[摘 要] “舍近求遠(yuǎn)”是幾何推理中的常見(jiàn)現(xiàn)象，研究者結(jié)合一道例題的教學(xué)闡述了該現(xiàn)象的成因及破解策略，并給出三點(diǎn)啟示：認(rèn)識(shí)基本圖形的性質(zhì)要循序漸進(jìn)，認(rèn)識(shí)基本圖形要文符同行，解法比對(duì)要凸顯基本圖形的優(yōu)勢(shì).

[關(guān)鍵詞] 基本圖形;推理能力;案例分析

“舍近求遠(yuǎn)”是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)舍棄便捷解法，“走彎路”“走遠(yuǎn)路”現(xiàn)象的統(tǒng)稱. 在幾何證明題中，此類解題現(xiàn)象尤為常見(jiàn). 面對(duì)此類問(wèn)題，有學(xué)生能緊貼題目設(shè)計(jì)者的意圖，用關(guān)鍵知識(shí)或技能探索思路，獲得解題“近路”，給出預(yù)期的、沒(méi)有多余步驟的解題過(guò)程;也有學(xué)生不能清晰識(shí)別題目意圖，用“低級(jí)”的知識(shí)或技能分析和解決問(wèn)題，關(guān)鍵知識(shí)或技能的解題缺位導(dǎo)致他們給出了正確但步驟略多的解題過(guò)程. 我們的幾何教學(xué)該如何破解這一常見(jiàn)難題呢？本文擬結(jié)合一道例題的教學(xué)分析談?wù)劀p少學(xué)生幾何推理“舍近求遠(yuǎn)”的教學(xué)策略，供大家參考.

一道例題的教學(xué)及分析

1. 例題

如圖，在△ABC，∠A=∠ABC，直線EF分別交△ABC的邊AB，AC和CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求證：∠F+∠FEC=2∠A.

2. 教學(xué)背景分析

本題被編排在人教版初中數(shù)學(xué)“11.2與三角形有關(guān)的角”的練習(xí)課中，學(xué)生在課前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形的內(nèi)角和等于180°”“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”等關(guān)鍵知識(shí)，對(duì)與這些關(guān)鍵知識(shí)相關(guān)的幾何圖形也已有了一定的認(rèn)識(shí). 選用本題目作為訓(xùn)練與講評(píng)的例題，意在幫助學(xué)生鞏固三角形的外角的性質(zhì)，提升學(xué)生用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行推理或計(jì)算，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

3. 學(xué)生的證明方法及分析

（1）證明方法

方法1 因?yàn)椤螦+∠ABC+∠ACB=180°，∠F+∠FEC+∠ACB=180°，所以∠A+∠ABC=∠F+∠FEC.

因?yàn)椤螦=∠ABC，所以∠F+∠FEC=2∠A.

方法2 因?yàn)椤螰EC=∠A+∠ADE，所以∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE.

因?yàn)椤螦DE=∠BDF，所以∠F+∠FEC=∠F+∠BDF+∠A.

因?yàn)椤螦BC=∠F+∠FDB，∠A=∠ABC，所以∠F+∠FEC=2∠A.

方法3 如圖2，延長(zhǎng)BC到M，則∠ACM=∠A+∠ABC=∠F+∠FEC.

因?yàn)椤螦=∠ABC，所以∠F+∠FEC=∠ACM=2∠A.

（2）證法分析

由于例題的難度不大，方法較多，全班學(xué)生均給出了正確的推理過(guò)程，其給出的證明方法主要有上面的三種. 其中，給出方法1的學(xué)生最多，有30人，給出方法3的學(xué)生僅3人，余下15名學(xué)生給出了方法2. 很明顯，在這三種方法中，最簡(jiǎn)單的是方法3. 這一方法直接利用三角形外角的性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)三角形的公共外角，形成等量關(guān)系，推出結(jié)論. 其解題的順暢與否取決于學(xué)生能否通過(guò)延長(zhǎng)BC構(gòu)造外角，利用∠ACM將∠F+∠FEC與∠A聯(lián)系起來(lái). 而另外兩種方法也想到了要轉(zhuǎn)化，只不過(guò)走的路略微遠(yuǎn)了些.

方法1是利用三角形的內(nèi)角間的關(guān)系進(jìn)行的轉(zhuǎn)化，能給出這種解法說(shuō)明學(xué)生對(duì)“三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°”是有較深的認(rèn)知的. 事實(shí)上這也不奇怪，學(xué)生在小學(xué)就已對(duì)“三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°”有了一個(gè)較為全面的認(rèn)知，從探索到應(yīng)用，從驗(yàn)證到計(jì)算，幾乎每個(gè)學(xué)生都有著十分豐富的經(jīng)歷. 加之到了初中后，對(duì)這一結(jié)論的證明讓他們對(duì)“三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°”的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步加深. 所以，由∠F+∠FEC自然而然地想到∠F+∠FEC+∠ACB=180°，是較為合理的. 至于進(jìn)一步利用等式性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，等量代換進(jìn)行等值轉(zhuǎn)換，也是進(jìn)一步獲取結(jié)論的需要，整個(gè)過(guò)程十分自然，大多數(shù)學(xué)生給出此過(guò)程也在情理之中.

方法2，用此法的學(xué)生對(duì)“三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)外角的和”是有了較深的認(rèn)知的. 學(xué)生借助兩個(gè)不同三角形的外角的數(shù)量關(guān)系，得到了“∠FEC=∠A+∠ADE，∠ABC=∠F+∠FDB”兩個(gè)與三角形的外角相關(guān)的結(jié)論，再利用“對(duì)頂角相等”及題中的條件得出了所要證明的結(jié)論. 這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生基于對(duì)原圖的仔細(xì)觀察，將要證明的結(jié)論合理分解，依據(jù)圖形生長(zhǎng)結(jié)論，充分運(yùn)用近期所學(xué)的關(guān)鍵知識(shí).

暫不論三種方法的繁簡(jiǎn)，它們都能順利證得結(jié)論，這就說(shuō)明學(xué)生對(duì)近期所學(xué)的圖形及其相關(guān)結(jié)論是有較為清醒的認(rèn)識(shí)的. 但之所以不同的學(xué)生給出了三種差異明顯的方法，還是因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角及其性質(zhì)的應(yīng)用停留在表層. “有形才有思”，“無(wú)形則無(wú)法思”，在不出現(xiàn)射線CM的情況下，想要讓學(xué)生自己主動(dòng)構(gòu)圖，形成基本圖形是很難的. 這或許是方法3出現(xiàn)人數(shù)很少的根本原因.

4. 教后思考

三種證明方法緊貼學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀生長(zhǎng)，都是正確的，筆者以為這對(duì)學(xué)生而言沒(méi)有好壞之分，但“近”的證法如此難想到，而“遠(yuǎn)”的證明過(guò)程如此高頻出現(xiàn)，不得不讓筆者思考：怎樣開(kāi)展幾何教學(xué)，才能讓學(xué)生不走或少走彎路呢？

筆者以為，幾何教學(xué)不能只是識(shí)圖，還要學(xué)會(huì)構(gòu)圖、用圖，在分析和解決問(wèn)題時(shí)，要讓學(xué)生基于圖形展開(kāi)豐富的聯(lián)想，多想想：圖中可能隱藏著什么結(jié)論？有沒(méi)有基本圖形（蘊(yùn)含著大量固定結(jié)論的具有穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的幾何圖形）？是否可以構(gòu)造基本圖形？通過(guò)基本圖形能不能給問(wèn)題解決帶來(lái)便利？如此反復(fù)思考，學(xué)生才有逐步走上問(wèn)題解決的快速通道的可能. 比如，解決文中例題時(shí)，當(dāng)學(xué)生看到結(jié)論中的∠F+∠FEC和圖形時(shí)，教師就可以引導(dǎo)他們思考：∠F和∠FEC是什么角？有沒(méi)有構(gòu)造出∠F+∠FEC的可能？從而引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)“延長(zhǎng)FC”的構(gòu)圖思路，并形成便捷的證明方法3. 如果每一次幾何教學(xué)，教師都能進(jìn)行這樣的引導(dǎo)，學(xué)生都能開(kāi)展這樣的深度思考，那“舍遠(yuǎn)求近”的解法也就會(huì)成為理所當(dāng)然了.

教學(xué)啟示

1. 認(rèn)識(shí)基本圖形的性質(zhì)要循序漸進(jìn)

任何一個(gè)新的幾何圖形及其相關(guān)結(jié)論的出現(xiàn)，都是建立在學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的綜合應(yīng)用的基礎(chǔ)上的. 因而，那些已有的知識(shí)不可避免地會(huì)對(duì)學(xué)生剛剛獲得的新知產(chǎn)生這樣或那樣的影響，有些影響是正向的，有利于學(xué)生鞏固與應(yīng)用新知;有些影響是反向的，不利于學(xué)生鞏固與應(yīng)用新知. 本文中的“三角形內(nèi)角和等于180°”和“三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這兩個(gè)定理本身是繼承與發(fā)展的關(guān)系，它們都是三角形的角的重要性質(zhì)，其中，三角形的外角性質(zhì)是由三角形的內(nèi)角和定理推導(dǎo)得出的，在很多時(shí)候，用三角形的外角性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題會(huì)比用三角形內(nèi)角和定理來(lái)得快一些，因而認(rèn)識(shí)三角形的外角這一基本圖形（如圖3）的性質(zhì)就應(yīng)成為教學(xué)的重點(diǎn). 但由于三角形內(nèi)角和定理深深扎根于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，用其解決與三角形有關(guān)的問(wèn)題是學(xué)生的首選，如果沒(méi)有長(zhǎng)期反復(fù)用三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用體驗(yàn)，是很難消除三角形內(nèi)角和定理對(duì)應(yīng)用三角形外角性質(zhì)探索便捷解題路徑的干擾的. 教師有必要從學(xué)生認(rèn)識(shí)外角開(kāi)始就進(jìn)行圖文應(yīng)用的逐步規(guī)劃，讓學(xué)生在反復(fù)解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，逐步體會(huì)三角形的外角性質(zhì)在幾何推理中的優(yōu)越性，進(jìn)而形成應(yīng)用其解決問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí).

2. 認(rèn)識(shí)基本圖形要文符同行

幾何教學(xué)中，圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言是學(xué)生認(rèn)知的主要內(nèi)容. 這三者在數(shù)學(xué)教學(xué)中往往是同步出現(xiàn)的，它們理所當(dāng)然是課堂教學(xué)的組成部分. 因此，教師呈現(xiàn)圖形的同時(shí)，要讓學(xué)生在歸納圖中結(jié)論時(shí)，從文本、符號(hào)兩個(gè)角度分析，用文本陳述結(jié)論，用符號(hào)表示結(jié)論，并在反復(fù)比對(duì)中矯正，形成正確、規(guī)范的數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得文本、圖形、符號(hào)之間的關(guān)聯(lián)通道. 在后續(xù)應(yīng)用交流中，讓學(xué)生反復(fù)進(jìn)行“圖文符”的關(guān)聯(lián)陳述，不僅能在單一圖形中識(shí)別其蘊(yùn)涵的結(jié)論，還能在復(fù)雜情境中抽象出基本圖形，把這些圖形中的結(jié)論應(yīng)用到復(fù)雜問(wèn)題的解決中去，培養(yǎng)學(xué)生“圖文符”同用的自覺(jué)性. 以三角形的外角性質(zhì)為例，教師不僅要讓學(xué)生認(rèn)知圖形（如圖3），還要讓他們知曉對(duì)外角∠ACD性質(zhì)的符號(hào)表述，即∠ACD=∠A+∠B. 在后續(xù)應(yīng)用中，教師要反復(fù)強(qiáng)調(diào)圖中存在的這些外角及其可以得到的角之間的數(shù)量關(guān)系. 在學(xué)生形成正確的解題思路的情況下，教師還要讓三角形外角的性質(zhì)以“圖文符”三種形式反復(fù)出現(xiàn)，持續(xù)鞏固對(duì)其的認(rèn)識(shí).

3. 解法比對(duì)要凸顯基本圖形的優(yōu)勢(shì)

一題多解是數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見(jiàn)內(nèi)容. 面對(duì)一題的多種不同解法，我們應(yīng)該關(guān)注什么？筆者覺(jué)得要凸出解法中基本圖形的優(yōu)勢(shì). 雖然，不同解法的步驟不一定相同，所有的知識(shí)也未必相同，但求解過(guò)程中，知識(shí)的提取、思路的獲得、過(guò)程的書寫等方面都一定存在著優(yōu)劣差異，因而教學(xué)中，必要的解法比對(duì)會(huì)讓學(xué)生明晰不同解法的優(yōu)勢(shì)所在，為學(xué)生后面選用便捷解法解決問(wèn)題積累經(jīng)驗(yàn). 以本文中的例題解法為例，方法1易想好用;方法2，用到了三角形的外角這一基本圖形的性質(zhì)，雖然過(guò)程有些煩瑣，但學(xué)生在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)三角形的外角并用好其性質(zhì)應(yīng)是值得肯定的，這對(duì)提升學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是有好處的;方法3的優(yōu)勢(shì)很明顯，一條輔助線的添加，形成了兩個(gè)三角形的同一個(gè)外角，巧妙地把兩個(gè)三角形中的內(nèi)角串聯(lián)起來(lái)，形成了非常簡(jiǎn)捷的解題過(guò)程，這也是例題設(shè)計(jì)者所期望的方法. 對(duì)于方法3中基本圖形的應(yīng)用，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加以重點(diǎn)探討，讓學(xué)生對(duì)三角形外角這一基本圖形的認(rèn)知再上一個(gè)新的臺(tái)階.

寫在最后

幾何推理雖有“遠(yuǎn)”“近”之分，但對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，正確的路徑應(yīng)無(wú)“遠(yuǎn)”“近”之分. 教師在關(guān)注便捷解法的同時(shí)，要關(guān)注煩瑣解法，從這些解法中剖析學(xué)生呈現(xiàn)解法的原因，在明確現(xiàn)有知識(shí)應(yīng)用的基礎(chǔ)上去找尋便捷解法，充分體現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，不斷提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，更為學(xué)生提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ). 本文結(jié)合一道例題解法的“遠(yuǎn)”“近”分析談了筆者對(duì)幾何圖形教學(xué)的一些認(rèn)識(shí)，不當(dāng)之處在所難免，敬請(qǐng)各位同行專家批評(píng)指正.