[摘 要] 開展解題探究，需要解析問題，分析命題，回歸教材知識考點，并通過思維引導(dǎo)的方式指導(dǎo)學(xué)生解析問題，明確解題的重點. 文章對一道模考題進(jìn)行深度探究，探索命題考向，指導(dǎo)解題過程，以期對師生的教學(xué)備考有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;幾何;教學(xué);數(shù)形結(jié)合

“解析問題，分析命題，回歸教材，教學(xué)探索”是中考備考階段重要的環(huán)節(jié)，有助于強化學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的綜合解題能力. 教師可選取具有代表性的中考真題或?？碱}，開展問題分析與教學(xué)指導(dǎo).

問題呈現(xiàn)

問題 （2023年湖北十堰市統(tǒng)考壓軸題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（-4，0），點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，直線AB與拋物線在第一象限交于點C（2，6）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）連接OC，點Q是直線AC上不與A，B重合的點，若S=2S，請求出點Q的坐標(biāo).

（3）在x軸上有一動點H，平面內(nèi)是否存在一點N，使以A，H，C，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

命題探索

本題是一道二次函數(shù)壓軸題，綜合性強，融合了拋物線、直線、三角形、菱形，題設(shè)三問，分別求拋物線的解析式、三角形面積關(guān)系解析、菱形存在性探究. 這是對學(xué)生知識、能力、思想方法等諸多方面的考查.

考題的后兩問為核心之問，第（2）問設(shè)定關(guān)鍵點，構(gòu)建兩個三角形，給定兩個三角形的面積關(guān)系;第（3）問則是設(shè)定動點，探究是否存在滿足條件的菱形. 顯然兩問充分綜合了函數(shù)與幾何的核心知識考點，是一道優(yōu)秀的模考題. 從問題的命制過程，可以管窺命題人對于本題所凝聚的心血與智慧.

優(yōu)秀?？碱}，在構(gòu)建與考查方式上可以凸顯出公平公正、探索性強、解法開放等特點，同時對于教學(xué)具有導(dǎo)向與引領(lǐng)作用. 教學(xué)中，教師需要關(guān)注問題的命題特色，從知識本源出發(fā)來探索.

特點1：命題取向——回歸教材

從整體來看，問題考查拋物線性質(zhì)、三角形面積、菱形判定，這些都是源自教材的核心知識點. 只是在具體構(gòu)建時命題人對其進(jìn)行了整合改造，使得問題更為新穎、綜合性強，但問題所涉及的圖形是學(xué)生所熟知的. 上述以教材知識考點為基礎(chǔ)，采用綜合構(gòu)建與深入挖掘的命題方式，使得問題回歸教材，立意又高于教材，這是中考所提倡的，可作為解題教學(xué)的重要題材. 考題回歸教材，也體現(xiàn)了對考生測評的公平性，能夠引導(dǎo)師生重視教材中的基礎(chǔ)知識，避免過于注重探究過難的問題.

特點2：考查過程——主線突出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確強調(diào)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗等思維活動的過程，即學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要注重開展思維活動，經(jīng)歷探究過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力. 學(xué)生思維能力的提升是一個長期的過程，需要師生共同努力.

本?？碱}先是以“拋物線與直線相交”知識點為載體進(jìn)行構(gòu)建的，后續(xù)研究三角形的面積關(guān)系，菱形存在性，即以“相交→三角形面積→特殊圖形”為研究主線，設(shè)置問題情形，難度逐步加大. 學(xué)生在解決問題的過程中，需要經(jīng)歷分析思考、作圖構(gòu)建、推理轉(zhuǎn)化等思維活動，可再現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的思維過程，從而提升綜合能力.

特點3：研究方法——數(shù)形結(jié)合

教師要指導(dǎo)學(xué)生掌握解析問題的一些基本方法，上述為典型的拋物線與幾何綜合的問題，涉及數(shù)形結(jié)合的思想方法. 從問題整體框架來看，題設(shè)條件與圖形對應(yīng)匹配，設(shè)定了拋物線與直線的相交關(guān)系、關(guān)鍵點的位置. 而后續(xù)設(shè)問的圖形并未給出，需要學(xué)生自行補充完整. 學(xué)生在探究問題時，需要按照“讀題審題—理解圖形—完善圖形—運用性質(zhì)”的方案來解析問題，可經(jīng)歷用數(shù)形結(jié)合的方法解析問題的全過程，最終掌握函數(shù)與幾何綜合題的解析方法.

解題指導(dǎo)

在教學(xué)綜合性壓軸題時，教師要為學(xué)生提供一定的解題指導(dǎo)，串聯(lián)問題條件，設(shè)定分步動作，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維. 綜合題的求解過程較為繁雜，教學(xué)中教師可以對其進(jìn)行拆解，讓學(xué)生理解每一步的具體含義，對于較為關(guān)鍵的步驟，則可以引導(dǎo)學(xué)生思考，明確關(guān)鍵點. 下面對上述?？碱}進(jìn)行解題指導(dǎo).

1. 待定系數(shù)求解析式

第（1）問求解拋物線的解析式，屬于基礎(chǔ)問題，其命題目的有兩點：一是引導(dǎo)學(xué)生理解條件，讀懂圖形;二是考查待定系數(shù)方法. 教學(xué)中教師要讓學(xué)生明晰求解特殊參數(shù)b和c的關(guān)鍵，以及把握拋物線上兩點：A和C.

教學(xué)引導(dǎo)設(shè)置如下兩個問題：

①求解拋物線的特征參數(shù)，需要采用什么方法？

②對于本題需要利用哪兩個點，如何求解？

解題過程：采用待定系數(shù)法求解拋物線解析式.

第一步，明晰關(guān)鍵點坐標(biāo)

根據(jù)題意可知，拋物線經(jīng)過點 A（-4，0）和點C（2，6）.

第二步，點代入構(gòu)建方程.

將點A和點C的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+c中，則有8-4b+c=0

2+2b+c=6，可解得b=2

c=0，所以拋物線解析式為y=x2+2x.

解后思考：待定系數(shù)法是求解解析式的重要方法，可用于求解直線或曲線的特征參數(shù)，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生明晰“特征參數(shù)?點坐標(biāo)”的對應(yīng)關(guān)系，明晰構(gòu)建方程是求解參數(shù)的重要途徑.

2. 面積模型轉(zhuǎn)化求點

第（2）問給定了兩三角形的面積關(guān)系，求解點Q的坐標(biāo)，屬于與面積相關(guān)的問題，難度適中，對學(xué)生的解析能力要求較高. 命題目的有三點：一考查三角形面積模型;二是考查轉(zhuǎn)化思維;三是考查數(shù)形結(jié)合思想方法. 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察分析核心條件——S=2S，根據(jù)點坐標(biāo)確定△OAC的面積可求，從而使學(xué)生明晰解題的關(guān)鍵思路：構(gòu)建△OAQ的面積模型，建立方程求坐標(biāo)參數(shù).

教學(xué)引導(dǎo)設(shè)置如下三個問題：

①觀察分析核心條件：S=2S，哪個三角形的面積可求？可以得出什么結(jié)論？

②結(jié)合點坐標(biāo)的具體情況，如何構(gòu)建△OAQ的面積模型？

③如何求解點Q的坐標(biāo)？

解題過程：先轉(zhuǎn)化分析面積關(guān)系條件，再構(gòu)建三角形面積，最后列方程求點坐標(biāo).

第一步，轉(zhuǎn)化核心條件

根據(jù)條件可知點A（-4，0）和C（2，6），顯然△OAC的面積可求，即S=×4×6=12，所以△OAQ的面積為S=2S=24.

第二步，構(gòu)建面積模型

點O和A均位于x軸上，且坐標(biāo)已知，可將△OAQ視為是以O(shè)A為底，點Q為頂點的三角形，則其面積可以表示為S=·OA·h（其中h表示點Q到x軸的距離）.

第三步，設(shè)定點Q坐標(biāo).

設(shè)定點Q的坐標(biāo)，已知點Q在直線AC上，根據(jù)點A和點C的坐標(biāo)，采用待定系數(shù)法可求出AC的解析式為y=x+4，故可設(shè)點Q（m，m+4）.

第四步，構(gòu)建方程求解

結(jié)合點Q的坐標(biāo)，可知△OAQ的面積可以表示為S=×4×m+4=24，從而可解得m=8或m=-16. 當(dāng)m=8時，點Q（8，12）;當(dāng)m=-16時，點Q（-16，-12）. 分析可知，兩點均滿足條件.

解后思考：上述展示了與面積關(guān)系相關(guān)的求點問題的解析轉(zhuǎn)化思路，解后需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三點：

一是注意分析面積關(guān)系條件，可采用直接簡化或間接轉(zhuǎn)化的方法;

二是重視面積模型的構(gòu)建方法，明確圖形的底和高;

三是注意審視結(jié)論，上述解出了兩個點，應(yīng)討論是否均滿足條件，同時從圖形視角思考，顯然點Q可以位于x軸的上方，也可以位于x軸的下方.

3. 分類討論構(gòu)建模型

第（3）問是菱形存在性問題，設(shè)定了動點，討論滿足條件的點N. 由于具體模型未定，教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生采用分類討論的思維方法，分別構(gòu)建模型，結(jié)合菱形的判定方法來開展. 本問主要考查兩點：一是分類討論、數(shù)形結(jié)合建模的思維方法;二是菱形存在的性質(zhì)定理. 在實際探究時，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，即菱形的對角線，這也是后續(xù)討論的基礎(chǔ).

教學(xué)引導(dǎo)設(shè)置如下三個問題：

①整體上采用何種策略和思維方法？

②觀察圖形，若AHCN為菱形，則可能存在幾種情形？根據(jù)菱形的對角線情形可分幾種討論模型？

③建模討論中明確菱形成立使用了何種性質(zhì)定理？

解題過程：采用“假設(shè)—驗證”的策略，同時結(jié)合分類討論與數(shù)形結(jié)合建模的思維方法來構(gòu)建解題過程.

第一步，假設(shè)成立，明確討論模型

假設(shè)存在一點N，使以A，H，C，N為頂點的四邊形是菱形. 分三種情形：①以AC為菱形的對角線;②以AH為菱形的對角線;③以AN為菱形的對角線.

第二步，分別建模，構(gòu)建菱形求解.

分三種情形建模討論，求解點N的坐標(biāo).

情形①：以AC為菱形的對角線，如圖2所示，由條件可求得點B（0，4），所以O(shè)A=OB=4，則∠BAO=45°，故∠NAO=90°，所以菱形AHCN為正方形，所以AH=AN=NC=6，所以點N的坐標(biāo)為（-4，6）.

情形②：以AH為菱形的對角線，如圖3所示，則點C和點N關(guān)于x軸對稱，易得點N的坐標(biāo)為（2，-6）.

情形③：以AN為菱形的對角線，如圖4所示（可細(xì)分為兩種情形），結(jié)合點A和點C的坐標(biāo)可知，AC==6，結(jié)合性質(zhì)定理可知CN=AC=6，點N的坐標(biāo)分別為（2+6，6）和（2-6，6）.

第三步，綜合模型，確定最終結(jié)論.

綜上可知，滿足條件的點N有四個，分別為（-4，6），（2，-6），（2+6，6）和（2-6，6）.

解后思考：對于存在性問題，采用“先假設(shè)，后驗證”的策略;對于不確定的模型問題，采用分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法. 對于上述菱形存在求點坐標(biāo)問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生明晰每一情形討論所借用的性質(zhì)定理：①菱形對角線平分頂角;②菱形的對稱性;③菱形的邊長相等.

寫在最后

命題分析、過程引導(dǎo)、解后思考是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，教學(xué)每個環(huán)節(jié)時教師要明晰核心，引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識問題，掌握構(gòu)建方法，深刻領(lǐng)悟方法精髓，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 教師要深度剖析典型問題，提煉解析策略與思維方法，并引導(dǎo)學(xué)生后續(xù)適度拓展.