如實(shí)驗(yàn)操作活動的開展，可讓學(xué)生通過自主操作、觀察、分析，抽象出相應(yīng)的知識. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指手腦協(xié)作學(xué)習(xí)的過程，一般會用到一些輔助工具，如剪刀、模型、測量工具等，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)探索提升解題能力，發(fā)展創(chuàng)新意識.實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅能深化學(xué)生對知識與技能的理解，還能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題，為發(fā)展問題意識創(chuàng)造條件，這也是創(chuàng)新思維形成的依據(jù).

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是指為了讓學(xué)生自主檢驗(yàn)?zāi)撤N猜想或結(jié)論的正確性，規(guī)劃實(shí)驗(yàn)的過程. 究竟該如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)?？考慮到數(shù)學(xué)是思維的體操，因此在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，就應(yīng)以思維的發(fā)展作為首要目標(biāo)，即在突出學(xué)生思維參與度的基礎(chǔ)上，借助相應(yīng)的科學(xué)方法引發(fā)學(xué)生的探索，為發(fā)展數(shù)學(xué)思維做好鋪墊. 學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中產(chǎn)生猜想，而后驗(yàn)證猜想，從而獲得有待于嚴(yán)謹(jǐn)論證的命題或解題思路. 常見的實(shí)驗(yàn)方法有如下幾種：

（一）實(shí)物驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)

實(shí)物驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)是指基于實(shí)物的直觀特征進(jìn)行驗(yàn)證性的實(shí)驗(yàn)，此類實(shí)驗(yàn)是幫助學(xué)生驗(yàn)證已得結(jié)論或猜想正確與否的重要方式，一般遵循“提出問題—動手操作—觀察分析—結(jié)論驗(yàn)證”四個(gè)環(huán)節(jié). 學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)思維障礙在所難免，這些障礙主要緣自對實(shí)物的觀察. 教師將這些障礙設(shè)置成問題，則能引發(fā)學(xué)生的思考，而解決問題的主要措施為科學(xué)猜想與合情推理. 實(shí)物驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)是驗(yàn)證猜想和判斷正確與否的基本方法. 它可讓一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象直觀呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生從中感知結(jié)論的正確性，從而構(gòu)建完整的認(rèn)知體系，形成良好的數(shù)學(xué)思維.

觀察是思維的起點(diǎn)，也是形成感性認(rèn)識的源頭，任何知識的形成都從觀察開始. 觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象可獲得直觀的感性材料，學(xué)習(xí)者通過對這些材料的抽象概括與推理等，可對所觀察的事物從感性認(rèn)識逐漸上升到理性認(rèn)識. 鑒于初中階段學(xué)生所接觸到的數(shù)學(xué)知識大部分都有直觀背景，因此借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可還原知識的形成背景，讓學(xué)生在直觀中抽象并建構(gòu)新知. 因此，直觀、簡單易操作與思維起點(diǎn)低是實(shí)物驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)的基本特點(diǎn).

案例1? “多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)目的 引導(dǎo)學(xué)生親歷操作、觀察、分析與思考過程，對“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”形成直觀的感性認(rèn)識，以幫助學(xué)生更好地理解其運(yùn)算法則.

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備 準(zhǔn)備若干張圖1所示的長方形卡紙.

實(shí)驗(yàn)要求 ①四種不同規(guī)格的卡紙各取1張，拼成一個(gè)大長方形.

②怎樣用式子來描述拼接而成的長方形（見圖2）的面積？寫出結(jié)論并交流.

③嘗試用不同的方法來計(jì)算拼成的大長方形的面積. 若將圖2視為一個(gè)長方形，面積為（a+b）（c+d）；若將圖2視為四個(gè)小長方形，總面積則為ac+ad+bc+bd，由此可以發(fā)現(xiàn)什么？

④請從運(yùn)算的角度來推導(dǎo)獲得的結(jié)論.

⑤通過獲得的結(jié)論來計(jì)算式子（a+b）（c+2d），而后拼圖驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果是否正確.

拼圖操作的實(shí)驗(yàn)，簡便、直觀，學(xué)生容易上手. 一個(gè)小小的實(shí)驗(yàn)就將抽象的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則直觀地展示在學(xué)生面前，這是促使學(xué)生從感性認(rèn)識轉(zhuǎn)化到理性認(rèn)識的過程. 驗(yàn)證過程直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生對所獲得的結(jié)論有著深刻印象，為新知建構(gòu)夯實(shí)了基礎(chǔ). 由此可見，實(shí)物驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)完美地詮釋了歸納總結(jié)與演繹的過程，強(qiáng)化了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的體驗(yàn)與感悟.

（二）模擬思考型實(shí)驗(yàn)

模擬思考型實(shí)驗(yàn)是指通過對情境的模擬，讓學(xué)生基于情境背景展現(xiàn)真實(shí)的心理狀態(tài)與行為反應(yīng)，并對結(jié)果進(jìn)行探究的過程. 有些數(shù)學(xué)知識的探究，純粹憑借觀察無法獲得結(jié)論，模擬思考型實(shí)驗(yàn)則能人為地控制研究對象，讓學(xué)生模仿實(shí)驗(yàn)的一些條件進(jìn)行操作，發(fā)展思維，為知識的建構(gòu)夯實(shí)基礎(chǔ).

新課標(biāo)認(rèn)為新課改背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)可借助先進(jìn)的信息技術(shù)手段整合教學(xué)內(nèi)容，通過對實(shí)物模型的模擬，開發(fā)學(xué)生智力，發(fā)展學(xué)生思維，提高教學(xué)實(shí)效. 教學(xué)過程中，若遇到一些動態(tài)且難以想象的問題，教師可帶領(lǐng)學(xué)生借助計(jì)算機(jī)模擬真實(shí)情境，呈現(xiàn)實(shí)物模型，促使學(xué)生從中開闊思維，進(jìn)而順利解決問題.

案例2? “有理數(shù)的加法”的教學(xué)

有理數(shù)是學(xué)生到初中階段最開始接觸的內(nèi)容，是數(shù)的擴(kuò)充，對于學(xué)生而言確實(shí)偏抽象. 為了讓學(xué)生從根本上掌握有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，筆者在課堂中設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過程：

問題 已知A、B兩個(gè)球隊(duì)進(jìn)行足球比賽，A隊(duì)位于主場時(shí)，以4 ∶ 1贏3個(gè)球獲勝；位于客場時(shí)，以1 ∶ 3輸了2個(gè)球，將兩場比賽累計(jì)起來計(jì)算，A隊(duì)凈勝1個(gè)球. 若A隊(duì)于主場以1 ∶ 3輸2個(gè)球，于客場以4 ∶ 1贏3個(gè)球，兩場比賽累計(jì)A隊(duì)凈勝1個(gè)球. 請用算式表示以上兩種數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生初次看到本題，感到無從下手. 為了有效啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生從模擬實(shí)驗(yàn)中感知數(shù)據(jù)的變化情況，筆者設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)操作：

實(shí)驗(yàn)1 將筆尖置于數(shù)軸的原點(diǎn)位置，先沿著數(shù)軸的正方向移動3個(gè)單位，再往反（負(fù)）方向移動2個(gè)單位，觀察此時(shí)筆尖所處的位置是什么？畫圖并用算式表示.

實(shí)驗(yàn)2 將筆尖置于數(shù)軸的原點(diǎn)位置，沿著數(shù)軸的負(fù)方向移動2個(gè)單位，而后再向正方向移動3個(gè)單位，觀察此時(shí)筆尖所處的位置，并畫圖用算式表示.

該實(shí)驗(yàn)根據(jù)問題改編而來，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生通過筆尖的移動來感知問題所表達(dá)的本質(zhì)，體會點(diǎn)的運(yùn)動方向所代表的實(shí)際意義，以及移動的距離對結(jié)論會產(chǎn)生怎樣的影響，從而感悟有理數(shù)加法的運(yùn)算法則.

實(shí)際上，有些問題被數(shù)學(xué)客觀條件所制約，導(dǎo)致問題的動態(tài)性、客觀性難以通過想象刻畫出來. 借助實(shí)物模型或計(jì)算機(jī)，則能創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，讓學(xué)生在特定的環(huán)境中親歷動手操作，直觀感知數(shù)學(xué)事物的客觀現(xiàn)象，并且靈活判斷、描述、預(yù)測這些現(xiàn)象，積累活動經(jīng)驗(yàn)，為解決問題服務(wù).

（三）探索發(fā)現(xiàn)型實(shí)驗(yàn)

探索發(fā)現(xiàn)型實(shí)驗(yàn)是指從事某項(xiàng)開創(chuàng)性的研究工作時(shí)，為未知事物的現(xiàn)象、規(guī)律、性質(zhì)所創(chuàng)設(shè)的實(shí)踐活動. 這種實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，對幫助學(xué)生建構(gòu)新知，掌握知識本質(zhì)具有重要意義. 同時(shí)，這種實(shí)驗(yàn)方法還能有效促進(jìn)學(xué)生的觀察與思維能力的發(fā)展，對提升數(shù)學(xué)探索精神具有重要價(jià)值.

數(shù)學(xué)中存在很多問題需要學(xué)生自主分析與計(jì)算，學(xué)生可從探究發(fā)現(xiàn)型實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事物間存在的規(guī)律，提出自己的猜想，并加以驗(yàn)證. 因此，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平設(shè)計(jì)恰如其分的實(shí)驗(yàn)活動，不僅能幫助學(xué)生提煉從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，還能帶領(lǐng)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)感知數(shù)學(xué)模型思想.

案例3? 用正方形紙板制作無蓋的長方體紙盒使得容積最大

探究問題 如圖3，是不是剪下的小正方形的邊長x越大，最終形成的無蓋長方體的紙盒容積就越大？

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

（1）寫出最終所形成的長方體紙盒的容積與剪掉的小正方形邊長x的關(guān)系式.

（2）用邊長a為20厘米的正方形硬紙板制作無蓋長方體紙盒，若剪下的小正方形的邊長x分別取1～9（厘米）時(shí)，請求出最終制作而成的紙盒容積. 分析取不同的值時(shí)，容積的變化規(guī)律.

（3）嘗試用邊長a為20厘米的正方形紙板制作出容積盡可能大的長方體無蓋紙盒. 分析是不是剪下的小正方形邊長越大，最終制作而成的長方體紙盒的容積就越大？

（4）探索剪下的小正方形邊長為多少時(shí)，最終制作而成的長方體紙盒的容積最大？說說你的猜想.

（5）嘗試借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，驗(yàn)證猜想.

教師知道剪下小正方形的邊長為n/6時(shí)，所制作的長方體紙盒有最大容積. 但初中階段的學(xué)生確實(shí)難以發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)據(jù)，更談不上理解了. 因此，通過剪紙、折疊實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，可讓學(xué)生通過對不同數(shù)據(jù)的觀察、度量與計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，最終發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).

此過程中，探究發(fā)現(xiàn)型實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)讓學(xué)生不僅親歷了知識的形成過程，還從真正意義上理解了概念本質(zhì). 借助實(shí)驗(yàn)來探索未知，揭露數(shù)學(xué)規(guī)律是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思想的根本. 這樣的過程也是開闊學(xué)生視野，彰顯數(shù)學(xué)魅力的過程.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的思考

（一）實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)注重科學(xué)性

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的核心目標(biāo)在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是體現(xiàn)課堂基本理念的表現(xiàn). 我們在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)，需注重科學(xué)性原則，避免出現(xiàn)將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等同于物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)的情況，更不可讓實(shí)驗(yàn)過程成為優(yōu)等生的專場，而應(yīng)結(jié)合所有學(xué)生的認(rèn)知水平與思維狀況，設(shè)計(jì)合理的目標(biāo).

從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律來看，數(shù)學(xué)直觀是指在一定事物的作用下，學(xué)生在頭腦中對教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生感性認(rèn)識的過程. 雖說直觀是促使感性認(rèn)識產(chǎn)生的基礎(chǔ)，但它也是思維的出發(fā)點(diǎn)，是將感性上升到理性的開端. 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的本意就是要帶領(lǐng)學(xué)生從直觀中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，揭露其中的規(guī)律，發(fā)展思維. 也就是通過實(shí)驗(yàn)可以獲得什么？如何獲得？怎樣驗(yàn)證等.

基于實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)來分析，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需著重關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異與思維發(fā)展情況. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅有外顯的操作活動，還有思維層面的活動. 實(shí)驗(yàn)過程可通過幾何體模型或計(jì)算機(jī)等工具，揭露知識本質(zhì)與規(guī)律，學(xué)生從中獲得的是成果的鑒定與價(jià)值的評估，因此這是一種發(fā)現(xiàn)，是創(chuàng)新，也是成果. 但每個(gè)學(xué)生的思維水平受家庭、教育等綜合因素的影響，有著顯著的差異，那么數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就要關(guān)注每個(gè)學(xué)生的具體情況，將新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“讓每個(gè)學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得不同程度的發(fā)展”落到實(shí)處. 因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需秉承多元價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)，而非統(tǒng)一的要求.

（二）內(nèi)容選擇具有實(shí)效性

有些教師在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，只關(guān)注學(xué)生的活動情況與實(shí)驗(yàn)本身，卻忽略了實(shí)驗(yàn)的“數(shù)學(xué)化”過程，導(dǎo)致無法順利揭露數(shù)學(xué)知識本質(zhì)或數(shù)學(xué)思想，那么這種設(shè)計(jì)充其量只是一種“注入式”模式，與如今的新課標(biāo)要求背道而馳. 甚至有些教師為了“實(shí)驗(yàn)”而“實(shí)驗(yàn)”，不管什么教學(xué)內(nèi)容都要帶領(lǐng)學(xué)生動手折疊、剪拼等，其實(shí)這是對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的片面理解，并不能讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)起到該有的作用. 真正意義上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是關(guān)注教學(xué)“實(shí)效性”的實(shí)驗(yàn)，具有“數(shù)學(xué)化”的過程.

弗賴登塔爾提出：概念教學(xué)并不一定要按照其發(fā)展順序不加刪除地教，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn). 課堂教學(xué)面對的是全體學(xué)生，并不是所有內(nèi)容都適合用實(shí)驗(yàn)法去探究，有些通過自主閱讀就能掌握的知識，就不需要耗費(fèi)時(shí)間去做實(shí)驗(yàn). 根據(jù)教學(xué)實(shí)際需求合理安排實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，展開實(shí)驗(yàn)活動是提高教學(xué)效率的根本.

（三）實(shí)驗(yàn)方法具有探索性

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，任何知識的建構(gòu)都離不開精確的探索與研究. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展是為了揭露知識本質(zhì)，那么除了目標(biāo)的科學(xué)性與內(nèi)容的實(shí)效性，實(shí)驗(yàn)方法也必須恰當(dāng). 不論哪種實(shí)驗(yàn)方法，都需具有一定的探索價(jià)值. 實(shí)驗(yàn)是聯(lián)系理論與實(shí)踐的橋梁，是驗(yàn)證或推翻猜想的紐帶，是發(fā)現(xiàn)新知，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造的基礎(chǔ). 學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可發(fā)現(xiàn)知識本質(zhì)與數(shù)學(xué)規(guī)律，因此具有探究意義的探究方法是推進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的原動力.

總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)會隨著研究的變化而變化，教師應(yīng)充分了解學(xué)情與知識的發(fā)生發(fā)展情況，有目的地加工已有的素材，挖掘出合適的實(shí)驗(yàn)成分，催生學(xué)生的思維，讓每個(gè)學(xué)生都能在實(shí)驗(yàn)中獲得不同程度的發(fā)展.