基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的PMLSM全局自適應(yīng)滑?？刂?/h1>
2024-07-24 00:00:00張艷王麗梅方馨
電機(jī)與控制學(xué)報(bào) 2024年6期
摘" 要：
針對(duì)永磁直線同步電機(jī)的位置跟蹤精確度易受外部擾動(dòng)、參數(shù)變化等不確定性因素影響的問題，提出全局自適應(yīng)滑模控制器與三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合的復(fù)合控制策略。首先，為了解決全局滑模控制存在的抖振問題，根據(jù)自適應(yīng)趨近律設(shè)計(jì)全局自適應(yīng)滑模控制器。自適應(yīng)趨近律可以根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化過程實(shí)時(shí)調(diào)整開關(guān)增益的大小，從而提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并減小抖振。然后，為了提高系統(tǒng)的跟蹤精確度以及抗干擾能力，設(shè)計(jì)三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器，利用擾動(dòng)觀測(cè)器觀測(cè)系統(tǒng)中無法精確測(cè)量的擾動(dòng)以及存在的不確定項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的前饋補(bǔ)償。最后，進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與全局滑模控制相比，所提方法能有效提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和跟蹤精確度，使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能。
關(guān)鍵詞：永磁直線同步電機(jī)；全局滑?？刂?；自適應(yīng)趨近律；擾動(dòng)觀測(cè)器；跟蹤精確度；抗擾性；抖振
DOI：10.15938/j.emc.2024.06.008
中圖分類號(hào)：TM359.4
文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A
文章編號(hào)：1007-449X（2024）06-0076-11
收稿日期： 2023-08-21
基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51875366）
作者簡(jiǎn)介：張" 艷（1999—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)橛来胖彬?qū)伺服系統(tǒng)及其控制；
王麗梅（1969—），女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榻涣魉欧到y(tǒng)及其控制；
方" 馨（1994—），女，博士研究生，研究方向?yàn)橛来胖彬?qū)伺服系統(tǒng)及其控制。
通信作者：王麗梅
Global adaptive sliding mode control for PMLSM based on third-order super-twisting disturbance observer
ZHANG Yan，" WANG Limei，" FANG Xin
（School of Electric and Engineering， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China）
Abstract：
Aiming at the problem that the position tracking accuracy of permanent magnet linear synchronous motor is easily affected by uncertain factors such as external disturbance and parameter change， a compound control strategy combining global adaptive sliding mode controller and three-order super-twisting disturbance observer was proposed. Firstly， in order to solve the chattering problem of global sliding mode control， the global adaptive sliding mode controller was designed according to the adaptive reaching law. The adaptive approach law can adjust the switching gain in real time according to the changing process of the system state variables， so as to improve the response speed of the system and reduce chattering. Then， in order to improve the tracking accuracy and anti-interference ability of the system， a three-order super-twisting disturbance observer was designed to observe the disturbance and uncertainty that cannot be accurately measured in the system and realize the feedforward compensation of the system. Finally， simulation and experimental verification were carried out. The simulation and experimental results show that compared with global sliding mode control， the proposed method can effectively improve the response speed and tracking accuracy of the system， and make the system have good steady-state and dynamic performance.
Keywords：permanent magnet linear synchronous motor; global sliding mode control; adaptive reaching law; disturbance observer; tracking accuracy; anti-interference; chattering
0" 引" 言
近年來，永磁直線同步電機(jī)（permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM）由于具有高精確度、高推力密度和高動(dòng)態(tài)響應(yīng)等優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于高精密運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，如數(shù)控機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人手臂、物流分揀、自動(dòng)化生產(chǎn)線和半導(dǎo)體加工等領(lǐng)域。而且，PMLSM不需要中間的機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)，因此消除了諸如反沖、結(jié)構(gòu)共振等機(jī)械傳動(dòng)問題。但這種直接驅(qū)動(dòng)的工作方式也導(dǎo)致了負(fù)載變化、非線性摩擦和外部干擾等不確定性因素直接作用于PMLSM動(dòng)子上，進(jìn)而降低了PMLSM的位置跟蹤精確度［1-2］。因此，為了提高PMLSM伺服系統(tǒng)的抗擾性和跟蹤精確度，設(shè)計(jì)一個(gè)高性能的位置控制器成為PMLSM精準(zhǔn)位置跟蹤控制的關(guān)鍵。
為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者提出了各種先進(jìn)的控制方法，如迭代控制［3］、自抗擾控制［4］、滑?？刂疲?］和反推控制［6］等。由于滑?？刂品椒ň哂许憫?yīng)速度快、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于各種伺服驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)中。但傳統(tǒng)滑?？刂票举|(zhì)上的不連續(xù)開關(guān)特性將會(huì)引起系統(tǒng)的抖振［7］，由于趨近律直接對(duì)趨近過程產(chǎn)生影響，因此它可以更加有效地解決抖振問題。但在趨近律系數(shù)的選擇上，減小抖振和提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度往往會(huì)形成矛盾，為此，在等速趨近律、指數(shù)趨近律和冪次趨近律的基礎(chǔ)上對(duì)趨近律進(jìn)行改進(jìn)成為了一種趨勢(shì)。文獻(xiàn)［8］在等速趨近律的基礎(chǔ)上，將滑模面函數(shù)引入到以e為底的指數(shù)函數(shù)的冪次項(xiàng)中，可以提高趨近速度并減小抖振。文獻(xiàn)［9］基于指數(shù)趨近律進(jìn)行改進(jìn)，利用飽和函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)并改進(jìn)切換增益，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律相同，且系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能更好。文獻(xiàn)［10］將冪次趨近律與指數(shù)趨近律的指數(shù)趨近項(xiàng)相結(jié)合，提出了終端趨近律。該方法響應(yīng)速度比冪次趨近律快，抖振比指數(shù)趨近律小，但其最大趨近時(shí)間大于指數(shù)趨近律的到達(dá)時(shí)間。文獻(xiàn)［11］通過在指數(shù)趨近項(xiàng)中引入滑模面函數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)變量，有效地解決了這一問題。文獻(xiàn)［12-13］提出了改進(jìn)的雙冪次趨近律，縮短了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間，抑制了抖振并增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。
趨近律方法在干擾較小時(shí)可以保證很好的魯棒性和穩(wěn)定性，但當(dāng)干擾很大或者干擾上界未知時(shí)，不得不提高開關(guān)增益，這必然會(huì)加劇抖振。而利用干擾觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和補(bǔ)償可以有效地解決這一問題?；Ｓ^測(cè)器由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，實(shí)用性強(qiáng)，被廣泛應(yīng)用于無傳感器控制［14］和擾動(dòng)估計(jì)［15-16］中，在擾動(dòng)估計(jì)中，基于超螺旋算法的滑模觀測(cè)器可以實(shí)現(xiàn)更好的觀測(cè)性能［17］。文獻(xiàn)［18］為了解決干擾上界未知的問題，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)超螺旋滑模非線性擾動(dòng)觀測(cè)器來估計(jì)不匹配干擾，但是該方法僅通過仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，沒有進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)［19］利用超螺旋算法估計(jì)永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)中的擾動(dòng)，由于僅使用超螺旋算法中的開關(guān)函數(shù)積分部分來估計(jì)擾動(dòng)，因此估計(jì)的干擾中存在較大的抖振。為了解決這一問題，文獻(xiàn)［20］采用超螺旋滑?？刂坡芍械拈_關(guān)函數(shù)積分部分和滑模面函數(shù)部分共同估計(jì)擾動(dòng)，該方法有效地減小了抖振并提高了估計(jì)精確度。
為了提高PMLSM伺服系統(tǒng)的跟蹤精確度和抗干擾能力，本文提出基于自適應(yīng)趨近律的全局自適應(yīng)滑?？刂疲╣lobal adaptive sliding mode control，GASMC）方法，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并減小抖振。為了進(jìn)一步減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，將三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器（three order super twisting disturbance observer，3rd order STDOB）與全局自適應(yīng)滑?？刂破飨嘟Y(jié)合，利用三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)，從而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行前饋補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的跟蹤精確度和抗擾能力。通過仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行測(cè)試，驗(yàn)證所提方法的有效性。
1" PMLSM數(shù)學(xué)模型
PMLSM在d-q坐標(biāo)系下的電壓方程［21］為：
ud=Rsid+dψddt－ωrψq；uq=Rsiq+dψqdt+ωrψd。（1）
磁鏈方程表示為：
ψd=Ldid+ψf；
ψq=Lqiq。（2）
式中：ud、uq分別為d-q軸電壓；ψd、ψq分別為d-q軸的磁鏈；Ld、Lq為d-q軸的電感；id、iq為d-q軸電流；Rs為動(dòng)子相電阻；ψf為永磁體磁鏈；ωr為等效的轉(zhuǎn)子電角速度，ωr=πv/τ，其中：τ為極距；v為動(dòng)子線速度。
PMLSM的電磁推力為
Fe=3π2τpn［ψfiq+（Ld－Lq）idiq］。（3）
式中pn表示電機(jī)的極對(duì)數(shù)。
由于PMLSM伺服系統(tǒng)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的控制系統(tǒng)，所以采用id=0的矢量控制策略，則電磁推力可以重新寫為
Fe=3π2τpnψfiq=kfiq。（4）
式中kf為電磁推力系數(shù)，表示為
kf=3π2τψfpn。（5）
PMLSM的狀態(tài)方程為：
p·=v;
v·=－BMv+kfMu+d。（6）
式中：p表示直線電機(jī)的實(shí)際位置；v表示直線電機(jī)的速度；M和B分別為電機(jī)的動(dòng)子質(zhì)量和粘滯摩擦系數(shù)；d為系統(tǒng)中存在的不確定性；u=iq為伺服系統(tǒng)的控制輸入量。
2" 控制器設(shè)計(jì)
2.1" 全局滑模控制器設(shè)計(jì)
全局滑?？刂疲╣lobal sliding mode control，GSMC）通過設(shè)計(jì)一種滑模面函數(shù)，消除滑?？刂频内吔A段，具有響應(yīng)快速、全局魯棒性的優(yōu)點(diǎn)。
設(shè)系統(tǒng)的跟蹤誤差為
e=pref－p。（7）
式中：系統(tǒng)的給定位置為pref；實(shí)際位置為p。
設(shè)計(jì)全局滑模函數(shù)為
s=e·+ce－f（t）。（8）
式中：cgt;0；f（t）是為了實(shí)現(xiàn)全局滑模而設(shè)計(jì)的函數(shù)，f （t）滿足以下3個(gè)條件［8］：
1）f（0）=e·0+ce0；
2）t→∞時(shí)，f（t）→0；
3）f（t）具有一階導(dǎo)數(shù)。
根據(jù)上述3個(gè)條件，可將f（t）設(shè)計(jì)為
f（t）=f（0）e－λt=［e·0+ce0］e－λt。（9）
因此，滑模面函數(shù)可以改寫為
s=e·+ce－［e·0+ce0］e－λt。（10）
等速趨近律為
s·=－ksgn（s），kgt;0。（11）
式中k為開關(guān)增益。
忽略不確定性，得到全局滑?？刂坡蔀?/p>
u=Mkf［ce·+p··ref+BMv+ksgn（s）+λ［e·0+ce0］e－λt］。（12）
2.2" 全局自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
采用等速趨近律設(shè)計(jì)全局滑?？刂破鲿r(shí)，即使采用全局滑模函數(shù)提高了趨近速度，但是抖振仍然存在。因此，本節(jié)提出一種自適應(yīng)滑模趨近律，即
s·=f（e，s）sgn（s）=
－l|e|（1+α－e－β|s|）αsgn（s）。（13）
式中：f（e，s）為自適應(yīng)趨近律函數(shù)，f（e，s）≤0；lgt;0；βgt;0；0lt;αlt;1；并且limt→∞|e|=0。
由上式可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)未到達(dá)滑模面時(shí)，|e|很大，因此系統(tǒng)狀態(tài)可以迅速到達(dá)滑模面；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)，即|e|和|s|減小，f（e，s）將會(huì)收斂到l|e|，且隨著狀態(tài)變量不斷接近平衡點(diǎn)，其值不斷減小，從而減小了抖振。
以下從離散角度分析自適應(yīng)趨近律和等速趨近律。設(shè)采樣時(shí)間為Ts，將式（13）離散化得到
s（k+1）－s（k）=f（e，s）Tssgn［s（k）］。（14）
式（14）滿足
［s（k+1）－s（k）］sgn［s（k）］=
f（e，s）Ts|s（k）|lt;0。（15）
同時(shí)，當(dāng)采樣時(shí)間Ts很小時(shí)，2+f（e，s）Tsgt;0，可以得到
［s（k+1）+s（k）］sgn［s（k）］=
（2+f（e，s）Ts）|s（k）|gt;0。（16）
所以自適應(yīng)離散趨近律滿足離散滑模的存在和到達(dá)條件。
分析等速趨近律和自適應(yīng)趨近律的滑模帶寬。當(dāng)滑模面接近零時(shí)，自適應(yīng)趨近律的離散表達(dá)式為s（k+1）-s（k）≈-l|e|Tssgn（s（k）），假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡在有限步內(nèi)到達(dá)或穿越滑模面，即s（k）=0+或s（k）=0－，可以得到：
當(dāng)s（k）=0+時(shí)，s（k+1）≈－l|e|Ts；
當(dāng)s（k）=0－時(shí)，s（k+1）≈l|e|Ts。（17）
以上兩式說明，自適應(yīng)趨近律的切換帶由經(jīng)過原點(diǎn)的兩條射線組成，切換區(qū)為扇形，s=0夾在兩條射線的中間，切換帶的帶寬Δ≈l|e|Ts。
同樣地，等速趨近律s·=－ksgn（s）的離散表達(dá)式為s（k+1）－s（k）=－kTssgn［s（k）］，當(dāng)s（k）=0+時(shí)，s（k+1）≈－kTs；當(dāng)s（k）=0－時(shí)，s（k+1）≈kTs，切換區(qū)是不過原點(diǎn)的寬度為kTs的帶狀，當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，滑模函數(shù)在切換帶內(nèi)圍繞著s=0來回切換。
等速趨近律和自適應(yīng)趨近律的相軌跡分別如圖1（a）、圖1（b）所示。
對(duì)比圖1（a）和圖1（b）可知，等速趨近律的帶寬是一個(gè)固定值，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入切換帶內(nèi)時(shí)，最后只能圍繞原點(diǎn)不斷抖動(dòng)，而不能趨近原點(diǎn)。然而，自適應(yīng)趨近律的帶寬取決于|e|，當(dāng)|e|逐漸減小時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)將逐漸趨近于原點(diǎn)，因此自適應(yīng)趨近律能夠減小抖振。
結(jié)合式（7），忽略不確定性，可以得到PMLSM全局自適應(yīng)滑?？刂破鞯目刂坡蔀?/p>
u=Mkf［ce·+p··ref+BMv－
f（e，s）sgn（s）+λ［e·0+ce0］e－λt］。（18）
為了驗(yàn)證自適應(yīng)趨近律的性能，考慮如下二階系統(tǒng)：
x·1=x2；
x·2=－25x2+133u。（19）
給定指令為x1=sint，系統(tǒng)初始狀態(tài)為［x1" x2］=［－0.15" －0.15］，采用全局滑模面，分別利用等速趨近律和自適應(yīng)趨近律進(jìn)行仿真，得到的系統(tǒng)位置響應(yīng)、跟蹤誤差、控制器輸出、滑模運(yùn)動(dòng)相軌跡分別如圖2和圖3所示，自適應(yīng)趨近律的系數(shù)為c=10、l=150、α=0.01、β=0.5、λ=500。
由圖2（b）和圖3（b）可知，采用自適應(yīng)趨近律的滑?？刂聘櫨_度更高。穩(wěn)態(tài)時(shí)，采用等速趨近律的滑?？刂聘櫿`差在-0.9～+1.2 μm范圍內(nèi)波動(dòng)，而采用自適應(yīng)趨近律的滑模控制的跟蹤誤差幾乎為0。通過圖2（c）和圖3（c）對(duì)比可知，自適應(yīng)趨近律可以有效地減小抖振。通過圖2（d）和圖3（d）可以看出，自適應(yīng)趨近律調(diào)節(jié)時(shí)間更小，系統(tǒng)響應(yīng)速度更快。
2.3" 三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)
基于超螺旋算法設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器，對(duì)系統(tǒng)中存在的不確定性和擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，從而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，進(jìn)而提高PMLSM伺服系統(tǒng)的跟蹤精確度和抗干擾能力。
三階超螺旋滑模觀測(cè)器的數(shù)學(xué)模型為：
p^·=v^+k1|p－p^|2/3sgn（p－p^）；
v^·=－BMv^+kfMu+k2|p^·－v^|1/2sgn（p^·－v^）+d^；
d^·=k3sgn（p^·－v^）。（20）
式中：k1、k2、k3是觀測(cè)器設(shè)計(jì)參數(shù)；p^、v^、d^分別是p、v、d估計(jì)值。
實(shí)際變量和估計(jì)變量之間的誤差表示為：
p～·=v～－k1|p－p^|2/3sgn（p－p^）；
v～·=d～－k2|p^·－v^|1/2sgn（p^·－v^）；
d～=d－d^。（21）
式中：p～、v～、d～分別為位置估計(jì)誤差、速度估計(jì)誤差、擾動(dòng)估計(jì)誤差。上式為標(biāo)準(zhǔn)的三階觀測(cè)器的形式，其等效于一個(gè)二階微分器［22］。假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)D，使得|d|lt;D，當(dāng)三階超螺旋觀測(cè)器增益滿足下列等式時(shí)，觀測(cè)器穩(wěn)定且在有限時(shí)間收斂［23］：
k1=1.9D1/3；
k2=1.5D1/2；k3=1.1D。（22）
基于收斂性理論和式（22），當(dāng)估計(jì)狀態(tài)收斂到實(shí)際狀態(tài)，即p^=p，v^=p^·，可以得到
0=d－k2|p^·－v^|1/2sgn（p^·－v^）－d^。（23）
由于v^=p^·，則上式的第二項(xiàng)為0，那么可以得到
d^=d。（24）
因此，理論上d^是d的精確估計(jì)。
基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的全局自適應(yīng)滑?？刂坡蔀?/p>
u*=u+Mkfd^=Mkf［ce·+p··ref+BMv－f（e，s）×
sgn（s）+λ［e·0+ce0］e－λt］+
Mkf∫k3sgn（p^·－v^）dt。（25）
采用復(fù)合控制策略的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。
2.4" 穩(wěn)定性分析
為了分析整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選取李雅普諾夫函數(shù)為
V=12s2+12d～2。（26）
對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，可得
V·=ss·+d～d～·=
s［ce·+e··－f·（t）］+d～d～·=
s［ce·+p··ref－v·－f·（t）］+d～d～·=
s［ce·+p··ref+BMv－kfMu*－d－f·（t）］+d～d～·=
s［ce·+p··ref+BMv－（ce·+p··ref+BMv－f·（t）+
l|e|（1+α－e－β|s|）αsgn（s）+d^）+
d－f·（t）］+d～d～·=
s［－l|e|1+α－e－β|s|α×
sgn（s）］－sd～+d～d～·。（27）
進(jìn)一步可以寫為
V·≤d～ss2+|d～d～·|。（28）
由文獻(xiàn)［24］可知，三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的估計(jì)誤差及其變化率是有界的，所以存在兩個(gè)正數(shù)q1、q2使得
V≤d～ss2+d～d～·≤q1s2+|d～d～·|≤
q1（2V－d～2）+|d～d～·|≤2q1V+q2。（29）
式中：q1gt;|d～/s|；q2gt;－q1d～2+|d～d～·|。
由上式可知，在觀測(cè)器誤差收斂到零之前，李雅普諾夫函數(shù)V、滑模變量s和狀態(tài)變量d～不會(huì)發(fā)散到無窮［25］。因此，具有控制律式（29）的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
2.5" 控制器參數(shù)整定
1）c、l的整定準(zhǔn)則：為了提高系統(tǒng)的抗干擾性和響應(yīng)速度，c、l的值大多為較大正數(shù)，但過大的值會(huì)造成系統(tǒng)抖振和控制輸入飽和，因此要合理選擇。
2）α、β的整定準(zhǔn)則：當(dāng)|s|很大時(shí)，e－β|s|值幾乎為0，切換增益約等于l|e|（1+1/α），因此α應(yīng)為0到1之間的小數(shù)，當(dāng)α值越小時(shí)，1+1/α值越大，響應(yīng)速度越快，當(dāng)|s|很小時(shí)，e－β|s|值幾乎為1，切換增益約等于l|e|，抖振越小，因此α值的選取要和l值的選取相互配合，β值的選取應(yīng)使得|s|很大時(shí)，e－β|s|值幾乎為0，|s|很小時(shí)，e－β|s|值幾乎為1。
3）k1、k2、k3的整定準(zhǔn)則：k1、k2、k3均為大于0的正數(shù)，決定了三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的響應(yīng)速度，值越大響應(yīng)速度越快，但過大的值會(huì)引起抖振，因此要合理選擇。
3" 仿真分析
為驗(yàn)證所提控制方法的有效性和可行性，利用MATLAB/Simulink搭建仿真模型，仿真時(shí)采用的電機(jī)參數(shù)見表1。
將GSMC、GASMC、基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC進(jìn)行對(duì)比，仿真時(shí)3種方法的參數(shù)如下。GSMC參數(shù)：c=20，k=100；GASMC參數(shù)：c=100，l=700，α=0.5，β=0.01，λ=250；基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC參數(shù)：c=100，l=700，α=0.5，β=0.01，λ=250，k1=200，k2=200，k3=500。
給定位置指令為幅值為1 cm的階躍信號(hào)，限幅為50 A，仿真時(shí)間為2 s，在0.5 s突加20 N的負(fù)載擾動(dòng)，得到系統(tǒng)的位置響應(yīng)，位置誤差和控制輸入分別如圖5～圖7所示，三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器觀測(cè)到的擾動(dòng)如圖8所示，具體穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)如表2所示。
由圖5可知，采用GASMC和基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC方法響應(yīng)速度明顯快于GSMC方法，這是因?yàn)樵诔跏茧A段跟蹤誤差很大，在自適應(yīng)趨近律的作用下，系統(tǒng)的位置輸出信號(hào)可以快速跟蹤上給定指令信號(hào)。由圖6可知，基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC方法在受到擾動(dòng)影響后，可以快速地恢復(fù)到原來精確度，而GASMC方法不能回到原來精確度。從圖7可以明顯看出，采用GSMC方法會(huì)產(chǎn)生很大的抖振，而采用GASMC可以有效地降低抖振。
由圖8所示的擾動(dòng)觀測(cè)結(jié)果可知，三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器可以準(zhǔn)確快速地估計(jì)擾動(dòng)，且波動(dòng)很小。
4" 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
為進(jìn)一步驗(yàn)證利用所提方法設(shè)計(jì)的位置控制器能夠加快響應(yīng)速度，同時(shí)降低抖振，并且具有跟蹤精確度高、抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，利用圖9所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證，電機(jī)參數(shù)與仿真時(shí)參數(shù)相同。
控制器參數(shù)如下。GSMC參數(shù)：c=10，k=270；GASMC參數(shù)：c=17，l=370，α=0.09，β=0.08，λ=200；基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC參數(shù)：c=17，l=370，α=0.09，β=0.08，λ=200，k1=8，k2=10，k3=20。
實(shí)驗(yàn)一：為驗(yàn)證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，將系統(tǒng)的給定指令設(shè)置為幅值為2 cm的階躍信號(hào)，并在1 s時(shí)加入10 N的負(fù)載，得到的系統(tǒng)響應(yīng)、位置誤差、擾動(dòng)觀測(cè)曲線如圖10和圖11所示。由圖10（a）可知，自適應(yīng)趨近律能明顯地提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并且減小抖振。由圖10（b）可知，采用GSMC方法得到的位置誤差最后在-0.32～0.25 mm之間波動(dòng)，采用GASMC方法得到的位置誤差在突加負(fù)載后誤差由-0.04 mm增大至0.08 mm，可以看出，與三階超螺旋滑模觀測(cè)器相結(jié)合的GASMC方法得到補(bǔ)償后，誤差由-0.05 mm逐漸減小，在1.36 s時(shí)觀測(cè)器觀測(cè)的擾動(dòng)趨于穩(wěn)定，因此誤差在1.36 s達(dá)到0.02 mm并保持不變，說明擾動(dòng)觀測(cè)器可以有效地觀測(cè)出擾動(dòng)并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，因此第3種方法的跟蹤性能最好。
實(shí)驗(yàn)二：為驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，給定幅值為2 cm，周期為2 s的三角波信號(hào)，得到的位置誤差、控制輸入曲線如圖12、圖13所示。3種方法的位置跟蹤誤差的最大值分別為0.75、0.73、0.47 mm，平均絕對(duì)誤差分別為0.428 5、0.418 5、0.294 4 mm，均方根誤差分別為0.463、0.434 7、0.308 8 mm。GASMC方法能保持良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能且削弱了抖振，加入擾動(dòng)觀測(cè)器后，跟蹤精確度進(jìn)一步提高。
為了進(jìn)一步驗(yàn)證穩(wěn)態(tài)跟蹤性能，給定指令為幅值為2 cm，周期為2 s的正弦波信號(hào)，得到的位置誤差、控制輸入曲線如圖14、圖15所示。GSMC方法的位置跟蹤誤差的最大值為1.1 mm、平均絕對(duì)誤差為0.500 8 mm、均方根誤差為0.561 8 mm，GASMC方法的最大誤差為0.85 mm、平均絕對(duì)誤差為0.469 8 mm、均方根誤差為0.505 0 mm，加入擾動(dòng)觀測(cè)器后最大誤差為0.75 mm、平均絕對(duì)誤差為0.314 9 mm、均方根誤差為0.350 1 mm。GASMC方法能保持良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能且削弱了抖振，加入擾動(dòng)觀測(cè)器后，跟蹤精確度進(jìn)一步提高。
實(shí)驗(yàn)三：為驗(yàn)證系統(tǒng)參數(shù)失配時(shí)的穩(wěn)態(tài)性能，在PMSLM動(dòng)子上放置砝碼，使動(dòng)子實(shí)際質(zhì)量是額定參數(shù)的2倍，重復(fù)實(shí)驗(yàn)二。給定指令為三角波時(shí)，系統(tǒng)的位置誤差曲線和控制輸入曲線如圖16、圖17所示。GSMC方法的位置跟蹤誤差的最大值為0.75 mm、平均絕對(duì)誤差為0.422 5 mm、均方根誤差為0.455 3 mm，GASMC方法的最大誤差為0.61 mm、平均絕對(duì)誤差為0.347 mm、均方根誤差為0.362 2 mm，基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC方法的最大誤差為0.58 mm、平均絕對(duì)誤差為0.347 1 mm、均方根誤差為0.308 8 mm。由圖17可知，加入擾動(dòng)觀測(cè)器之后的電流波動(dòng)變大，因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)過程中，編碼器會(huì)受到噪聲的影響，而三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器作為二階微分器會(huì)放大噪聲的影響，因此使控制輸入產(chǎn)生波動(dòng)。
給定指令為正弦波時(shí)，系統(tǒng)的位置誤差曲線和控制輸入曲線如圖18、圖19所示。GSMC方法的位置跟蹤誤差的最大值為1.61 mm、平均絕對(duì)誤差為0.727 2 mm、均方根誤差為0.833 4 mm，GASMC方法的最大誤差為0.94 mm、平均絕對(duì)誤差為0.557 5 mm、均方根誤差為0.599 5 mm，基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC方法的最大誤差為0.73 mm、平均絕對(duì)誤差為0.308 mm、均方根誤差為0.357 2 mm。這表明，所提方法在參數(shù)失配的情況下，仍能保持良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能。
5" 結(jié)" 論
本文提出了一種全局自適應(yīng)滑?？刂破骱腿A超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合的復(fù)合控制策略，以解決PMLSM跟蹤精確度易受外部擾動(dòng)和參數(shù)變化等因素影響的問題。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于GSMC、GASMC方法，自適應(yīng)趨近律可以自行調(diào)節(jié)開關(guān)增益大小的能力以及擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的觀測(cè)和補(bǔ)償功能，使得復(fù)合控制策略顯著減小了系統(tǒng)的最大跟蹤誤差、平均絕對(duì)誤差和均方根誤差，并提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和抗干擾能力，減小了滑模控制產(chǎn)生的抖振問題，有效提高PMLSM伺服系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能。
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（編輯：邱赫男）
摘" 要：
針對(duì)永磁直線同步電機(jī)的位置跟蹤精確度易受外部擾動(dòng)、參數(shù)變化等不確定性因素影響的問題，提出全局自適應(yīng)滑模控制器與三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合的復(fù)合控制策略。首先，為了解決全局滑模控制存在的抖振問題，根據(jù)自適應(yīng)趨近律設(shè)計(jì)全局自適應(yīng)滑模控制器。自適應(yīng)趨近律可以根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化過程實(shí)時(shí)調(diào)整開關(guān)增益的大小，從而提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并減小抖振。然后，為了提高系統(tǒng)的跟蹤精確度以及抗干擾能力，設(shè)計(jì)三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器，利用擾動(dòng)觀測(cè)器觀測(cè)系統(tǒng)中無法精確測(cè)量的擾動(dòng)以及存在的不確定項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的前饋補(bǔ)償。最后，進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與全局滑模控制相比，所提方法能有效提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和跟蹤精確度，使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能。
關(guān)鍵詞：永磁直線同步電機(jī)；全局滑?？刂?；自適應(yīng)趨近律；擾動(dòng)觀測(cè)器；跟蹤精確度；抗擾性；抖振
DOI：10.15938/j.emc.2024.06.008
中圖分類號(hào)：TM359.4
文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A
文章編號(hào)：1007-449X（2024）06-0076-11
收稿日期： 2023-08-21
基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51875366）
作者簡(jiǎn)介：張" 艷（1999—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)橛来胖彬?qū)伺服系統(tǒng)及其控制；
王麗梅（1969—），女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榻涣魉欧到y(tǒng)及其控制；
方" 馨（1994—），女，博士研究生，研究方向?yàn)橛来胖彬?qū)伺服系統(tǒng)及其控制。
通信作者：王麗梅
Global adaptive sliding mode control for PMLSM based on third-order super-twisting disturbance observer
ZHANG Yan，" WANG Limei，" FANG Xin
（School of Electric and Engineering， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China）
Abstract：
Aiming at the problem that the position tracking accuracy of permanent magnet linear synchronous motor is easily affected by uncertain factors such as external disturbance and parameter change， a compound control strategy combining global adaptive sliding mode controller and three-order super-twisting disturbance observer was proposed. Firstly， in order to solve the chattering problem of global sliding mode control， the global adaptive sliding mode controller was designed according to the adaptive reaching law. The adaptive approach law can adjust the switching gain in real time according to the changing process of the system state variables， so as to improve the response speed of the system and reduce chattering. Then， in order to improve the tracking accuracy and anti-interference ability of the system， a three-order super-twisting disturbance observer was designed to observe the disturbance and uncertainty that cannot be accurately measured in the system and realize the feedforward compensation of the system. Finally， simulation and experimental verification were carried out. The simulation and experimental results show that compared with global sliding mode control， the proposed method can effectively improve the response speed and tracking accuracy of the system， and make the system have good steady-state and dynamic performance.
Keywords：permanent magnet linear synchronous motor; global sliding mode control; adaptive reaching law; disturbance observer; tracking accuracy; anti-interference; chattering
0" 引" 言
近年來，永磁直線同步電機(jī)（permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM）由于具有高精確度、高推力密度和高動(dòng)態(tài)響應(yīng)等優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于高精密運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，如數(shù)控機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人手臂、物流分揀、自動(dòng)化生產(chǎn)線和半導(dǎo)體加工等領(lǐng)域。而且，PMLSM不需要中間的機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)，因此消除了諸如反沖、結(jié)構(gòu)共振等機(jī)械傳動(dòng)問題。但這種直接驅(qū)動(dòng)的工作方式也導(dǎo)致了負(fù)載變化、非線性摩擦和外部干擾等不確定性因素直接作用于PMLSM動(dòng)子上，進(jìn)而降低了PMLSM的位置跟蹤精確度［1-2］。因此，為了提高PMLSM伺服系統(tǒng)的抗擾性和跟蹤精確度，設(shè)計(jì)一個(gè)高性能的位置控制器成為PMLSM精準(zhǔn)位置跟蹤控制的關(guān)鍵。
為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者提出了各種先進(jìn)的控制方法，如迭代控制［3］、自抗擾控制［4］、滑?？刂疲?］和反推控制［6］等。由于滑?？刂品椒ň哂许憫?yīng)速度快、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于各種伺服驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)中。但傳統(tǒng)滑?？刂票举|(zhì)上的不連續(xù)開關(guān)特性將會(huì)引起系統(tǒng)的抖振［7］，由于趨近律直接對(duì)趨近過程產(chǎn)生影響，因此它可以更加有效地解決抖振問題。但在趨近律系數(shù)的選擇上，減小抖振和提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度往往會(huì)形成矛盾，為此，在等速趨近律、指數(shù)趨近律和冪次趨近律的基礎(chǔ)上對(duì)趨近律進(jìn)行改進(jìn)成為了一種趨勢(shì)。文獻(xiàn)［8］在等速趨近律的基礎(chǔ)上，將滑模面函數(shù)引入到以e為底的指數(shù)函數(shù)的冪次項(xiàng)中，可以提高趨近速度并減小抖振。文獻(xiàn)［9］基于指數(shù)趨近律進(jìn)行改進(jìn)，利用飽和函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)并改進(jìn)切換增益，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律相同，且系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能更好。文獻(xiàn)［10］將冪次趨近律與指數(shù)趨近律的指數(shù)趨近項(xiàng)相結(jié)合，提出了終端趨近律。該方法響應(yīng)速度比冪次趨近律快，抖振比指數(shù)趨近律小，但其最大趨近時(shí)間大于指數(shù)趨近律的到達(dá)時(shí)間。文獻(xiàn)［11］通過在指數(shù)趨近項(xiàng)中引入滑模面函數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)變量，有效地解決了這一問題。文獻(xiàn)［12-13］提出了改進(jìn)的雙冪次趨近律，縮短了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間，抑制了抖振并增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。
趨近律方法在干擾較小時(shí)可以保證很好的魯棒性和穩(wěn)定性，但當(dāng)干擾很大或者干擾上界未知時(shí)，不得不提高開關(guān)增益，這必然會(huì)加劇抖振。而利用干擾觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和補(bǔ)償可以有效地解決這一問題?；Ｓ^測(cè)器由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，實(shí)用性強(qiáng)，被廣泛應(yīng)用于無傳感器控制［14］和擾動(dòng)估計(jì)［15-16］中，在擾動(dòng)估計(jì)中，基于超螺旋算法的滑模觀測(cè)器可以實(shí)現(xiàn)更好的觀測(cè)性能［17］。文獻(xiàn)［18］為了解決干擾上界未知的問題，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)超螺旋滑模非線性擾動(dòng)觀測(cè)器來估計(jì)不匹配干擾，但是該方法僅通過仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，沒有進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)［19］利用超螺旋算法估計(jì)永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)中的擾動(dòng)，由于僅使用超螺旋算法中的開關(guān)函數(shù)積分部分來估計(jì)擾動(dòng)，因此估計(jì)的干擾中存在較大的抖振。為了解決這一問題，文獻(xiàn)［20］采用超螺旋滑?？刂坡芍械拈_關(guān)函數(shù)積分部分和滑模面函數(shù)部分共同估計(jì)擾動(dòng)，該方法有效地減小了抖振并提高了估計(jì)精確度。
為了提高PMLSM伺服系統(tǒng)的跟蹤精確度和抗干擾能力，本文提出基于自適應(yīng)趨近律的全局自適應(yīng)滑?？刂疲╣lobal adaptive sliding mode control，GASMC）方法，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并減小抖振。為了進(jìn)一步減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，將三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器（three order super twisting disturbance observer，3rd order STDOB）與全局自適應(yīng)滑?？刂破飨嘟Y(jié)合，利用三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)，從而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行前饋補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的跟蹤精確度和抗擾能力。通過仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行測(cè)試，驗(yàn)證所提方法的有效性。
1" PMLSM數(shù)學(xué)模型
PMLSM在d-q坐標(biāo)系下的電壓方程［21］為：
ud=Rsid+dψddt－ωrψq；uq=Rsiq+dψqdt+ωrψd。（1）
磁鏈方程表示為：
ψd=Ldid+ψf；
ψq=Lqiq。（2）
式中：ud、uq分別為d-q軸電壓；ψd、ψq分別為d-q軸的磁鏈；Ld、Lq為d-q軸的電感；id、iq為d-q軸電流；Rs為動(dòng)子相電阻；ψf為永磁體磁鏈；ωr為等效的轉(zhuǎn)子電角速度，ωr=πv/τ，其中：τ為極距；v為動(dòng)子線速度。
PMLSM的電磁推力為
Fe=3π2τpn［ψfiq+（Ld－Lq）idiq］。（3）
式中pn表示電機(jī)的極對(duì)數(shù)。
由于PMLSM伺服系統(tǒng)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的控制系統(tǒng)，所以采用id=0的矢量控制策略，則電磁推力可以重新寫為
Fe=3π2τpnψfiq=kfiq。（4）
式中kf為電磁推力系數(shù)，表示為
kf=3π2τψfpn。（5）
PMLSM的狀態(tài)方程為：
p·=v;
v·=－BMv+kfMu+d。（6）
式中：p表示直線電機(jī)的實(shí)際位置；v表示直線電機(jī)的速度；M和B分別為電機(jī)的動(dòng)子質(zhì)量和粘滯摩擦系數(shù)；d為系統(tǒng)中存在的不確定性；u=iq為伺服系統(tǒng)的控制輸入量。
2" 控制器設(shè)計(jì)
2.1" 全局滑模控制器設(shè)計(jì)
全局滑?？刂疲╣lobal sliding mode control，GSMC）通過設(shè)計(jì)一種滑模面函數(shù)，消除滑?？刂频内吔A段，具有響應(yīng)快速、全局魯棒性的優(yōu)點(diǎn)。
設(shè)系統(tǒng)的跟蹤誤差為
e=pref－p。（7）
式中：系統(tǒng)的給定位置為pref；實(shí)際位置為p。
設(shè)計(jì)全局滑模函數(shù)為
s=e·+ce－f（t）。（8）
式中：cgt;0；f（t）是為了實(shí)現(xiàn)全局滑模而設(shè)計(jì)的函數(shù)，f （t）滿足以下3個(gè)條件［8］：
1）f（0）=e·0+ce0；
2）t→∞時(shí)，f（t）→0；
3）f（t）具有一階導(dǎo)數(shù)。
根據(jù)上述3個(gè)條件，可將f（t）設(shè)計(jì)為
f（t）=f（0）e－λt=［e·0+ce0］e－λt。（9）
因此，滑模面函數(shù)可以改寫為
s=e·+ce－［e·0+ce0］e－λt。（10）
等速趨近律為
s·=－ksgn（s），kgt;0。（11）
式中k為開關(guān)增益。
忽略不確定性，得到全局滑?？刂坡蔀?/p>
u=Mkf［ce·+p··ref+BMv+ksgn（s）+λ［e·0+ce0］e－λt］。（12）
2.2" 全局自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
采用等速趨近律設(shè)計(jì)全局滑?？刂破鲿r(shí)，即使采用全局滑模函數(shù)提高了趨近速度，但是抖振仍然存在。因此，本節(jié)提出一種自適應(yīng)滑模趨近律，即
s·=f（e，s）sgn（s）=
－l|e|（1+α－e－β|s|）αsgn（s）。（13）
式中：f（e，s）為自適應(yīng)趨近律函數(shù)，f（e，s）≤0；lgt;0；βgt;0；0lt;αlt;1；并且limt→∞|e|=0。
由上式可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)未到達(dá)滑模面時(shí)，|e|很大，因此系統(tǒng)狀態(tài)可以迅速到達(dá)滑模面；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)，即|e|和|s|減小，f（e，s）將會(huì)收斂到l|e|，且隨著狀態(tài)變量不斷接近平衡點(diǎn)，其值不斷減小，從而減小了抖振。
以下從離散角度分析自適應(yīng)趨近律和等速趨近律。設(shè)采樣時(shí)間為Ts，將式（13）離散化得到
s（k+1）－s（k）=f（e，s）Tssgn［s（k）］。（14）
式（14）滿足
［s（k+1）－s（k）］sgn［s（k）］=
f（e，s）Ts|s（k）|lt;0。（15）
同時(shí)，當(dāng)采樣時(shí)間Ts很小時(shí)，2+f（e，s）Tsgt;0，可以得到
［s（k+1）+s（k）］sgn［s（k）］=
（2+f（e，s）Ts）|s（k）|gt;0。（16）
所以自適應(yīng)離散趨近律滿足離散滑模的存在和到達(dá)條件。
分析等速趨近律和自適應(yīng)趨近律的滑模帶寬。當(dāng)滑模面接近零時(shí)，自適應(yīng)趨近律的離散表達(dá)式為s（k+1）-s（k）≈-l|e|Tssgn（s（k）），假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡在有限步內(nèi)到達(dá)或穿越滑模面，即s（k）=0+或s（k）=0－，可以得到：
當(dāng)s（k）=0+時(shí)，s（k+1）≈－l|e|Ts；
當(dāng)s（k）=0－時(shí)，s（k+1）≈l|e|Ts。（17）
以上兩式說明，自適應(yīng)趨近律的切換帶由經(jīng)過原點(diǎn)的兩條射線組成，切換區(qū)為扇形，s=0夾在兩條射線的中間，切換帶的帶寬Δ≈l|e|Ts。
同樣地，等速趨近律s·=－ksgn（s）的離散表達(dá)式為s（k+1）－s（k）=－kTssgn［s（k）］，當(dāng)s（k）=0+時(shí)，s（k+1）≈－kTs；當(dāng)s（k）=0－時(shí)，s（k+1）≈kTs，切換區(qū)是不過原點(diǎn)的寬度為kTs的帶狀，當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，滑模函數(shù)在切換帶內(nèi)圍繞著s=0來回切換。
等速趨近律和自適應(yīng)趨近律的相軌跡分別如圖1（a）、圖1（b）所示。
對(duì)比圖1（a）和圖1（b）可知，等速趨近律的帶寬是一個(gè)固定值，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入切換帶內(nèi)時(shí)，最后只能圍繞原點(diǎn)不斷抖動(dòng)，而不能趨近原點(diǎn)。然而，自適應(yīng)趨近律的帶寬取決于|e|，當(dāng)|e|逐漸減小時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)將逐漸趨近于原點(diǎn)，因此自適應(yīng)趨近律能夠減小抖振。
結(jié)合式（7），忽略不確定性，可以得到PMLSM全局自適應(yīng)滑?？刂破鞯目刂坡蔀?/p>
u=Mkf［ce·+p··ref+BMv－
f（e，s）sgn（s）+λ［e·0+ce0］e－λt］。（18）
為了驗(yàn)證自適應(yīng)趨近律的性能，考慮如下二階系統(tǒng)：
x·1=x2；
x·2=－25x2+133u。（19）
給定指令為x1=sint，系統(tǒng)初始狀態(tài)為［x1" x2］=［－0.15" －0.15］，采用全局滑模面，分別利用等速趨近律和自適應(yīng)趨近律進(jìn)行仿真，得到的系統(tǒng)位置響應(yīng)、跟蹤誤差、控制器輸出、滑模運(yùn)動(dòng)相軌跡分別如圖2和圖3所示，自適應(yīng)趨近律的系數(shù)為c=10、l=150、α=0.01、β=0.5、λ=500。
由圖2（b）和圖3（b）可知，采用自適應(yīng)趨近律的滑?？刂聘櫨_度更高。穩(wěn)態(tài)時(shí)，采用等速趨近律的滑?？刂聘櫿`差在-0.9～+1.2 μm范圍內(nèi)波動(dòng)，而采用自適應(yīng)趨近律的滑模控制的跟蹤誤差幾乎為0。通過圖2（c）和圖3（c）對(duì)比可知，自適應(yīng)趨近律可以有效地減小抖振。通過圖2（d）和圖3（d）可以看出，自適應(yīng)趨近律調(diào)節(jié)時(shí)間更小，系統(tǒng)響應(yīng)速度更快。
2.3" 三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)
基于超螺旋算法設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器，對(duì)系統(tǒng)中存在的不確定性和擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，從而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，進(jìn)而提高PMLSM伺服系統(tǒng)的跟蹤精確度和抗干擾能力。
三階超螺旋滑模觀測(cè)器的數(shù)學(xué)模型為：
p^·=v^+k1|p－p^|2/3sgn（p－p^）；
v^·=－BMv^+kfMu+k2|p^·－v^|1/2sgn（p^·－v^）+d^；
d^·=k3sgn（p^·－v^）。（20）
式中：k1、k2、k3是觀測(cè)器設(shè)計(jì)參數(shù)；p^、v^、d^分別是p、v、d估計(jì)值。
實(shí)際變量和估計(jì)變量之間的誤差表示為：
p～·=v～－k1|p－p^|2/3sgn（p－p^）；
v～·=d～－k2|p^·－v^|1/2sgn（p^·－v^）；
d～=d－d^。（21）
式中：p～、v～、d～分別為位置估計(jì)誤差、速度估計(jì)誤差、擾動(dòng)估計(jì)誤差。上式為標(biāo)準(zhǔn)的三階觀測(cè)器的形式，其等效于一個(gè)二階微分器［22］。假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)D，使得|d|lt;D，當(dāng)三階超螺旋觀測(cè)器增益滿足下列等式時(shí)，觀測(cè)器穩(wěn)定且在有限時(shí)間收斂［23］：
k1=1.9D1/3；
k2=1.5D1/2；k3=1.1D。（22）
基于收斂性理論和式（22），當(dāng)估計(jì)狀態(tài)收斂到實(shí)際狀態(tài)，即p^=p，v^=p^·，可以得到
0=d－k2|p^·－v^|1/2sgn（p^·－v^）－d^。（23）
由于v^=p^·，則上式的第二項(xiàng)為0，那么可以得到
d^=d。（24）
因此，理論上d^是d的精確估計(jì)。
基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的全局自適應(yīng)滑?？刂坡蔀?/p>
u*=u+Mkfd^=Mkf［ce·+p··ref+BMv－f（e，s）×
sgn（s）+λ［e·0+ce0］e－λt］+
Mkf∫k3sgn（p^·－v^）dt。（25）
采用復(fù)合控制策略的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。
2.4" 穩(wěn)定性分析
為了分析整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選取李雅普諾夫函數(shù)為
V=12s2+12d～2。（26）
對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，可得
V·=ss·+d～d～·=
s［ce·+e··－f·（t）］+d～d～·=
s［ce·+p··ref－v·－f·（t）］+d～d～·=
s［ce·+p··ref+BMv－kfMu*－d－f·（t）］+d～d～·=
s［ce·+p··ref+BMv－（ce·+p··ref+BMv－f·（t）+
l|e|（1+α－e－β|s|）αsgn（s）+d^）+
d－f·（t）］+d～d～·=
s［－l|e|1+α－e－β|s|α×
sgn（s）］－sd～+d～d～·。（27）
進(jìn)一步可以寫為
V·≤d～ss2+|d～d～·|。（28）
由文獻(xiàn)［24］可知，三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的估計(jì)誤差及其變化率是有界的，所以存在兩個(gè)正數(shù)q1、q2使得
V≤d～ss2+d～d～·≤q1s2+|d～d～·|≤
q1（2V－d～2）+|d～d～·|≤2q1V+q2。（29）
式中：q1gt;|d～/s|；q2gt;－q1d～2+|d～d～·|。
由上式可知，在觀測(cè)器誤差收斂到零之前，李雅普諾夫函數(shù)V、滑模變量s和狀態(tài)變量d～不會(huì)發(fā)散到無窮［25］。因此，具有控制律式（29）的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
2.5" 控制器參數(shù)整定
1）c、l的整定準(zhǔn)則：為了提高系統(tǒng)的抗干擾性和響應(yīng)速度，c、l的值大多為較大正數(shù)，但過大的值會(huì)造成系統(tǒng)抖振和控制輸入飽和，因此要合理選擇。
2）α、β的整定準(zhǔn)則：當(dāng)|s|很大時(shí)，e－β|s|值幾乎為0，切換增益約等于l|e|（1+1/α），因此α應(yīng)為0到1之間的小數(shù)，當(dāng)α值越小時(shí)，1+1/α值越大，響應(yīng)速度越快，當(dāng)|s|很小時(shí)，e－β|s|值幾乎為1，切換增益約等于l|e|，抖振越小，因此α值的選取要和l值的選取相互配合，β值的選取應(yīng)使得|s|很大時(shí)，e－β|s|值幾乎為0，|s|很小時(shí)，e－β|s|值幾乎為1。
3）k1、k2、k3的整定準(zhǔn)則：k1、k2、k3均為大于0的正數(shù)，決定了三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的響應(yīng)速度，值越大響應(yīng)速度越快，但過大的值會(huì)引起抖振，因此要合理選擇。
3" 仿真分析
為驗(yàn)證所提控制方法的有效性和可行性，利用MATLAB/Simulink搭建仿真模型，仿真時(shí)采用的電機(jī)參數(shù)見表1。
將GSMC、GASMC、基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC進(jìn)行對(duì)比，仿真時(shí)3種方法的參數(shù)如下。GSMC參數(shù)：c=20，k=100；GASMC參數(shù)：c=100，l=700，α=0.5，β=0.01，λ=250；基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC參數(shù)：c=100，l=700，α=0.5，β=0.01，λ=250，k1=200，k2=200，k3=500。
給定位置指令為幅值為1 cm的階躍信號(hào)，限幅為50 A，仿真時(shí)間為2 s，在0.5 s突加20 N的負(fù)載擾動(dòng)，得到系統(tǒng)的位置響應(yīng)，位置誤差和控制輸入分別如圖5～圖7所示，三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器觀測(cè)到的擾動(dòng)如圖8所示，具體穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)如表2所示。
由圖5可知，采用GASMC和基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC方法響應(yīng)速度明顯快于GSMC方法，這是因?yàn)樵诔跏茧A段跟蹤誤差很大，在自適應(yīng)趨近律的作用下，系統(tǒng)的位置輸出信號(hào)可以快速跟蹤上給定指令信號(hào)。由圖6可知，基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC方法在受到擾動(dòng)影響后，可以快速地恢復(fù)到原來精確度，而GASMC方法不能回到原來精確度。從圖7可以明顯看出，采用GSMC方法會(huì)產(chǎn)生很大的抖振，而采用GASMC可以有效地降低抖振。
由圖8所示的擾動(dòng)觀測(cè)結(jié)果可知，三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器可以準(zhǔn)確快速地估計(jì)擾動(dòng)，且波動(dòng)很小。
4" 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
為進(jìn)一步驗(yàn)證利用所提方法設(shè)計(jì)的位置控制器能夠加快響應(yīng)速度，同時(shí)降低抖振，并且具有跟蹤精確度高、抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，利用圖9所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證，電機(jī)參數(shù)與仿真時(shí)參數(shù)相同。
控制器參數(shù)如下。GSMC參數(shù)：c=10，k=270；GASMC參數(shù)：c=17，l=370，α=0.09，β=0.08，λ=200；基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC參數(shù)：c=17，l=370，α=0.09，β=0.08，λ=200，k1=8，k2=10，k3=20。
實(shí)驗(yàn)一：為驗(yàn)證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，將系統(tǒng)的給定指令設(shè)置為幅值為2 cm的階躍信號(hào)，并在1 s時(shí)加入10 N的負(fù)載，得到的系統(tǒng)響應(yīng)、位置誤差、擾動(dòng)觀測(cè)曲線如圖10和圖11所示。由圖10（a）可知，自適應(yīng)趨近律能明顯地提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并且減小抖振。由圖10（b）可知，采用GSMC方法得到的位置誤差最后在-0.32～0.25 mm之間波動(dòng)，采用GASMC方法得到的位置誤差在突加負(fù)載后誤差由-0.04 mm增大至0.08 mm，可以看出，與三階超螺旋滑模觀測(cè)器相結(jié)合的GASMC方法得到補(bǔ)償后，誤差由-0.05 mm逐漸減小，在1.36 s時(shí)觀測(cè)器觀測(cè)的擾動(dòng)趨于穩(wěn)定，因此誤差在1.36 s達(dá)到0.02 mm并保持不變，說明擾動(dòng)觀測(cè)器可以有效地觀測(cè)出擾動(dòng)并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，因此第3種方法的跟蹤性能最好。
實(shí)驗(yàn)二：為驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，給定幅值為2 cm，周期為2 s的三角波信號(hào)，得到的位置誤差、控制輸入曲線如圖12、圖13所示。3種方法的位置跟蹤誤差的最大值分別為0.75、0.73、0.47 mm，平均絕對(duì)誤差分別為0.428 5、0.418 5、0.294 4 mm，均方根誤差分別為0.463、0.434 7、0.308 8 mm。GASMC方法能保持良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能且削弱了抖振，加入擾動(dòng)觀測(cè)器后，跟蹤精確度進(jìn)一步提高。
為了進(jìn)一步驗(yàn)證穩(wěn)態(tài)跟蹤性能，給定指令為幅值為2 cm，周期為2 s的正弦波信號(hào)，得到的位置誤差、控制輸入曲線如圖14、圖15所示。GSMC方法的位置跟蹤誤差的最大值為1.1 mm、平均絕對(duì)誤差為0.500 8 mm、均方根誤差為0.561 8 mm，GASMC方法的最大誤差為0.85 mm、平均絕對(duì)誤差為0.469 8 mm、均方根誤差為0.505 0 mm，加入擾動(dòng)觀測(cè)器后最大誤差為0.75 mm、平均絕對(duì)誤差為0.314 9 mm、均方根誤差為0.350 1 mm。GASMC方法能保持良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能且削弱了抖振，加入擾動(dòng)觀測(cè)器后，跟蹤精確度進(jìn)一步提高。
實(shí)驗(yàn)三：為驗(yàn)證系統(tǒng)參數(shù)失配時(shí)的穩(wěn)態(tài)性能，在PMSLM動(dòng)子上放置砝碼，使動(dòng)子實(shí)際質(zhì)量是額定參數(shù)的2倍，重復(fù)實(shí)驗(yàn)二。給定指令為三角波時(shí)，系統(tǒng)的位置誤差曲線和控制輸入曲線如圖16、圖17所示。GSMC方法的位置跟蹤誤差的最大值為0.75 mm、平均絕對(duì)誤差為0.422 5 mm、均方根誤差為0.455 3 mm，GASMC方法的最大誤差為0.61 mm、平均絕對(duì)誤差為0.347 mm、均方根誤差為0.362 2 mm，基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC方法的最大誤差為0.58 mm、平均絕對(duì)誤差為0.347 1 mm、均方根誤差為0.308 8 mm。由圖17可知，加入擾動(dòng)觀測(cè)器之后的電流波動(dòng)變大，因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)過程中，編碼器會(huì)受到噪聲的影響，而三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器作為二階微分器會(huì)放大噪聲的影響，因此使控制輸入產(chǎn)生波動(dòng)。
給定指令為正弦波時(shí)，系統(tǒng)的位置誤差曲線和控制輸入曲線如圖18、圖19所示。GSMC方法的位置跟蹤誤差的最大值為1.61 mm、平均絕對(duì)誤差為0.727 2 mm、均方根誤差為0.833 4 mm，GASMC方法的最大誤差為0.94 mm、平均絕對(duì)誤差為0.557 5 mm、均方根誤差為0.599 5 mm，基于三階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的GASMC方法的最大誤差為0.73 mm、平均絕對(duì)誤差為0.308 mm、均方根誤差為0.357 2 mm。這表明，所提方法在參數(shù)失配的情況下，仍能保持良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能。
5" 結(jié)" 論
本文提出了一種全局自適應(yīng)滑?？刂破骱腿A超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合的復(fù)合控制策略，以解決PMLSM跟蹤精確度易受外部擾動(dòng)和參數(shù)變化等因素影響的問題。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于GSMC、GASMC方法，自適應(yīng)趨近律可以自行調(diào)節(jié)開關(guān)增益大小的能力以及擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的觀測(cè)和補(bǔ)償功能，使得復(fù)合控制策略顯著減小了系統(tǒng)的最大跟蹤誤差、平均絕對(duì)誤差和均方根誤差，并提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和抗干擾能力，減小了滑模控制產(chǎn)生的抖振問題，有效提高PMLSM伺服系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能。
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（編輯：邱赫男）
