徐彬

［摘? 要］ 指向核心素養(yǎng)的大單元教學(xué)設(shè)計(jì)需整合教材內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平設(shè)計(jì)教學(xué)方案. 研究者從大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的前期準(zhǔn)備出發(fā)，以“完全平方公式”的教學(xué)為例，分別從如下幾方面談?wù)剬?shí)踐與感悟：舊知復(fù)習(xí)，新課導(dǎo)入；新知構(gòu)建，形成體系；舉例應(yīng)用，鞏固提升；背景拓展，深化理解.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；大單元；教學(xué)

對(duì)知識(shí)點(diǎn)的“了解—識(shí)記—理解—應(yīng)用”已經(jīng)無法滿足核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，新課標(biāo)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)將培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)品格與價(jià)值觀等作為教學(xué)的主要任務(wù)，這就要求學(xué)生關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系，能用所學(xué)知識(shí)來正確、持續(xù)地處理問題. 大單元教學(xué)也在這種背景下誕生.

大單元教學(xué)是指從知識(shí)層面出發(fā)，將具有一定聯(lián)系的小單元整合在一起，形成一個(gè)整體性的大單元來實(shí)施教學(xué)，學(xué)生在這種背景下從整體上把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，理解知識(shí)間的聯(lián)系. 那么，究竟哪些內(nèi)容適合應(yīng)用大單元教學(xué)呢？實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，“完全平方公式”這部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，應(yīng)用大單元教學(xué)效果頗佳.

大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的前期準(zhǔn)備

1. 怎樣確定大單元

以學(xué)期大單元的確定為例，一般需結(jié)合如下三點(diǎn)來確定大單元：①認(rèn)真研讀教材，觀察知識(shí)結(jié)構(gòu)，弄清課標(biāo)要求與學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，借助可利用的教學(xué)資源在規(guī)定課時(shí)內(nèi)確定單元數(shù)量；②根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所提出的要求，分析大單元名稱與邏輯關(guān)系，思考是以大項(xiàng)目、大問題、大觀念，還是以大任務(wù)來統(tǒng)率教學(xué)；③一個(gè)大單元至少要對(duì)接一個(gè)明確的核心素養(yǎng)，并按照某種邏輯、項(xiàng)目、觀念或問題將知識(shí)結(jié)構(gòu)化.

2. 如何設(shè)計(jì)大單元

當(dāng)確定了學(xué)期大單元的數(shù)量與名稱后，教師就可帶領(lǐng)學(xué)生設(shè)計(jì)教學(xué)方案，這種方案講究結(jié)構(gòu)性與完整性. 一般情況下，設(shè)計(jì)大單元方案時(shí)需交代清楚如下六個(gè)問題：①名稱與課時(shí)；②教學(xué)目標(biāo)；③評(píng)價(jià)任務(wù)；④學(xué)習(xí)過程；⑤練習(xí)訓(xùn)練；⑥學(xué)后反思. 滿足以上六點(diǎn)的教學(xué)方案體現(xiàn)了大單元教學(xué)的專業(yè)性，整個(gè)過程都以學(xué)生為中心，從希望學(xué)生“學(xué)會(huì)什么”轉(zhuǎn)化為“何以學(xué)會(huì)”，這為發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ).

3. 任務(wù)的介入方法

傳統(tǒng)的雙向細(xì)目表、識(shí)記、理解或簡(jiǎn)單應(yīng)用等都無法從真正意義上發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)的是真實(shí)學(xué)習(xí)，需將真實(shí)的情景與任務(wù)介入課堂中，啟發(fā)學(xué)生的思維. 這里的“真實(shí)”存在如下幾層意思：①將真實(shí)世界直接應(yīng)用到課堂中，踐行數(shù)學(xué)生活化的理念；②踐行“知行合一”的學(xué)習(xí)理念，讓學(xué)生體悟知識(shí)源自真實(shí)情境；③讓學(xué)生實(shí)實(shí)在在地“做事”是評(píng)估核心素養(yǎng)的主要措施.

實(shí)施措施

1. 舊知復(fù)習(xí)，新課導(dǎo)入

問題1請(qǐng)大家回顧多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，說一說是怎樣用字母表示的？又是如何用幾何圖形表示的？

此為引導(dǎo)學(xué)生提取舊知的問題，簡(jiǎn)單多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則用字母表示為：x+p（y+q）=xy+xq++pq+py；用幾何圖形表示見圖1.

問題2圖1所展示的四個(gè)長(zhǎng)方形，若將其中一個(gè)轉(zhuǎn)化成正方形，也就是當(dāng)x=y時(shí)乘法公式會(huì)不會(huì)發(fā)生變化？怎樣變化？

此問的結(jié)論為：在x=y的時(shí)候，乘法公式則轉(zhuǎn)化為（x+p）（x+q）=x2+qx+pq+px=x2+（p+q）x+pq.

設(shè)計(jì)意圖這兩個(gè)問題意在引發(fā)學(xué)生回顧整式乘法法則，大部分學(xué)生并沒有意識(shí)到這兩個(gè)問題對(duì)研究完全平方公式具有什么作用，教師以這兩個(gè)問題作為教學(xué)的鋪墊，可為接下來的教學(xué)奠定基礎(chǔ).

問題3請(qǐng)分別結(jié)合如下條件求（x+p）（x+q）的值，同時(shí)分析p，q的值.

①p=1，q=-1；②p=，q=-；③p=-2m，q=2m；④p=-m，q=m.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生自主解決此問時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)每一個(gè)結(jié)論均以平方差的形式呈現(xiàn)，當(dāng)p，q互為相反數(shù)的時(shí)候，獲得平方差公式為（a+b）（a-b）=a2-b2. 顯然，此問有效揭露了教學(xué)主題，為接下來的探索明確了方向.

2. 新知構(gòu)建，形成體系

問題4p，q互為相反數(shù)屬于特殊情況，若p，q相等，會(huì)怎樣呢？

解析若p=q，（x+p）（x+q）則可轉(zhuǎn)化為完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，讓學(xué)生體會(huì)（a+b）2的值的產(chǎn)生原理：結(jié)合乘法公式或?qū)ⅲ╝-b）2視為［a+（-b）］2來運(yùn)算，可得（a-b）2=a2-2ab+b2.

設(shè)計(jì)意圖此問的提出，意在將平方差公式和完全平方公式從真正意義上融進(jìn)整式乘法這個(gè)大單元中，揭露它們之間的關(guān)系為：完全平方公式與平方差公式，這兩者均為整式乘法中的特殊類型，由此引導(dǎo)學(xué)生體悟章節(jié)知識(shí)的系統(tǒng)性與連貫性特征.

問題5嘗試總結(jié)完全平方與平方差公式等號(hào)兩邊的結(jié)構(gòu)特征，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表達(dá)完全平方公式.

根據(jù)式子（a+b）2=a2+2ab+b2與（a-b）2=a2-2ab+b2，學(xué)生自主總結(jié)出等號(hào)左邊為二項(xiàng)式的平方，右邊都是三項(xiàng)式，且均含有兩項(xiàng)乘積的2倍與平方和. 由此學(xué)生用文字語(yǔ)言表述為：兩個(gè)數(shù)的和或差的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加或減掉它們乘積的兩倍.

設(shè)計(jì)意圖類比分析不僅讓學(xué)生明確了完全平方與平方差公式的一般形式，還進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)公式意義的理解，學(xué)生在此過程中通過合作交流不僅獲得了團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識(shí)，還進(jìn)一步發(fā)展了邏輯思維，提升了學(xué)力.

3. 舉例應(yīng)用，鞏固提升

例1請(qǐng)用完全平方公式來計(jì)算下列各式：

①（3x-3）2；

②（3x+4y）2；

③

3x-2.

設(shè)計(jì)意圖三個(gè)典型式子的提出，一方面鞏固學(xué)生對(duì)完全平方公式的理解與應(yīng)用，另一方面考查學(xué)生的應(yīng)變能力，讓學(xué)生的思維隨著式子的變化拾級(jí)而上，促使學(xué)生通過解題進(jìn)一步明確公式中的a，b所對(duì)應(yīng)的量，這是發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的基礎(chǔ).

鞏固提升（1）判斷下列式子是否正確，若存在錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)改正.

①（x+3）2=x2+9（? ? ?）；②（3m-2）2=3m2-12m+4（? ? ?）；③

x+42=x+2x+16（? ? ?）；④（-a-3）2=a2-6a+9（? ? ?）.

設(shè)計(jì)意圖易錯(cuò)問題羅列到一起讓學(xué)生自主辨析，可幫助學(xué)生更好地理解公式的內(nèi)涵. 這四個(gè)式子均不正確，存在的問題分別為：式子①將2·x·3漏掉了；式子②沒有把“3m”視為整體；式子③遺漏了2·x·4中的系數(shù)2；式子④為常見錯(cuò)誤類型，沒有將公式中的a，b分別代表誰(shuí)搞清楚.

（2）計(jì)算下列各式：

①

2xy+x2；②（n-2）2-n2.

設(shè)計(jì)意圖這兩道計(jì)算題具有一定的代表意義，屬于易錯(cuò)類型. 教師選擇一些典型計(jì)算過程進(jìn)行投影，以引導(dǎo)學(xué)生自主思辨正確的計(jì)算方法. 對(duì)于式子②，可用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，也可借助平方差公式的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算. 教師將不同方法展示出來，引導(dǎo)學(xué)生切身感知不同計(jì)算方法的優(yōu)劣勢(shì)，以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)與思辨能力.

4. 背景拓展，深化理解

問題6平方差公式存在一定的幾何背景，那么完全平方公式能不能通過幾何圖形來驗(yàn)證呢？

活動(dòng)1要求學(xué)生用課前準(zhǔn)備好的4張A套卡片進(jìn)行拼接擺放，形成一個(gè)正方形，圖形間不可存在重疊或空隙.

如圖2，學(xué)生自主擺放，最終形成的大正方形面積存在如下兩種計(jì)算方法：①用直接法計(jì)算，S=（a+b）2；②用間接法計(jì)算，S=a2+2ab+b2. 根據(jù)這兩個(gè)式子，可確定（a+b）2=a2+2ab+b2.

活動(dòng)2要求學(xué)生用課前準(zhǔn)備好的3張B套卡片拼出一個(gè)大正方形，圖形間允許出現(xiàn)重疊情況.

學(xué)生自主擺放，如圖3所示，確定重疊部分的面積是b2，那么面積計(jì)算方法有：①用直接法列式為S=（a-b）2；②用間接法列式為S=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.

問題7通過以上分析，大家說說完全平方公式間具有什么聯(lián)系，請(qǐng)嘗試推導(dǎo)這種聯(lián)系間的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生自主思考并討論，列式為：（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a-b）2=a2-2ab+b2.通過類比分析，一致得出如下結(jié)論：（a-b）2較（a+b）2少4ab，也就是（a-b）2=（a+b）2-4ab.

活動(dòng)3要求學(xué)生用課前準(zhǔn)備好的4張C套卡片來擺放大正方形，圖形間不可存在重疊情況，允許有空隙存在.

如圖4，拼接而成的大正方形面積為中間空白部分的面積加上四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即S=S+4S，也就是（a+b）2-（a-b）2=4ab.

設(shè)計(jì)意圖? 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》再三強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的重要性，明確提出教師應(yīng)創(chuàng)造條件為學(xué)生提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，讓每個(gè)學(xué)生都能在實(shí)操中動(dòng)手動(dòng)腦，提升創(chuàng)新意識(shí). 此環(huán)節(jié)，教師提出不同拼圖要求，讓學(xué)生切身感知完全平方公式的幾何意義，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的抽象素養(yǎng)、邏輯推理能力、直觀想象力等均有重要價(jià)值.

問題8以小組為單位，設(shè)計(jì)（a+b+c）2的幾何圖形，說說你們由此獲得的結(jié)論.

學(xué)生基于（a+b）2=a2+2ab+b2，自主發(fā)現(xiàn)了（a+b+c）2的本質(zhì)就是將原本以（a+b）作為邊長(zhǎng)的正方形進(jìn)行擴(kuò)充，形成邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形（見圖5），那么（a+b+c）2=a2+2ab+b2+2ac+c2+2bc.

設(shè)計(jì)意圖問題背景的拓展進(jìn)一步發(fā)散了學(xué)生的思維，讓學(xué)生對(duì)完全平方公式形成了更深刻的理解與靈活應(yīng)用. 除此之外，教學(xué)拓展也有效促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

實(shí)踐感悟

指向核心素養(yǎng)發(fā)展的大單元教學(xué)的備課，需將當(dāng)堂課置于該單元、整本教材或整個(gè)中學(xué)階段數(shù)學(xué)體系中進(jìn)行設(shè)計(jì)，以引導(dǎo)學(xué)生從真正意義上理解知識(shí)特點(diǎn)、作用與地位等，為提升學(xué)力，發(fā)展核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

完全平方公式和平方差公式從本質(zhì)上來說，均隸屬于整式乘法范疇中的兩種特殊情況，即（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，當(dāng)p，q互為相反數(shù)時(shí)，可將乘法公式轉(zhuǎn)化為平方差公式；而當(dāng)p，q相等時(shí)，又可將乘法公式轉(zhuǎn)化成完全平方公式. 事實(shí)上，教師將這兩種特殊情況羅列出來，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度與整體的視角來理解完全平方公式以及平方差公式，而非將它們割裂. 這也是大單元教學(xué)的意義所在.

回顧本節(jié)課的活動(dòng)3，該環(huán)節(jié)討論的是（a+b）2和（a-b）2之間存在怎樣的聯(lián)系，應(yīng)用代數(shù)法能發(fā)現(xiàn)它們之間所包含的數(shù)量關(guān)系，而通過對(duì)幾何圖形面積的研究，可進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這種聯(lián)系的認(rèn)識(shí). 如圖6所示，將四個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線依次連接，獲得勾股定理的證明圖形. 這一發(fā)現(xiàn)，讓課堂充滿了生機(jī)與活力.

總之，大單元教學(xué)需跳出課堂的局限性，應(yīng)立足于教情、學(xué)情與考情，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)從宏觀的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，這是提升課堂教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.