摘 "要：為研究反向累加生成序列絕對灰度的變化規(guī)律，基于原始序列與其一次反向累加生成序列的級比關系，推導了整數(shù)階反向累加生成序列絕對灰度的一般表達式及其相關性質。結合實際問題背景，討論了融合絕對灰度的反向累加灰色模型在突發(fā)災害事件預測中的應用效果。研究結果表明：當原始序列的絕對灰度大于0.6時，進行反向累加生成變換能夠有效降低序列的絕對灰度，當原始序列的絕對灰度小于0.25時，對序列進行反向累加生成變換會增大序列的絕對灰度。研究結論為灰建模的模型選擇及序列預處理方式的選擇提供參考。

關鍵詞：反向累加生成；絕對灰度；灰色模型；新信息優(yōu)先；突發(fā)災害事件預測

中圖分類號：N941 " " " " " " " " " "文獻標志碼：A " " " " " " 文章編號：1008-0562（2024）03-0288-08

Nature of absolute grey degree generated by inverse accumulation and its application in disaster event prediction

CHEN Ziwei1，2， ZHAO Shoujiang1，2， LIU Jun1，2， CUI Sheng1，2

（1. College of Science， China Three Gorges University， Yichang 443002， China;

2. Three Gorges Mathematical Research Center， China Three Gorges University， Yichang 443002， China）

Abstract：In order to study the variation of the absolute grey degree of reverse accumulation generates sequences， the general expression of the integer order reverse accumulation generates sequences absolute grey degree and its related properties are derived based on the class ratio relationship between the original sequence and its reverse accumulation generates sequences. The application effect of the backward-accumulative grey model incorporating absolute grey degree to the prediction of sudden-onset disasters is discussed in the context of practical problems. The results show that when the absolute grey degree of the original sequence is greater than 0.6， the reverse cumulative generation can effectively reduce the absolute grey degree of the sequence. When the absolute grey degree of the original sequence is less than 0.25， the reverse cumulative generation increases the absolute grey degree of the sequence. The findings of the study provide a reference for the model selection and data pre-processing of grey modeling in practical problems.

Key words： reverse accumulation; absolute grey degree; grey model; new information priority; prediction of sudden disaster events

0 "引言

灰色建模，通常要經過對原始數(shù)據序列進行累加生成變換（即正向累加生成變換）的數(shù)據預處理環(huán)節(jié)，繼而在一次累加生成序列基礎上構建灰色模型。相關研究發(fā)現(xiàn)，在有些場合下，例如原始序列為單調遞減序列的情形，使用反向累加生成序列構建的灰色模型能更好地描述系統(tǒng)特征行為序列[1]。黨耀國等[2]基于信息優(yōu)先原理，深入研究了序列反向累加變換的性質和特點，發(fā)現(xiàn)反向累加生成變換能夠增加新信息在生成序列中的權重，使得新信息在模型中得到更充分高效的利用，這種建模方法也更加符合新信息優(yōu)先原理。在很多場景下這種反向累加模型能更好地描述系統(tǒng)特征行為，具有更高的模型精度。隨著反向累加研究的不斷深入，取得很多成果。曾亮等[3]總結了基于反向累加構建的4種GOM（1，1）模型的基本形式，并給出對應的時間響應式。吳利豐等[4]在分數(shù)階灰色模型上增加了反向累加的情形，從理論上證明了分數(shù)階反向累加滿足新信息優(yōu)先原理。劉解放等[5]為減少灰色預測模型的擾動界，提出分數(shù)階反向累加離散灰色模型。ZENG[6]為提高單調遞減序列的預測精度，使用3/8 Simpson公式求解時間響應函數(shù)，結果表明新構建的反向累加分數(shù)階模型比傳統(tǒng)模型適應數(shù)據的能力更強。WANG等[7]將適應性分數(shù)階算子與傳統(tǒng)灰色反向累加模型結合構建了CFGNOM（1，1）模型，在實際應用中取得良好效果。WANG等[8]定義了一種新的自適應分數(shù)階反向累加，使用灰狼優(yōu)化算法（GWO）對累加階數(shù)r和參數(shù)α進行優(yōu)化，能夠更加精細地調整新信息的優(yōu)先級。

GM（1，1）類型的模型是一種指數(shù)型灰色模型，通?；谝浑A常系數(shù)微分方程離散化而得到。該模型的結構特點使得GM（1，1）類灰色模型特別適用于少數(shù)據、貧信息，且具有較顯著指數(shù)律特征序列的灰色建模預測。在灰色系統(tǒng)理論中序列的近似指數(shù)律特征通常被稱為灰指數(shù)律特征。由于在生產實踐中，具有灰指數(shù)律的序列是普遍存在的，因而指數(shù)型的GM（1，1）模型適合于很多場景下的建模預測，具有廣泛的應用范圍。

在GM（1，1）類型的灰建模預測中，用于建模的序列是否具有較顯著的指數(shù)律特征直接影響模型精度，也就是說，建模序列的指數(shù)律顯著性程度是影響模型精度的重要因素[9]。因而累加生成序列是否具有較顯著的指數(shù)律特征成為灰色建模預測的一個重要研究問題。為了使建模序列具有較顯著的指數(shù)律特征，一些學者通過函數(shù)變換來提高序列的光滑度以及指數(shù)律的顯著程度[10-11]。雷雨等[12]為了反映衛(wèi)星鐘差動態(tài)變化，使用級比序列建立離散GM（1，1）模型提高預測精度。孫波軍等[13]根據交通流數(shù)據周期性特點，以歷史數(shù)據的級比作為參照改進GM（1，1）模型。YIN等[14]基于序列的指數(shù)特征構建灰色作用量，能夠有效模擬數(shù)據序列隨時間變化的動態(tài)特性。另有文獻研究發(fā)現(xiàn)，如果原始序列已具有高度顯著的指數(shù)律特征，再對其施以累加生成變換反而會破壞其內在已有指數(shù)規(guī)律性，使其由白變灰，導致模型精度下降[15]。所以，如何在建模前檢驗中判斷出建模序列累加生成變換次數(shù)的大致范圍，也是GM（1，1）灰建模研究中需要關注的方面。

以往研究序列的灰指數(shù)律特征主要是借助“級比”“光滑比”等概念[16]。本文主要應用絕對灰度的概念研究數(shù)據序列的灰指數(shù)律特征，討論反向累加生成變換下序列絕對灰度的性質，借助絕對灰度研究反向累加灰色模型在突發(fā)災害事件中灰建模的預測應用。首先推導反向累加生成變換下，原始序列與生成序列級比之間的關系式；其次討論反向累加生成變換下序列絕對灰度的變化規(guī)律及特征，推導反向累加生成序列的絕對灰度公式。最后討論反向累加生成GM（1，1）建模時，絕對灰度在建模前檢驗中的作用，以及反向累加GOM（1，1）灰色模型在突發(fā)災害事件預測中的應用。

1 "理論與方法

一個數(shù)據序列的指數(shù)律特征越顯著，其絕對灰度越小，則越適合使用指數(shù)類模型對其進行建模模擬。絕對灰度概念與級比密不可分，原始序列與反向累加生成序列的級比之間必然會存在某種聯(lián)系。

（1）使用第一種方法，通過計算可得原始序列的絕對灰度 ，序列的指數(shù)律特征極不顯著。但原始序列經一次反向累加后，生成序列的絕對灰度減小為 ，說明了定理6的正確性。下面以 作為原始序列，分別建立反向累加EGOM（1，1）模型、DGOM（1，1）模型、EDGOM（1，1）模型，各模型的預測結果見表1。

由表1可知，以絕對灰度為1.72的原始序列直接建模，3種反向累加模型的擬合值均與實際值相差較大，模型EGOM（1，1）、DGOM（1，1）、EDGOM（1，1）模型的模擬平均相對誤差（MRPE）分別為26.69%、24.85%、26.50%，相應的預測誤差分別為78.60%、186.17%、86.09%。預測精度較低的主要原因之一是原始序列的數(shù)據波動較大，其絕對灰度 高達1.72，序列沒有較顯著的指數(shù)律特征。故不宜直接使用指數(shù)型的反向累加灰色模型進行模擬建模。

（2）使用第二種方法，先對建模序列進行預處理，用緩沖算子對原始建模序列進行變換，使緩沖序列的絕對灰度減小，得到指數(shù)律變化趨勢更加明顯的序列，以適合指數(shù)型灰色模型建模的基本條件。對原始序列 用一次平均弱化緩沖算子D作用，得到序列 ，記 ，即緩沖處理后的原始序列為

。

緩沖原始序列 的絕對灰度為 ，表明序列 有較顯著的指數(shù)律變化趨勢與特征。 經一次反向累加生成作用后，生成序列 的絕對灰度略有增加，此時 ，驗證了定理5的正確性。以 為建模序列，分別建立反向累加EGOM（1，1）模型、DGOM（1，1）模型、EDGOM（1，1）模型，各模型的具體模擬和預測結果見表2。

由表2可知，基于弱化緩沖原始序列 構建的反向累加灰色預測模型，每個模型都有較高的模擬和預測精度，模型EGOM（1，1）、DGOM（1，1）、EDGOM（1，1）的模擬誤差（MRPE）分別為0.55%、0.59%、0.59%，其預測誤差分別為8.42%、8.58%、8.57%。

以絕對灰度較大的原始序列 建立3種反向累加模型的效果見圖1，可見，3個模型模擬效果都很差。以絕對灰度較小的緩沖序列 建立3種反向累加模型的效果見圖2，可見，模型曲線與實際曲線誤差較小。圖1和圖2說明了絕對灰度在建模事前檢驗與模型誤差分析中的重要性和實用性。

3 "結論

本文主要應用絕對灰度研究數(shù)據序列的灰指數(shù)律特征，討論反向累加生成變換下序列絕對灰度的性質，探索絕對灰度與反向累加生成變換在灰建模預測中的應用，結論如下。

（1）針對反向累加生成變換，得到了原始序列與累加生成序列級比之間的關系式。推導得出原始序列與反向累加生成序列的絕對灰度之間的關系，為研究反向累加生成下建模序列絕對灰度變化規(guī)律和性質提供了理論支持。

（2）針對灰建模中原始序列（整數(shù)階）反向累加生成的最合適次數(shù)問題，證明了當序列本身具有良好的指數(shù)律特征，即絕對灰度小于0.25時，對其進行反向累加處理會使其絕對灰度增大。

（3）根據絕對灰度證明了在灰建模中對原始序列進行累加生成的必要性，當序列的指數(shù)律特征不顯著，即絕對灰度大于0.6時，對序列進行反向累加能夠有效降低絕對灰度。

參考文獻（References）：

[1] 宋中民，鄧聚龍.反向累加生成及灰色GOM（1，1）模型[J].系統(tǒng)工程，2001，19（1）：66-69.

SONG Zhongmin，DENG Julong.The accumulated generating operation in opposite direction and its use in grey model GOM（1，1）[J].Systems Engineering，2001，19（1）：66-69.

[2] 黨耀國，劉思峰，劉斌.以x（1）（n）為初始條件的GM模型[J].中國管理科學，2005，13（1）：132-135.

DANG Yaoguo，LIU Sifeng，LIU Bin.The GM models that x（1）（n） be taken as initial value[J].Chinese Journal of Management Science，2005， 13（1）：132-135.

[3] 曾亮，姜愛平.反向累加GOM（1，1）模型的四種基本形式及比較[J].數(shù)學的實踐與認識，2020，50（6）：219-228.

ZENG Liang，JIANG Aiping.Comparison of four basic models of GOM（1，1） based on opposite-direction accumulation[J].Mathematics In Practice and Theory，2020，50（6）：219-228.

[4] 吳利豐，付斌.分數(shù)階反向累加GM（1，1）模型及其性質[J].統(tǒng)計與決策，2017（18）：33-36.

WU Lifeng，F(xiàn)U Bin.GM（1，1） model with fractional order opposite- direction accumulated generation and its properties[J].Statistics amp; Decision，2017（18）：33-36.

[5] 劉解放，劉思峰，吳利豐，等.分數(shù)階反向累加離散灰色模型及其應用研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2016，38（3）：719-724.

LIU Jiefang，LIU Sifeng，WU Lifeng，et al.Fractional order reverse accumulative discrete grey model and its application[J].Systems Engineering and Electronics，2016，38（3）：719-724.

[6] ZENG L.A fractional order opposite-direction accumulative grey prediction model with time-power[J].The Journal of Grey System，2019， 31（3）：90-104.

[7] WANG H P，ZHANG Z.A novel grey model with conformable fractional opposite-direction accumulation and its application[J].Applied Mathematical Modelling，2022，108：585-611.

[8] WANG Y，CHI P，NIE R，et al.Self-adaptive discrete grey model based on a novel fractional order reverse accumulation sequence and its application in forecasting clean energy power generation in China[J]. Energy，2022，253：124093.

[9] 鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢：華中科技大學出版社，2002：251-258.

[10] 郭金海，肖新平，楊錦偉.函數(shù)變換對灰色模型光滑度和精度的影響[J].控制與決策，2015，30（7）：1251-1256.

GUO Jinhai，XIAO Xinping，YANG Jinwei.Effect on grey models smoothness and accuracy by using function transformation[J].Control and Decision，2015，30（7）：1251-1256.

[11] 劉陽，紀躍芝.指數(shù)反余弦函數(shù)變換灰色預測模型[J].長春工業(yè)大學學報，2021，42（2）：142-146.

LIU Yang，JI Yuezhi.Grey prediction model based on exponential arccosine transformation[J].Journal of Changchun University of Technology，2021，42（2）：142-146.

[12] 雷雨，徐勁松，蔡宏兵.基于級別建模的灰色GM（1，1）模型在衛(wèi)星鐘差中長期預報中的應用[J].測繪科學技術，2022，10（3）：149-160.

LEI Yu，XU Jinsong，CAI Hongbing.Application of the grey GM（1，1） based on stepwise-ratio modelling to medium and long-term prediction of satellite clock bias[J].Geomatics Science and Technology，2022， 10（3）：149-160.

[13] 孫波軍，尹偉石.改進的灰色模型及在短時交通流中的應用[J].數(shù)學的實踐與認識，2016，46（23）：201-206.

SUN Bojun，YIN Weishi.A modified grey model and its application in short time traffic flow[J].Mathematics in Practice and Theory，2016，46 （23）：201-206.

[14] YIN K D，GENG Y，LI X M.Improved grey prediction model based on exponential grey action quantity[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2018，29（3）：560-570.

[15] 劉思峰.灰色系統(tǒng)理論及其應用（第八版）[M].北京：科學出版社，2017：42-46.

[16] 劉文生，張燕鳳，張賀然，等.灰色系統(tǒng)模型在露天礦邊坡沉降預測中的應用[J].遼寧工程技術大學學報（自然科學版），2014，33（12）：1608- 1612.

LIU Wensheng，ZHANG Yanfeng，ZHANG Heran，et al.Application of grey system model in the deformation prediction of the open-pit mine slope[J].Journal of Liaoning Technical University（Natural Science）， 2014，33（12）：1608-1612.

[17] 馬龍，秦寶東，盧娜，等.基于新陳代謝灰色馬爾科夫的應急物資需求量預測方法[J].系統(tǒng)仿真學報，2023，35（2）：229-240.

MA Long，QIN Baodong，LU Na，et al.Demand forecasting method of emergency materials based on metabolic gray Markov[J].Journal of System Simulation，2023，35（2）：229-240.

[18] 葉莉，黨耀國，王俊杰.基于沖擊效應的灰色多變量時滯預測模型及其應用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2023，43（5）：1515-1533.

YE Li，DANG Yaoguo，WANG Junjie.Impact effect-based grey multivariable time delay model and its application[J].Systems Engineering-Theory amp; Practice，2023，43（5）：1515-1533.

[19] 張國政，申君歌.基于多周期時間序列的灰色預測模型及其應用[J].統(tǒng)計與決策，2021，37（9）：14-19.

ZANG Guozheng，SHEN Junge.Gray prediction model based on multi-period time series and its application[J].Statistics amp; Decision，2021，37（9）：14-19.

[20] 粟婷，魏勇.二階非齊次序列的直接離散模型及灰色預測應用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2020，40（9）：2450-2465.

SU Ting，WEI Yong.Direct discrete model of second order non-homogeneous sequence and application of grey prediction[J]. Systems Engineering-Theory amp; Practice，2020，40（9）：2450-2465.