楊慧 吳娜

基于整體觀的單元起始課教學(xué)要突出知識(shí)的結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性，幫助學(xué)生構(gòu)建整個(gè)單元的“導(dǎo)覽圖”，明晰單元學(xué)習(xí)框架和研究路徑，強(qiáng)化單元新知與已有認(rèn)知的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。正比例函數(shù)是學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的最簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。本節(jié)課的教學(xué)如何為后續(xù)更多復(fù)雜函數(shù)的學(xué)習(xí)奠基呢？

一、宏觀把握，突出目標(biāo)的整體性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：函數(shù)的教學(xué)要通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中變量的分析，建立兩個(gè)變量之間變化的依賴關(guān)系，理解用函數(shù)表達(dá)變化關(guān)系的實(shí)際意義；要借助在平面直角坐標(biāo)系上描點(diǎn)，理解函數(shù)圖象與表達(dá)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及函數(shù)與對(duì)應(yīng)的方程、不等式的關(guān)系，增強(qiáng)幾何直觀；要學(xué)會(huì)用函數(shù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界事物的簡(jiǎn)單規(guī)律，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

本單元的研究?jī)?nèi)容是一次函數(shù)，教材首先編排的是正比例函數(shù)內(nèi)容，這是學(xué)生學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的第一階段?！墩壤瘮?shù)》作為起始課，教師要從三個(gè)維度確定教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生整體感知函數(shù)學(xué)習(xí)的基本框架：一是整體感知初中階段函數(shù)模型的研究對(duì)象（一次函數(shù)→二次函數(shù)→反比例函數(shù)）；二是整體體驗(yàn)函數(shù)的研究方法（依托實(shí)際建?！治雠c歸納→辨析與運(yùn)用）；三是整體構(gòu)建函數(shù)的一般研究路徑（定義→圖象→性質(zhì)）。

二、循序漸進(jìn)，突出內(nèi)容的整體性

本節(jié)課的學(xué)習(xí)要從一般函數(shù)的表現(xiàn)形式過(guò)渡到具體函數(shù)的研究?jī)?nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生明確從特殊到一般的函數(shù)研究方法，逐步形成函數(shù)的一般研究路徑。

1.巧用教材，聚焦函數(shù)研究對(duì)象

在自主建構(gòu)函數(shù)模型環(huán)節(jié)，筆者呈現(xiàn)了如下基于教材問(wèn)題1改編的題目，巧妙引出初中階段函數(shù)的研究對(duì)象。

京滬高鐵全長(zhǎng)1318km，2011年至今已開通運(yùn)營(yíng)十多年，累計(jì)發(fā)送旅客約13億人次。設(shè)列車的平均速度為300km/h，請(qǐng)思考以下問(wèn)題。

（1）京滬高鐵列車行駛過(guò)程涉及哪些量？其中哪些是變量？

（2）哪兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系？試說(shuō)明理由，并寫出函數(shù)解析式。

（3）我國(guó)正在研發(fā)的超級(jí)高鐵列車行駛?cè)趟钑r(shí)間t（單位：h）與行駛速度v（單位：km/h）之間有何數(shù)量關(guān)系？

以上問(wèn)題具有進(jìn)階性，能幫助學(xué)生體會(huì)函數(shù)關(guān)系的多樣性及變量與常量的相對(duì)性。筆者按照尋找變量→分析關(guān)系→建立模型的步驟，逐步引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題，認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，筆者引入其他實(shí)例，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)變化的普遍性和規(guī)律性，如圓的周長(zhǎng)[l]隨半徑[r]的變化而變化（[l=]2πr）、正方形的面積S隨邊長(zhǎng)[x]的變化而變化（[S=x2]）等。通過(guò)分析這些實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生列出了形如[y=kx]，[y=kx+b]，[y=ax2+bx+c]，[y=kx]四種類型的函數(shù)解析式，為后續(xù)函數(shù)解析式的分類、概括打下基礎(chǔ)。

2.以生為本，明晰函數(shù)概念體系

抽象與概括是數(shù)學(xué)概念形成的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在分析函數(shù)特征環(huán)節(jié)，筆者先引導(dǎo)學(xué)生觀察他們列出的函數(shù)解析式（[S=x2]，[y=300t]，[Z=1318-300t]，[l=]2πr，[t=1318v]，[m=7.9V]，[T=-2t]，[Z=1318-y]），分析它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。然后，筆者組織學(xué)生對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類，說(shuō)出分類依據(jù)，并給每一類函數(shù)命名。有的小組按照等號(hào)右邊是整式還是分式，將它們分為整式函數(shù)和分式函數(shù)；有的小組按照等號(hào)右邊是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式，將它們分為單項(xiàng)式函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)；還有的小組按照自變量的次數(shù)，將它們分為一次函數(shù)、二次函數(shù)和“負(fù)一次”函數(shù)。在學(xué)生匯報(bào)的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生鞏固了整式、分式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念，形成了正確的分類方法：先按照等號(hào)右邊是整式還是分式將其分為整式函數(shù)和分式函數(shù)，再將整式函數(shù)按照自變量的次數(shù)分為一次函數(shù)和二次函數(shù)。學(xué)生通過(guò)自主探究，不僅明確了特殊函數(shù)的分類以解析式特征為標(biāo)準(zhǔn)，還增強(qiáng)了分析、歸納、抽象、概括的能力。最后，筆者從一次函數(shù)入手，引導(dǎo)學(xué)生比較、分析“[y=300t]，[Z=1318-300t]，[l=]2πr，[m=7.9V]，[T=-2t]，[Z=1318-y]”6個(gè)解析式的異同。對(duì)于相同點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些解析式都可以看成[y=kx+b]的形式，由此歸納出一次函數(shù)的概念。對(duì)于不同點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)解析式[y=300t]，[m=7.9V]，[l=]2πr，[T=-2t]形式更特殊，它們的常數(shù)項(xiàng)[b]等于0，即函數(shù)[y]與自變量[x]是正比例關(guān)系，由此明確了正比例函數(shù)的概念及正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。后續(xù)，學(xué)生可類比一次函數(shù)的定義方式，預(yù)測(cè)二次函數(shù)、反比例函數(shù)的形式特征，以構(gòu)建相對(duì)完整的函數(shù)概念體系。

三、關(guān)注知識(shí)銜接，歸納函數(shù)的一般研究路徑

1.自主探究，生成函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)

本環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題，幫助學(xué)生明確函數(shù)概念的本質(zhì)，深入理解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系。

首先，筆者出示問(wèn)題1：下列關(guān)系式［①[y=-0.1x]，②[y=2x2]，③[y=x3]，④[y=3x]，⑤[y=3（x-1）]，⑥[y2=4x]］中，哪些是一次函數(shù)？學(xué)生快速判斷出①③是一次函數(shù)，⑤去括號(hào)后得到的[y=3x-3]也是一次函數(shù)。筆者追問(wèn)：這些一次函數(shù)中，哪些是正比例函數(shù)？比例系數(shù)是多少？學(xué)生發(fā)現(xiàn)①③是正比例函數(shù)，比例系數(shù)分別為-0.1和[13]。筆者繼續(xù)追問(wèn)：⑤中[y]是[x-1]的正比例函數(shù)嗎？學(xué)生將[x-1]當(dāng)作一個(gè)整體，發(fā)現(xiàn)[y]與[x-1]是正比例關(guān)系，因此，[y]可以看作[x-1]的正比例函數(shù)。類似地，學(xué)生還判斷出②是二次函數(shù)，④是反比例函數(shù)等。通過(guò)對(duì)比和辨析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的表象特征，初步構(gòu)建了函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

然后，筆者出示問(wèn)題2：下列問(wèn)題［A.每本書的厚度為0.5cm，一摞書的總厚度[h]與數(shù)量[n]的關(guān)系。B.圓的面積[S]與半徑[r]的關(guān)系。C.某人一年（12個(gè)月）的總收入[W]與月平均收入[q]的關(guān)系。D.買某種作業(yè)本所需的錢數(shù)[y]（元）與數(shù)量[x]（本）的關(guān)系］中，變量之間的關(guān)系不是正比例函數(shù)的是（? ? ）。這個(gè)問(wèn)題旨在培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)模型的能力。學(xué)生自主探究，分別得出各選項(xiàng)中變量之間的函數(shù)解析式，確定了答案B。

最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生完成問(wèn)題3，即舉出生活中一次函數(shù)的例子，進(jìn)一步體會(huì)一次函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。結(jié)合學(xué)生列舉的正比例函數(shù)[y=2x]，筆者引導(dǎo)學(xué)生深入研究?；诮滩纳弦还?jié)內(nèi)容，學(xué)生知道描述函數(shù)的方法不僅有解析式法，還有列表法、圖象法。筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試列表、畫圖象，并觀察表格和圖象，從數(shù)和形兩個(gè)角度分析函數(shù)的性質(zhì)，自主歸納函數(shù)的特征。這個(gè)過(guò)程為學(xué)生后續(xù)深入學(xué)習(xí)一般一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)等奠定了基礎(chǔ)。

2.從整體視角出發(fā)，歸納函數(shù)研究路徑

小結(jié)環(huán)節(jié)，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，總結(jié)本節(jié)課研究函數(shù)的基本路徑，積累研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生通過(guò)交流、總結(jié)，形成如圖1所示的研究框架。

圖1呈現(xiàn)了函數(shù)的研究對(duì)象、研究?jī)?nèi)容和研究方法，學(xué)生由此形成了單元學(xué)習(xí)的“導(dǎo)覽圖”。同時(shí)，學(xué)生歸納出“情境引入變量—明確對(duì)應(yīng)關(guān)系—繪制函數(shù)圖象—探究函數(shù)性質(zhì)”的具體研究路徑。

（作者單位：襄陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)）