高峰君

［摘? 要］ 在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)重視挖掘知識的銜接點、生長點，有意識地引導(dǎo)學(xué)生將零散的知識串聯(lián)起來，進(jìn)而打通各章節(jié)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生通過經(jīng)歷知識、方法、思想的提煉、補充、優(yōu)化，更好地建構(gòu)知識體系和方法系統(tǒng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 知識體系；內(nèi)在聯(lián)系；架構(gòu)；高效復(fù)習(xí)

問題提出

復(fù)習(xí)課在數(shù)學(xué)教學(xué)中是必不可少的，其是鞏固知識、強化技能、提煉數(shù)學(xué)思想方法、建構(gòu)知識體系的重要途徑. 在新知教學(xué)后，教師有必要通過階段性復(fù)習(xí)、章節(jié)復(fù)習(xí)等幫助學(xué)生進(jìn)行知識的梳理，以此優(yōu)化學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生解決問題的能力. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師習(xí)慣于進(jìn)行知識的羅列和例題的強化，使得復(fù)習(xí)課堂變成了新授課、講評課、培優(yōu)課. 另外，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，大多數(shù)教師喜歡逐章逐節(jié)復(fù)習(xí)，這樣容易忽視不同章節(jié)之間的聯(lián)系，影響知識體系的系統(tǒng)化建構(gòu)，從而影響學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展. 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生挖掘知識間的內(nèi)在聯(lián)系，主動建構(gòu)知識體系，提煉數(shù)學(xué)思想方法，以此打造高品質(zhì)的“后建構(gòu)”課堂. 筆者以“由所想……”為例，談?wù)剬ζ谀?fù)習(xí)教學(xué)的一些認(rèn)識和理解，以供參考.

教學(xué)實施與分析

1. 問題驅(qū)動，初步建構(gòu)

問題1：看到，你能想到什么？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)進(jìn)行充分的聯(lián)想. 大多數(shù)學(xué)生由想到了無理數(shù)，其近似值為1.414. 在此基礎(chǔ)上，教師順勢引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“實數(shù)”相關(guān)知識的整理與歸納. 也有學(xué)生由聯(lián)想到了腰長為1的等腰直角三角形，其斜邊長為. 教師引導(dǎo)學(xué)生將該直角三角形進(jìn)行翻折、旋轉(zhuǎn)等變換，由此將其與全等三角形、軸對稱圖形等相關(guān)知識建立聯(lián)系，逐漸形成以為中心的知識框架圖（如圖1）.

設(shè)計說明? 該環(huán)節(jié)教師以為主線，讓學(xué)生充分聯(lián)想，積極交流，將相關(guān)知識有效地串聯(lián)在一起，為后續(xù)的研究和知識體系的建構(gòu)打下了堅實的基礎(chǔ). 同時的起點低、入口寬，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，易于調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性，為學(xué)生的全面發(fā)展提供了前提.

2. 活動探究，深度理解

問題2：如果用“二分法”來估算的近似值，你會嗎？它的小數(shù)部分是多少？（精確到0.001）

師生活動：本環(huán)節(jié)不是考查學(xué)生是否掌握了一些常用無理數(shù)的近似值，也不是簡單地考查“二分法”的概念，而是引導(dǎo)學(xué)生用“二分法”解決問題，提高學(xué)生分析和解決問題的能力. 教學(xué)中，教師先讓學(xué)生思考的大致范圍，然后呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程，其過程大致如下：因為12<2<22，所以是一個大于1且小于2的數(shù)；在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步縮小范圍，其上限與下限的平均值的平方為2=1.52=2.25，所以1<<1.5；按照該方法繼續(xù)縮小范圍，其取值范圍的上限與下限的平均值的平方為2=1.252≈1.56，所以1.25<<1.5；以此類推，逐步縮小范圍，按照要求得到的近似值為1.414，其小數(shù)部分為0.414，即-1. 利用二分法得到的近似值后，教師鼓勵學(xué)生課后利用“二分法”來估算、的近似值.

設(shè)計說明? 根據(jù)已有經(jīng)驗，學(xué)生可以直接給出的近似值，但是對其為何是1.414勢必含糊不清. 要知道復(fù)習(xí)教學(xué)不是新知識教學(xué)的簡單重復(fù)，而是在鞏固與強化基礎(chǔ)上的拓展與深化. 這樣以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為出發(fā)點，讓學(xué)生估算的近似值，能讓他們充分感受無理數(shù)的無限性，促進(jìn)原有知識的鞏固、優(yōu)化與發(fā)展. 教學(xué)中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生將的小數(shù)部分的近似值0.414與準(zhǔn)確值-1相比較，明確兩者的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與深刻性.

問題3：如何證明是無理數(shù)？

師生活動：教師讓學(xué)生重新閱讀教材中“證明是無理數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容，初步理解反證法的基本步驟. 學(xué)生閱讀后，教師讓學(xué)生簡述證明過程，提煉關(guān)鍵點. 從學(xué)生的反饋來看，在反證過程中，學(xué)生對假設(shè)為有理數(shù)而寫成的形式難以理解（m，n互質(zhì)）. 基于此，教師組織學(xué)生對其進(jìn)行深入的探究，以此消除學(xué)生之所惑，攻克“證明是無理數(shù)”這一難題.

設(shè)計說明? 教學(xué)中，教師組織學(xué)生自主閱讀材料，其作用有如下幾點：一是讓學(xué)生初步理解反證法，掌握反證法的基本步驟；二是深化對無理數(shù)與有理數(shù)定義的理解；三是回歸教材，充分發(fā)揮教材的功能，讓學(xué)生通過自主閱讀提煉知識與方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的自主學(xué)習(xí)能力.

3. 滲透文化，激發(fā)興趣

簡述勾股定理、商高定理和畢達(dá)哥拉斯定理的由來，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)是一個發(fā)展變化的過程，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、敢于探索的品質(zhì).

設(shè)計說明? 數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，其在激發(fā)學(xué)生探究欲，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識等方面發(fā)揮著重要的作用. 同時，教學(xué)中通過滲透數(shù)學(xué)文化，可以很好地調(diào)節(jié)課堂氣氛和課堂節(jié)奏，從而促進(jìn)高質(zhì)量課堂教學(xué)活動的落實.

4. 活動探究，遷移運用

活動1：如圖2，將A4紙ABCD沿EC折疊，使BC邊落在CD邊上. 沿過點C的直線繼續(xù)翻折，使CE邊落在直線CD上.

問題4：如圖3，若點E與點D恰好重合，且BC=1，求CD的長.

活動2：用直尺測量A4紙的長和寬.

問題5：計算A4紙長與寬的比. （精確到0.001）

師生活動：教學(xué)中，教師預(yù)留時間讓學(xué)生動手操作，不難發(fā)現(xiàn)若按活動1步驟操作，則當(dāng)點E與點D恰好重合，CD與CE恰好重疊，可知A4紙的長與寬之比為：1. 按照活動2步驟操作，通過測量可得A4紙的長和寬分別約297 mm和210 mm，由此得到A4紙的長與寬之比約為1.414. 這樣通過具體操作，不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了A4紙中蘊含著的秘密，而且可以讓學(xué)生更好地感悟近似值與準(zhǔn)確值的區(qū)別與聯(lián)系. 在此基礎(chǔ)上，教師還可以讓學(xué)生通過折疊和測量探索A3紙中蘊含的秘密，然后順勢介紹A系列紙的共同特點，即其長和寬之比為 ∶ 1. 根據(jù)A系列紙的這一共同特征，引導(dǎo)學(xué)生與相似建立聯(lián)系，由此為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆.

設(shè)計說明? 教學(xué)中，教師讓學(xué)生通過動手折、動手量等活動經(jīng)歷A4紙長寬比的探究過程，充分挖掘A4紙中蘊含的秘密，進(jìn)一步理解近似值與準(zhǔn)確值之間的區(qū)別與聯(lián)系. 在動手折的過程中，將全等三角形、軸對稱、勾股定理等相關(guān)內(nèi)容融于一體，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的探究性、趣味性，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 同時，在此過程中，教師有意識引導(dǎo)學(xué)生探究A3紙的長寬比，由此引出相似的相關(guān)特征，為接下來探索相似做好充足的知識儲備. 另外，以生活實例為切入點，讓學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)無處不在，充分感知數(shù)學(xué)在生活中的價值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

5. 深度探究，拓展延伸

問題6：如圖3，當(dāng)點E與點D恰好重合時，若BC=1，AG是否可求？

師生活動：教學(xué)中，教師預(yù)留充足的時間讓學(xué)生思考，并鼓勵學(xué)生嘗試應(yīng)用不同的方法解決問題.

解法1：根據(jù)翻折性質(zhì)易得△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=45°，由對稱性可得四邊形AECG與四邊形A′DCG完全重合，所以∠A′DC=∠AEC=135°，從而得到∠A′DG=45°，因此△A′DG是等腰直角三角形，有DG=A′D=AE=（-1）=2-. 所以AG=AD-DG=1-（2-）=-1.

解法2：設(shè)AG=x，則DG=1-x. 在Rt△A′DG中，由勾股定理得x2+（-1）2=（1-x）2，解得x=-1.

呈現(xiàn)兩種解決問題的方法后，教師預(yù)留時間讓學(xué)生對以上兩種方法進(jìn)行對比分析，尋找最優(yōu)解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的最優(yōu)意識. 學(xué)生理解并掌握以上兩種方法后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式探究，以此提高學(xué)生解決問題的能力.

變式：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上延長CG交BA的延長線于點M，求AM的長.

師生活動：教學(xué)中，教師鼓勵學(xué)生從不同角度分析，通過互動交流得到如下解法.

解法1：如圖4，連接DE，則CM垂直平分DE，易證△ADE≌△AMG，故AM=AD=1.

解法2：由折疊可得∠ECG=∠AMC，故△ECM是等腰三角形，于是有AM=EM-AE=EC-AE=-（-1）=1.

解法3：如圖5，以BC所在直線為x軸，以BA所在直線為y軸建立平面直接坐標(biāo)系，則C（1，0），G（-1，），根據(jù)待定系數(shù)法易得直線CG的函數(shù)關(guān)系式為y=-（+1）x++1，從而求得M（0，+1），所以AM=OM-AO=+1-=1.

設(shè)計說明? 以A4紙折疊為線索，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析，尋求不同的解決問題的方法，通過一題多解、一題多變有效地開闊了學(xué)生的視野，發(fā)散了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時促進(jìn)了對軸對稱、全等三角形、勾股定理、一次函數(shù)等相關(guān)知識的強化，這樣通過對A4紙中蘊含的秘密的深入探究，將看似相互獨立的知識建立起了聯(lián)系，充分展示了數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)性，有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和數(shù)學(xué)遷移能力的提升. 另外，教師有意識地告訴學(xué)生在解決此類問題時，還可以運用相似的知識來求解，以此為后續(xù)相似知識的學(xué)習(xí)留下懸念，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

6. 整體建構(gòu)，編織成網(wǎng)

問題7：結(jié)合以上探究過程及相關(guān)板書，請大家想一想，本節(jié)課我們主要復(fù)習(xí)了哪些內(nèi)容？你能概括本學(xué)期各章節(jié)主干知識的結(jié)構(gòu)圖嗎？

問題8：從以上章節(jié)內(nèi)容的分析來看，是基于哪些數(shù)學(xué)思想的整體建構(gòu)？

問題9：通過本課的復(fù)習(xí)，你有哪些收獲？談?wù)勀愕男牡皿w會.

師生活動：教師讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行知識的總結(jié)歸納，在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步的拓展延伸，以此逐漸完善學(xué)生的認(rèn)知體系. 當(dāng)然，在學(xué)生互動交流過程中，教師應(yīng)充分發(fā)揮其啟發(fā)者和指導(dǎo)者的作用，根據(jù)課堂生成進(jìn)行適時補充與調(diào)整，以此幫助學(xué)生將零散的知識串聯(lián)成線，編織成網(wǎng)，逐漸形成整冊教材內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)圖. 在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生從整體的視角進(jìn)一步分析，將不同章節(jié)劃分為不同的領(lǐng)域，體會“數(shù)”“形”結(jié)合思想方法在解題及知識整體建構(gòu)中的價值，提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識. 另外，在此環(huán)節(jié)，教師將主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生提出自己的所思、所想、所惑，以此讓學(xué)生更好地了解自己，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和解決問題能力的提升.

設(shè)計說明? 教學(xué)中，教師預(yù)留時間讓學(xué)生思考交流，引導(dǎo)學(xué)生將與相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容羅列出來，組織學(xué)生進(jìn)行知識的梳理與方法的提煉，充分發(fā)揮“后建構(gòu)”課堂的優(yōu)勢，幫助學(xué)生建構(gòu)有邏輯、有聯(lián)系、承前啟后的整體結(jié)構(gòu)體系，提高復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性.

教學(xué)思考

1. 化零為整，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)將課堂教學(xué)內(nèi)容置于整體知識體系當(dāng)中，讓學(xué)生充分感受知識的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)，從而促進(jìn)知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu). 要實現(xiàn)這一目的，教師應(yīng)認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生，尋找知識的銜接處及生長點，從而將那些獨立的、零散的、碎片化的知識串聯(lián)起來，建構(gòu)整體知識網(wǎng)絡(luò). 如在本課教學(xué)中，教師給出后，學(xué)生首先從“數(shù)”的角度出發(fā)，聯(lián)想到了無理數(shù)、近似數(shù)等與“實數(shù)”相關(guān)的知識；緊接著，學(xué)生又從“形”的角度認(rèn)識，聯(lián)想腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長，在此基礎(chǔ)上，通過翻折、旋轉(zhuǎn)等變換得到邊長為1的正方形的對角線長；然后，教師引導(dǎo)學(xué)生探尋A4紙中蘊含的秘密，學(xué)生通過動手折、動手量、用心算等活動發(fā)現(xiàn)其中蘊含的秘密后，教師又給出相應(yīng)的練習(xí)和變式題進(jìn)行深入的探究，以此通過問題的解決將全等三角形、軸對稱、勾股定理、一次函數(shù)等知識建立了聯(lián)系. 這樣通過對的深入探究，打通章節(jié)間的內(nèi)在聯(lián)系，逐漸形成系統(tǒng)化、條理化的整體結(jié)構(gòu)體系.

2. 關(guān)注過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)知識既是一種傳承，又是一種發(fā)展. 教學(xué)中教師不僅要關(guān)注結(jié)果，而且要關(guān)注過程，要讓學(xué)生知道知識從哪里來，又到哪里去，讓學(xué)生通過經(jīng)歷知識的形成、發(fā)展、關(guān)聯(lián)、銜接等過程發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高自主探究能力. 如在本課教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用“二分法”推導(dǎo)的小數(shù)部分，讓學(xué)生通過經(jīng)歷其推導(dǎo)過程感受無理數(shù)的無限性，體會近似值和準(zhǔn)確值的區(qū)別與聯(lián)系，促進(jìn)知識的鞏固、優(yōu)化和發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.

3. 以生為主，提升學(xué)習(xí)能力

在傳統(tǒng)復(fù)習(xí)教學(xué)中，部分教師過度強調(diào)練習(xí)的價值，常常將復(fù)習(xí)課上成練習(xí)課，這樣的復(fù)習(xí)課容易增加數(shù)學(xué)的枯燥感，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 其實，在復(fù)習(xí)課前，學(xué)生已經(jīng)掌握了一定的知識與方法，因此教學(xué)中教師應(yīng)學(xué)會放手，為學(xué)生預(yù)留一定的思考與探究的時間，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的過程，以此促進(jìn)知識的深化和能力的提升. 在本課教學(xué)中，教師沒有直接進(jìn)行知識的羅列，而是從學(xué)生熟悉的無理數(shù)出發(fā)，預(yù)留時間讓學(xué)生聯(lián)想、交流、梳理、建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生逐漸形成解決問題的數(shù)學(xué)思想和關(guān)鍵能力.

總之，期末復(fù)習(xí)課中，教師要以學(xué)生已有認(rèn)知為起點，重視揭示知識的內(nèi)涵與本質(zhì)，善于挖掘知識間的內(nèi)在聯(lián)系，通過恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)幫助學(xué)生形成完善的知識體系，切實提高期末復(fù)習(xí)的效率.