[摘 要] 文章立足“一圖一題一課”的教學模式，以人教版教材例題為起點，一題多變，層層遞進鏈接長沙市中考真題，呈現(xiàn)“圓與相似三角形的綜合應用”復習課的教學設計，旨在提高初三復習課的效率，發(fā)展學生的高階思維能力.

[關鍵詞] 一圖一題一課;復習課;圓與相似三角形

復習的目的是“溫故而知新”. 在數(shù)學學習中，“溫故”指構(gòu)建更完整的知識體系，“知新”指促進高階數(shù)學思維能力的形成. 當前初三復習課中仍然存在針對性不強、缺乏有效整合的知識的復習，試圖通過大量的練習使學生掌握解題技巧. 這與新課標所要求的“在發(fā)現(xiàn)知識和收獲技能的同時，積淀一些超越具體知識、技能的基本思想和基本活動經(jīng)驗[1]”仍有不小差距. 而“一圖一題一課”的教學模式圍繞一個基本圖形深入探究題目，通過一題多解、一題多變，借題發(fā)揮，探索規(guī)律和方法，讓學生實現(xiàn)“做一題，通一類，會一片”[2];通過充分挖掘教材習題潛在的教學價值，發(fā)展學生的數(shù)學思維，落實核心素養(yǎng). 基于此，筆者設計了“圓與相似三角形的綜合應用”復習課，通過問題驅(qū)動，引領學生將孤立的知識進行串聯(lián);通過一題多變，幫助學生提煉通性通法.

基本情況

1. 教學內(nèi)容

“圓”與“相似三角形”分別位于人教版九年級上冊第二十四章和九年級下冊第二十七章，是教材的重要章節(jié). 圓與相似三角形的綜合應用涵蓋眾多知識點，是測評學生運算能力、推理能力、應用意識等核心素養(yǎng)的好素材，也是中考的熱門考點. 學生已掌握圓和相似三角形的基礎知識，具備一定的圓和相似三角形的證明與計算技能，但是分析和解決它們的綜合問題的能力較為薄弱. 因此，本課聚焦核心素養(yǎng)，結(jié)合相似三角形的知識，將教材中“圓周角”的例題進行改編，一圖貫穿一課;引導學生從不同角度分析基本圖形，激活舊知;設置合作探究的環(huán)節(jié)，鼓勵學生用不同的方法求解同一題;著眼由特殊到一般將例題進行系列改編，層層遞進，幫助學生在歸納總結(jié)中提升數(shù)學思維.

2. 教學目標

（1）通過分析教材例題的改編題，回顧圓的相關定理和相似三角形的常見模型，深化圓和相似三角形的性質(zhì)是判斷線段或角關系的重要工具;

（2）能夠結(jié)合條件聯(lián)想相關知識，適當添加輔助線，解決所求的線段數(shù)量關系;

（3）經(jīng)歷由簡單到復雜的解題過程，體會由特殊到一般的數(shù)學思想，提升“四能”，促進運算能力、推理能力、應用意識的發(fā)展.

教學過程

1. 識圖審圖，激活舊知

例題 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點D，連接CD，BD. 請回答以下問題：

（1）你能得出哪些線段或角的數(shù)量關系？

（2）延長AC，你能得到什么結(jié)論？

（3）圖中有哪些相似三角形？

設計意圖 引導學生用圓和相似三角形的相關知識分析問題，借題回顧舊知. 學生能快速發(fā)現(xiàn)關鍵信息AB⊥AC，BD⊥CD和BD=CD;分類歸納圖中包含的相似三角形，分別是蝴蝶型△ABE∽△CDE和△ACE∽△BDE、旋轉(zhuǎn)型△ABD∽△AEC和△ABE∽△ADC、母子型△ADC∽△CDE和△ADB∽△BDE.

2. 問題驅(qū)動，合作探究

變式1 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點D，連接CD，BD. 若BC=10，AB=8，（1）求CD的長;（2）求AD的長.

思路分析：（1）由例題的結(jié)論，借助勾股定理即可求CD的長;（2）從整體和局部觀察線段AD所在的三角形，均不便于求AD的長. 注意到圖中的∠BAD和∠CAD都是45°角，可借此構(gòu)造等腰直角三角形達到求AD的長的目的.

解：（1）因為BC是圓O的直徑，所以∠BAC=∠BDC=90°. 在Rt△ABC中，BC=10，AB=8，所以AC=6. 因為AE平分∠BAC，所以∠BAD=45°. 由同弧所對的圓周角相等得∠BCD=45°，所以△BCD是等腰直角三角形，因此CD=5.

（2）方法1：如圖2，作CF⊥AD交于點F，易知△ACF是等腰直角三角形，又AC=6，所以AF=CF=3.

在Rt△CDF中，CD=5，CF=3，所以DF=4. 因此，AD=AF+DF=7.

方法2：如圖3，作DG⊥AC，交AC的延長線于點G，易知△ADG是等腰直角三角形，所以AG=DG. 設CG=x，則DG=6+x. 在Rt△CDG中，DG2+CG2=CD2，即（6+x）2+x2=（5）2，解得x=1（x=-7舍去），所以DG=7. 因此，AD=DG=7.

方法3：如圖4，作DH⊥AD，交AC的延長線于點H，易知△ADH為等腰直角三角形，∠ADH=∠BDC，所以∠ADH-∠ADC=∠BDC-∠ADC，即∠CDH=∠BDA. 又CD=BD，DH=AD，所以△CDH≌△BDA（SAS）. 所以AH=AC+CH=14，在等腰直角三角形ADH中，AD==7.

方法4：如圖4，將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△HCD，使得BD與CD重合，顯然△ABD≌△HCD，所以AB=HC=8，∠ABD=∠HCD. 因為四邊形ABDC內(nèi)接于圓O，所以∠ABD+∠ACD=180°，因此∠ACD+∠HCD=180°，即A，C，H三點共線，所以AH=14. 在等腰直角三角形ADH中，AD==7.

設計意圖 此題主要考查利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形求AD的長，進一步探究基本圖形中圓內(nèi)接四邊形的對角線AD的長與已知線段長的關系. 學生可以想到作方法1中的輔助線，當然過點B作AD的垂線具有等同效果，而在原圖的外部添輔助線是學生的短板. 因此，教師組織學生合作構(gòu)造以∠CAD為底角的等腰直角三角形，分類討論以點C和點D為底角頂點或直角頂點，自主作圖，分析所作三角形是否利于求AD的長. 經(jīng)歷一題多解，對比歸納不同解法之間的聯(lián)系與區(qū)別，使學生提升解題技能，體會分類討論和轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.

變式2 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點D，連接CD，BD. 若BC=10，AB=8，（1）求DE的長;（2）求AE·DE的值.

思路分析1：由△ADC∽△CDE得對應邊成比例，可求DE的長;用AD-DE表示AE，即可計算出AE·DE的值.

方法1：（1）由例題知△ADC∽△CDE，所以= . 由變式1知AD=7，CD=5，所以DE=.

（2）因為AE=AD-DE=7-=，所以AE·DE=.

思路分析2：根據(jù)變式1可確定△ABE和△CDE的相似比，求DE的長可轉(zhuǎn)化為求其對應邊BE的長，進而聯(lián)想到用角平分線分線段成比例計算BE的長;求AE·DE的值也可以通過△ABE∽△CDE轉(zhuǎn)化為求BE·CE的值.

方法2：（1）根據(jù)角平分線分線段成比例，==，又BE+CE=10，所以BE=，CE=. 由例題知△ABE∽△CDE，所以=，即=，解得DE=.

（2）因為△ABE∽△CDE，所以=，即AE·DE=BE·CE=×=.

設計意圖 此題在變式1的基礎上，借助母子型和蝴蝶型相似三角形，深入研究基本圖形中的圓內(nèi)接四邊形的對角線的數(shù)量關系. 這是學生的學習難點，所以教師應當給予學生充足的試錯時間，鼓勵學生從不同角度思考，經(jīng)歷不同的解題路徑，豐富解決這類問題的經(jīng)驗.

3. 關聯(lián)方法，探尋本質(zhì)

變式3 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點D，連接CD，BD. 若tan∠ABC=，求的值.

思路分析1：在Rt△ABC中，由tan∠ABC=可設AC=3x，則AB=4x. 用變式1四種方法中的任一種，將線段AE，DE用含x的式子表示即可.

方法1：如圖4，作DH⊥AD，交AC的延長線于點H. 在Rt△ABC中，設AC=3x，則AB=4x，所以BC=5x，CD=x. 由變式1知，HC=AB=4x，所以AH=7x，在等腰直角三角形ADH中，AD==x. 由變式2知，=，解得DE=x，于是AE=AD-DE=x-x=x，所以=.

思路分析2：利用相似三角形的對應邊成比例將的值轉(zhuǎn)化為更容易求的線段比值，所以添輔助線構(gòu)造“8”字相似三角形.

方法2：如圖5，連接OD，作AI⊥BC交于點I. 在等腰直角三角形BCD中，點O是BC的中點，所以DO⊥BC. 于是AI∥DO，則有△AEI∽△DEO，所以=. 與方法1相同，設AC=3x，則AB=4x，BC=5x. 因為S△ABC=BC·AI=AB·AC，所以AI=x. 又DO=x，所以==.

設計意圖 將變式2的條件“BC=10，AB=8”改成“tan∠ABC=”，提示學生設未知數(shù)表示AB，AC兩線段的長. 已知線段的長由數(shù)變成字母，體現(xiàn)由特殊到一般的思維過程，考查學生的正向遷移能力. 引導學生在這個基本圖形中歸納出已知兩線段長，可求其他任意線段長.

變式4&nbs2w/SDJQnFGKIuVUtJ2rkKjaZLPGG8ULL6OgTwOdYD1Y=p; 如圖1，BC是圓O的直徑，△ABC的角平分線AE所在的直線交圓O于點D，連接CD，BD. 若AB=m，AC=n，CD=p，用含m，n，p的式子表示AE·DE和.

思路分析1：聯(lián)系變式3，AC與AB的比值由變成，運用類比思想，分別用含m，n，p的式子表示AE和DE.

方法1：如圖4，作DH⊥AD，交AC的延長線于點H. 由變式1知，HC=AB=m. 所以AH=m+n，在等腰直角三角形ADH中，AD==. 由變式2知，=，所以DE=. 又m2+n2=2p 2，所以AE=AD-DE=-=，所以AE·DE=·==，=.

思路分析2：考慮與AE和DE有關的相似三角形，用整體法求兩線段乘積和商的值.

方法2：由變式2知△ADC∽△CDE，所以DC2=DE·DA，即p 2=DE·AD ①. 易證△ACE∽△ADB，所以=，所以mn=AE·AD ②. 又AE+DE=AD，由①②兩式相加得，p 2+mn=AD2;由①②兩式相乘得，p2·mn=AE·DE·AD2，所以AE·DE== . 由②①兩式相除得=.

設計意圖 在變式3的基礎上，保留圖中圓內(nèi)接四邊形的邊長的一些特征，即AB⊥AC且BD=CD，進一步將條件一般化，使學生在分析的過程中發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，抽象出不變的圖形元素，歸納出一般的解題方法，形成幾何模型.

4. 重構(gòu)知識，鏈接中考

討論：請從知識、方法、思想三個方面總結(jié)本課所學.

課后延伸：當圖中圓內(nèi)接四邊形的一組鄰邊相等、另一組鄰邊不互相垂直時，哪些數(shù)量關系發(fā)生變化，哪些數(shù)量關系不變，又該如何解決問題？請完成變式5.

變式5 （2022年長沙中考第24題節(jié)選） 如圖6，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，對角線AC，BD相交于點E，當=，AB=m，AD=n，CD=p時，試用含m，n，p的式子表示AE·CE.

設計意圖 回顧本課，從教材例題出發(fā)鏈接到中考真題，變式鏈的設計遵循由簡單到復雜、由特殊到一般的原則，打破學生的知識壁壘，使學生重新認識圓與相似三角形的綜合問題的分析思路，體會變式中不變的數(shù)學方法和思想.

教學思考

1. 眼里有學生

“一圖一題一課”的教學模式與其他教學模式一樣，應遵循學生的身心發(fā)展規(guī)律，轉(zhuǎn)變知識本位的觀念，做到眼里有學生，重視個體多樣化的學習和發(fā)展需求，在以人為本的學生觀的指導下選題編題和設計教學環(huán)節(jié). 本課起始于教材例題，讓學生從低起點進入課堂，經(jīng)歷一題多變，一直變到中考壓軸題，層層推進學生思維的發(fā)展，滿足不同層次學生的學習需求.

2. 變中有不變

一題一課的變式教學不是隨意變，而是有目標和嚴密的邏輯性，與其中蘊含的思想方法有密切的聯(lián)系[3]. 變式鏈的生成自然、脈絡清晰;雖然條件在變，但是有一組鄰邊相等的圓內(nèi)接四邊形及相似三角形的基本圖形不變，圓內(nèi)接四邊形的線段數(shù)量關系在被推廣. 引導學生發(fā)現(xiàn)變式鏈中圖形的本質(zhì)，歸納解決問題的通法，形成基本幾何模型，提煉類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想. 兼顧技能和思想，落實素養(yǎng)導向的教學目標，這是“一圖一題一課”的魅力所在.

3. 思路有引領

羅增儒教授指出，缺乏解題方向的思路分析和解題思想的本質(zhì)提煉，叫作講“推理”而不講“道理”. 本課的教學環(huán)節(jié)由一題多變、一題多解支撐，教師通過設計層層遞進的題目為學生搭建臺階是一種隱形的解題思路引導，使學生垂直思考問題. 而具體問題中的思路分析依托于有效提問，例如，變式1中，通過提問根據(jù)目前已知的線段長能否求AD的長、由45°角能聯(lián)想到哪些知識、怎樣以及有幾種方法構(gòu)造等腰直角三角形，引領學生自主分類作圖，并用不同的方法推出所求，順勢概括出不同解法的共同點是利用解直角三角形求線段長.

參考文獻：

[1]孫曉天，沈杰. 義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀 初中數(shù)學[M]. 北京：教育科學出版社，2022.

[2]惠紅民，張征，劉喜榮. 一題一課 高中數(shù)學（函數(shù)與導數(shù)）[M]. 杭州：浙江大學出版社，2016.

[3]胡勝兵，李洪兵. 基于“一題一課”的初三數(shù)學主題復習設計與思考——以“等腰直角三角形手拉手模型”復習為例[J]. 數(shù)學通訊，2023（05）：12-14+55.