摘 要：在高中物理教學(xué)中，“關(guān)聯(lián)速度模型”是教學(xué)難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，其復(fù)雜抽象的關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)情境更適合用動(dòng)態(tài)化教學(xué)軟件展示，從而更好地幫助學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律。本文借助GeoGebra軟件構(gòu)建動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)速度模型，可以定量化、動(dòng)態(tài)化、可視化地展示關(guān)聯(lián)速度模型中的物體運(yùn)動(dòng)和速度的合成與分解關(guān)系，幫助學(xué)生深刻理解運(yùn)動(dòng)的合成與分解原理，有效地突破教學(xué)難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：中學(xué)物理；運(yùn)動(dòng)的合成與分解；可視化教學(xué)

針對(duì)“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”一節(jié)，《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求：“體會(huì)將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的物理思想?！薄瓣P(guān)聯(lián)速度模型”作為運(yùn)動(dòng)的合成與分解的典型應(yīng)用，是高中物理教學(xué)中的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。［1］關(guān)聯(lián)速度模型就是將兩個(gè)物體通過(guò)不可變形的輕繩、輕桿或直接接觸發(fā)生聯(lián)系，求兩物體速度之間的關(guān)系。兩物體的速度通常不同，但存在某種聯(lián)系，這就是關(guān)聯(lián)速度。［2］關(guān)聯(lián)速度分析的關(guān)鍵在于分清物體之間的速度關(guān)系，找出合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)。合運(yùn)動(dòng)是由各分運(yùn)動(dòng)共同產(chǎn)生的總運(yùn)動(dòng)效果，合運(yùn)動(dòng)與各分運(yùn)動(dòng)的總運(yùn)動(dòng)效果可以相互替代。［3］傳統(tǒng)教學(xué)中常用的板書(shū)很難直觀地展示關(guān)聯(lián)速度模型中的動(dòng)態(tài)速度關(guān)系，更難使學(xué)生構(gòu)建出真實(shí)的物體運(yùn)動(dòng)圖像。若能把物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度情況動(dòng)態(tài)化地演示出來(lái)，則能夠很好地幫助學(xué)生理解這一物理規(guī)律。GeoGebra軟件是一款數(shù)形結(jié)合軟件，能夠?qū)ξ锢磉^(guò)程、物理模型進(jìn)行模擬，將抽象的物理運(yùn)動(dòng)情境定量化、可視化、動(dòng)態(tài)化。［4］本文借助GeoGebra軟件構(gòu)建動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)速度模型，展示物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的“關(guān)聯(lián)速度”問(wèn)題和速度變化關(guān)系，定量、直觀地顯示合速度與分速度之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解該類(lèi)問(wèn)題，建立正確的運(yùn)動(dòng)觀，有效解決教學(xué)難點(diǎn)。

1 關(guān)聯(lián)速度模型總述

常見(jiàn)的關(guān)聯(lián)速度模型有繩模型和桿模型，如圖1所示。圖1（a）是繩模型，A端繩子通過(guò)定滑輪拉動(dòng)B端小船，使小船靠岸；（b）是繩模型，A端車(chē)通過(guò)定滑輪拉動(dòng)B端車(chē)；（c）是繩模型，A端重物通過(guò)定滑輪拉動(dòng)套在豎直細(xì)桿上B端的圓環(huán)；（d）是桿模型，輕桿兩端分別沿豎直墻面與水平地面滑動(dòng)。在這類(lèi)問(wèn)題中，繩和桿不可變形，摩擦力不計(jì)，繩和桿的質(zhì)量不計(jì)。常常已知A端物體的速度vA，求解B端物體的速度vB，α是vA的方向與繩或桿的夾角，θ是vB的方向與繩或桿的夾角（均選取銳角）。

以圖1（a）繩模型的常規(guī)教學(xué)為例，在岸上以速度vA勻速拉繩子，使小船沿水平面向岸邊靠攏，求B端繩子與水平方向成θ角時(shí)，船的速度vB的大小。由于繩子不可伸縮，因此沿繩子方向的速度大小處處相等，即為關(guān)聯(lián)速度v關(guān)。繩子A端的運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)，實(shí)際效果是A端沿著繩子運(yùn)動(dòng)，其方向即是合速度方向，則v關(guān)＝v繩＝vA。

B端小船的運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)，實(shí)際效果有兩個(gè)，一個(gè)是B端沿繩子的運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是B端繞定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，將B端小船速度vB分解為沿繩方向的速度v繩（與vB的夾角為θ）和垂直于繩方向、繞定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的速度v轉(zhuǎn)，如圖2（a）所示。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，v關(guān)＝v繩＝vBcosθ，因此vB＝v繩cosθ＝vAcosθ。

學(xué)生在解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)如下：①錯(cuò)誤地判斷合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)。認(rèn)為繩子的運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)，B端小船的運(yùn)動(dòng)是繩子運(yùn)動(dòng)的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)，將v繩按如圖2（b）所示分解，錯(cuò)誤地得到vB＝v繩cosθ＝vAcosθ。②不能根據(jù)合運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果分解合速度。［5］有的學(xué)生雖然能判斷出B端小船的運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，但在進(jìn)行速度的分解時(shí)，將其分解為沿繩的方向和垂直于船運(yùn)動(dòng)的方向的兩個(gè)速度，如圖2（c）所示。③受生活經(jīng)驗(yàn)的影響。學(xué)生容易認(rèn)為施力物體的運(yùn)動(dòng)速度vA應(yīng)該大于受力物體vB，［6］即vAgt;vB。

為了避免學(xué)生分析問(wèn)題時(shí)思路不清晰而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，根據(jù)關(guān)聯(lián)速度模型的特點(diǎn)，可將關(guān)聯(lián)速度模型解題分為以下幾個(gè)步驟：①確定繩子末端A、B點(diǎn)的合速度（實(shí)際速度）的方向，物體實(shí)際的運(yùn)動(dòng)方向就是合運(yùn)動(dòng)的方向，即合速度的方向，即A、B點(diǎn)的合速度分別為vA、vB。②根據(jù)合運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)實(shí)際效果分解合速度，一個(gè)沿繩方向即v關(guān)，另一個(gè)垂直于繩方向。③利用平行四邊形定則作出A、B兩端各自速度的矢量圖并得到合速度與分速度的關(guān)系，v關(guān)＝vAcosα、v關(guān)＝vBcosθ。④根據(jù)關(guān)聯(lián)速度大小相等，最后確定兩個(gè)物體的速度大小關(guān)系，vB＝v關(guān)cosθ＝vAcosαcosθ。

按照上述步驟分析圖1（b）模型。①繩子末端A、B的合速度均沿水平方向。②將A、B端的合速度分解為沿繩方向和垂直于繩方向的分速度。③A端有v關(guān)＝v繩＝vAcosα，B端有v關(guān)＝v繩＝vBcosθ。

④vB＝v關(guān)cosθ＝vAcosαcosθ。同理，圖1中（c）（d）模型也能根據(jù)上述步驟正確求解。

利用上述解題步驟雖然能夠簡(jiǎn)單、快速地求解關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)的速度，但有些學(xué)生空間思維能力較弱，難以理解動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)情景，容易機(jī)械記憶這種類(lèi)型題目的解法。因此，為了讓學(xué)生更深入理解速度的合成與分解原理，可以使用GeoGebra軟件為學(xué)生展示動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)速度模型，使其可以定量化地觀察到關(guān)聯(lián)速度模型中速度的變化情況。

2 利用GeoGebra軟件構(gòu)建關(guān)聯(lián)速度模型

以圖1模型中兩端A、B點(diǎn)分別作為研究點(diǎn)，根據(jù)v關(guān)在GeoGebra軟件中構(gòu)建圖1的關(guān)聯(lián)速度動(dòng)態(tài)模型。

首先，創(chuàng)建A點(diǎn)速度vA，vA與繩或桿的初始夾角ω1，B點(diǎn)速度vB，vB與繩或桿的初始夾角ω2，時(shí)間t，角度隨時(shí)間變化量δ1、δ2的滑動(dòng)條。

其次，繪制A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其速度向量：A點(diǎn)位置為（vAt，3），選擇“旋轉(zhuǎn)”工具構(gòu)建vA與繩或桿的夾角α＝ω1-δ1，選擇“圓和向量”工具構(gòu)建A點(diǎn)速度向量vA、分速度向量v關(guān)＝vAcosα、v＝vAsinα。

最后，繪制B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其速度向量：選擇“旋轉(zhuǎn)”工具構(gòu)建vB與繩或桿的夾角θ＝ω2＋δ2，根據(jù)vB＝v關(guān)cosθ＝vAcosαcosθ，B點(diǎn)位置為（vBt，3），選擇“圓和向量”工具構(gòu)建B點(diǎn)速度向量vB、分速度向量v關(guān)＝vBcosθ、v＝vBsinθ。

A點(diǎn)是主動(dòng)端，B點(diǎn)由于A端的牽連而運(yùn)動(dòng)。從合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)的概念來(lái)看，關(guān)聯(lián)物體發(fā)生運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與連接物相連接的兩端物體的運(yùn)動(dòng)都是合運(yùn)動(dòng)，而連接物的運(yùn)動(dòng)是分運(yùn)動(dòng)，故此時(shí)A、B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即為合運(yùn)動(dòng)，速度即為物體的速度vA、vB。繩或桿上任意點(diǎn)沿繩或桿方向的速度大小相同，沿著繩或桿的速度就是關(guān)聯(lián)速度v關(guān)。

3 關(guān)聯(lián)速度模型動(dòng)態(tài)教學(xué)展示

GeoGebra軟件能夠通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)展示不同情況下物理量的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，可以清晰地看到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中v關(guān)及A、B點(diǎn)的速度vA、vB的大小、方向變化情況。

調(diào)節(jié)ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑動(dòng)條，令ω1＝0°、δ1＝0°，使vA的方向與繩平行，ω2、δ2為任意值，得到圖1

（a）的動(dòng)態(tài)模型，如圖3所示。啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，可以看到

B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中［如圖3（b）（c）（d）所示］，A、B點(diǎn)沿繩的分速度即關(guān)聯(lián)速度v關(guān)始終相等，且等于A點(diǎn)速度，即v關(guān)＝vA。隨著θ增大，vB也在不斷增大；同時(shí)還可以看到B點(diǎn)垂直于繩的分速度在不斷增大。暫停動(dòng)畫(huà)，學(xué)生可以觀察到任意時(shí)刻小船的速度、角度大小等物理量。例如，某時(shí)刻vA＝2m/s，θ＝45°時(shí)，如圖3（c）所示，v關(guān)＝2m/s，vB＝2.83m/s。另外，還可以改變A端速度，讓學(xué)生體會(huì)不同vA下小船的運(yùn)動(dòng)情況。

調(diào)節(jié)ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑動(dòng)條，使這五個(gè)參數(shù)均大于零，得到圖1（b）的動(dòng)態(tài)模型，如圖4所示。可以觀察到在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中［如圖4（b）（c）（d）所示］，α不斷減小，v關(guān)隨α的減小而增大，θ、vB也在不斷增大。

在圖1（b）模型中，θ角的取值為0°lt;θlt;90°。當(dāng)θ＝0°時(shí)，如圖5所示，也可以應(yīng)用GeoGebra建立模型。調(diào)節(jié)參數(shù)，展示物體運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的動(dòng)態(tài)變化情況。調(diào)節(jié)ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑動(dòng)條，令ω2＝0°、δ2＝0°，使vB的方向與繩平行，ω1、δ1為任意值，如圖6所示。從動(dòng)態(tài)圖中可以看到，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，θ始終是0°，A、B端v關(guān)大小始終相等，vB的值即為v關(guān)的大小。隨著α不斷減小，v關(guān)、vB在不斷增大。通過(guò)觀察動(dòng)態(tài)圖，能夠看到vB的速度就是沿繩方向的速度，即為v關(guān)，加深了學(xué)生對(duì)關(guān)聯(lián)速度模型中合速度分解方法的理解。

利用GeoGebra軟件展示物體運(yùn)動(dòng)速度的動(dòng)態(tài)、可視化關(guān)聯(lián)速度模型，學(xué)生能夠直接觀察到兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)A、B端速度矢量發(fā)生的變化，［7］建立起物理動(dòng)態(tài)圖像。結(jié)合教師的講解，學(xué)生可以更加深度的思考，從而真正理解關(guān)聯(lián)速度模型的解題方法。

4 結(jié)語(yǔ)

現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用為高中物理教學(xué)帶來(lái)了很多便利，許多重要但不容易講透的物理規(guī)律可以通過(guò)現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)行可視化展示，從而糾正學(xué)生之前錯(cuò)誤的觀念，幫助學(xué)生在頭腦中構(gòu)建出物體真實(shí)的運(yùn)動(dòng)圖像。［8］通過(guò)定量化、動(dòng)態(tài)化地展示關(guān)聯(lián)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的v關(guān)、vA、vB等物理量的大小及方向變化情況，使學(xué)生能夠理解物體實(shí)際的運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)，沿繩或桿的運(yùn)動(dòng)是分運(yùn)動(dòng)，并且沿繩或桿的速度大小相等，從而正確判斷合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)。利用動(dòng)態(tài)圖突破了學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，［9］使學(xué)生能夠懂得按照物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況分解合速度，將合速度分解為沿繩或桿方向和垂直于繩或桿的方向上。另外，還能使學(xué)生體會(huì)到一些直觀上較難想象的關(guān)系，如在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，vB的速度可以大于vA，即受牽連物體的運(yùn)動(dòng)速度是可以大于主動(dòng)施力物體的。

參考文獻(xiàn)

［1］卓越，姚力.關(guān)聯(lián)速度的處理方法及應(yīng)用舉例［J］.物理教師，2011，32（4）：24-25.

［2］張大同.（創(chuàng)新班和理科班用） 物理 （高中上冊(cè)）［M］.上海：上海教育出版社，2012：30-31，62.

［3］周凱.用合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系“三步法”輕松解決繩端速度關(guān)聯(lián)類(lèi)問(wèn)題［J］.湖南中學(xué)物理，2014，29（8）：60-61.

［4］丘來(lái)金.用GeoGebra輔助探究追擊與相遇的教學(xué)［J］.湖南中學(xué)物理，2022，37（8）：73-75.

［5］許慶元.繩 桿連結(jié)物體的速度求解［J］.物理通報(bào)，2016（S1）：107-108.

［6］游才臻.巧探關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題，建立正確的運(yùn)動(dòng)觀——以繩拉小船模型的實(shí)驗(yàn)教學(xué)為例［J］.物理教學(xué)探討，2021，39（10）：55-56，60.

［7］明翔宇，陳俊.在“雙新”背景下，例談GeoGebra軟件在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用［J］.物理教學(xué)，2022，44（4）：22-26.

［8］陳林，桑芝芳.基于GeoGebra軟件的磁場(chǎng)動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題的可視化分析——以一道帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題為例［J］.物理教學(xué)，2020，42（9）：26-28.

［9］殷正徐，吳偉.GeoGebra軟件在高中物理課堂教學(xué)中的應(yīng)用案例分析——以簡(jiǎn)諧振動(dòng)和機(jī)械波為例［J］.物理教師，2017，38（10）：70-73.