[摘 要] 一次函數(shù)的k值是研究其圖象的重要參數(shù)，在解題中有著一定的妙用，可以極大地簡(jiǎn)化解題過(guò)程，降低思維難度. 文章從三大視角進(jìn)行k值妙用探究，結(jié)合實(shí)例探索構(gòu)建思路，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 一次函數(shù)k值;特殊角;幾何變換

一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中的k是其重要的特征參數(shù)，影響著直線的變化趨勢(shì)，是研究直線特性的重要參數(shù). 實(shí)際上我們可以妙用一次函數(shù)的k值解題，下面結(jié)合實(shí)例具體探究，并總結(jié)方法思路.

關(guān)于k值妙用的探究

對(duì)于一次函數(shù)k值妙用的探究，需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是關(guān)注應(yīng)用內(nèi)涵的解析，探索應(yīng)用策略;二是關(guān)注k值應(yīng)用的示例探究，精選問(wèn)題，探索應(yīng)用過(guò)程. k值妙用主要有三種類(lèi)型，包括與特殊角的關(guān)系、與幾何運(yùn)動(dòng)規(guī)律的結(jié)合、隱含k值關(guān)聯(lián)，下面分類(lèi)探究.

1. 應(yīng)用k值探索特殊角

一次函數(shù)的k值與特殊角之間有著一定的關(guān)聯(lián)，把握兩者的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化解析過(guò)程. 具體關(guān)系如下：當(dāng)k=±1時(shí)，直線與x軸的夾角為45°;當(dāng)k=±時(shí)，直線與x軸的夾角為30°;當(dāng)k=±時(shí)，直線與x軸的夾角為60°.

例1 圖1所示為一次函數(shù)y=x+2的圖象，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交x軸于點(diǎn)C，則線段AC長(zhǎng)為_(kāi)_____.

分析：本題目中給定了一次函數(shù)的解析式，對(duì)直線AB進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，求解相關(guān)線段長(zhǎng). 已知一次函數(shù)解析式，且k=1，解析時(shí)可以妙用其與特殊角的關(guān)系，即當(dāng)k=1時(shí)直線與x軸的夾角為45°，從而確定幾何角的大小.

解析：已知一次函數(shù)y=x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，由一次函數(shù)的k=1，可得∠ABO=45°，△OAB為等腰直角三角形. 結(jié)合一次函數(shù)解析式可得點(diǎn)A（-2，0），B（0，2）. 在Rt△OAB中，利用勾股定理可得AB==4.

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，如圖1的虛線所示，由于∠CAD=∠OAB=45°，則△ACD為等腰直角三角形，可設(shè)CD=AD=x，則AC==x. 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ABC=30°，BC=2CD=2x，所以BD==x. 又可得BD=AB+AD=4+x，所以4+x=x，可解得x=2+2，所以AC=x=2+2.

評(píng)析 上述解析線段長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，用到了一次函數(shù)k值與特殊角的關(guān)系，即直接根據(jù)k=1求出∠ABO=45°，這是解題的關(guān)鍵.

2. 應(yīng)用k值與幾何運(yùn)動(dòng)規(guī)律的關(guān)系

幾何運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)，涉及平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，實(shí)際上一次函數(shù)的k值與幾何運(yùn)動(dòng)之間存在一定的規(guī)律，可以利用其規(guī)律直接推導(dǎo). 如直線平移過(guò)程中，一次函數(shù)的k值不變;直線關(guān)于坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線翻折時(shí)，翻折前后的k值互為相反數(shù). 而不與x軸平行或垂直的直線經(jīng)90°旋轉(zhuǎn)，前后兩直線的k值乘積為-1.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2，2），點(diǎn)C在y軸正半軸上，連接PC，將線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過(guò)點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線OP交于點(diǎn)A，且BD=4AD，直線CD與直線OP交于點(diǎn)Q，試回答下列問(wèn)題.

（1）求解點(diǎn)Q的坐標(biāo);

（2）求解直線PC和PD的解析式.

分析：本題目為與幾何綜合題，涉及了幾何直線旋轉(zhuǎn). 第（1）問(wèn)求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)，需要進(jìn)行幾何分析;第（2）問(wèn)則求解兩直線的解析式，可以把握兩者解析式k值的關(guān)系，即乘積為-1，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

解析：（1）當(dāng)點(diǎn)D在直線OP的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OC于E，EP的延長(zhǎng)線交AB于F，如圖3所示.

已知AB⊥OB，則∠OBF=∠EOB=∠FEO=90°，可知四邊形EOBF是矩形. 已知點(diǎn)P（2，2），則OE=PE=BF=2. 因?yàn)椤螩PD=90°，則∠CPE+∠DPF=90°，∠ECP+∠CPE=90°，可推得∠ECP=∠DPF.

在△CPE和△PDF中，有∠PEC=∠PFD，

∠PCE=∠DPF，

PC=PD，可證△CPE≌△PDF（AAS），所以DF=PE=2，則BD=BF+DF=4. 因?yàn)锽D=4AD，可得AD=1，AB=OB=5，則CE=PF=3，可求得D（5，4），C（0，5）. 利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式為y=-x+5，從而可得點(diǎn)Q

，.

當(dāng)點(diǎn)D在直線OP的上方時(shí)，參考上述方法，可得C（0，3），D（3，4），利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式為y=x+3，從而可得點(diǎn)Q

，.

（2）由第（1）問(wèn)結(jié)論可知，當(dāng)點(diǎn)D在直線OP的下方時(shí)，有D（5，4），C（0，5）. 又知點(diǎn)P（2，2），利用待定系數(shù)法求得其解析式為y=-x+5. 由于直線PC與PD垂直，則有k=，直線PD的解析式為y=x+.

當(dāng)點(diǎn)D在直線OP的上方時(shí)，有C（0，3），D（3，4），結(jié)合點(diǎn)P坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得其解析式為y= -x+3. 直線PC與PD垂直，則可推知k=2，直線PD的解析式為y=2x-2.

評(píng)析 求解兩線的解析式時(shí)，充分利用了垂直直線之間k值的關(guān)系，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程. 對(duì)于與x軸平行的直線，此時(shí)k=0，旋轉(zhuǎn)90°后，恰好與y軸平行，此時(shí)不存在k，這一點(diǎn)需要注意.

3. 應(yīng)用k值的隱含關(guān)系

在一次函數(shù)中還存在k值的隱含關(guān)系，如與正切值的關(guān)系，即k=tanθ，θ表示直線與x軸的夾角. 而在坡度問(wèn)題中，k與坡度角之間也存在一定的聯(lián)系. 探究解析時(shí)，可充分利用其隱含關(guān)系，構(gòu)建點(diǎn)、線、角與k值的聯(lián)系.

例3 已知點(diǎn)A（4m，3m），且m>0，點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP=5，則△PAB周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.

分析：本題目求解三角形周長(zhǎng)的最小值，總體上需要分兩步進(jìn)行：第一步，探究解析，確定最值情形;第二步，求解線段長(zhǎng)，確定周長(zhǎng)最值. 而求解線段長(zhǎng)時(shí)，可以充分利用一次函數(shù)k值的隱含關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化推導(dǎo).

解析：如圖4所示，作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，連接EF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF于H.

由題意可知點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，所以O(shè)E=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠FOB=∠POB，AP=AE，BP=BF. 因?yàn)椤鱌AB周長(zhǎng)=AP+BP+AB=AE+BF+AB，分析可知當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)F共線時(shí)，AE+BF+AB的值最小，即最小值為EF.

因?yàn)椤螮OA=∠POA，∠FOB=∠POB，所以∠EOF=2∠AOB. 由于OE=OF=5，OH⊥EF，則EH=FH，∠EOH=∠EOF=∠AOB，由于點(diǎn)A（4m，3m），則直線OA的解析式為y=x，其中k=，所以tan∠AOB=k=. 進(jìn)而可知tan∠EOH==，且OE=5，所以EH=4，EF=8，即△PAB周長(zhǎng)的最小值為8.

評(píng)析 上述求解三角形周長(zhǎng)的最小值，實(shí)則為“軸對(duì)稱(chēng)—最短路徑問(wèn)題”. 解析的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是構(gòu)建最值模型，確定最值情形;二是轉(zhuǎn)化求解其中的線段長(zhǎng)，解析時(shí)需要利用一次函數(shù)k值的隱含關(guān)系，直接推導(dǎo)角度的正切值，求得線段長(zhǎng).

關(guān)于解題的教學(xué)思考

上述結(jié)合實(shí)例深入探究了一次函數(shù)k值的妙用，分別從特殊角、幾何變換、隱含關(guān)系三大視角進(jìn)行剖析，總結(jié)了相應(yīng)的知識(shí)規(guī)律，形成了轉(zhuǎn)化應(yīng)用的具體思路. 下面筆者將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

1. 強(qiáng)化定義公式，構(gòu)建知識(shí)關(guān)聯(lián)

上述圍繞一次函數(shù)的k值開(kāi)展應(yīng)用探究，與幾何特殊角、正切值、動(dòng)態(tài)幾何構(gòu)建了知識(shí)關(guān)聯(lián)，形成了相應(yīng)的轉(zhuǎn)化思路. 教師可以分三個(gè)階段教學(xué)：階段一，概念定義公式教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生理解k值的概念、幾何意義，以及求解的具體公式;階段二，探索與k值相聯(lián)系的知識(shí)，如由直線與x軸的特殊角直接求k值、相關(guān)角度的正切值;階段三，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)關(guān)系梳理，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，形成關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò). 階段性教學(xué)中教師需要立足教材的知識(shí)定義，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探究分析，領(lǐng)悟定義本質(zhì)，掌握知識(shí)要點(diǎn).

2. 注重應(yīng)用探究，梳理構(gòu)建思路

對(duì)于一次函數(shù)k值的妙用探究，需要圍繞其知識(shí)關(guān)聯(lián)從上述三大Fn5I6hVkXJV6KNZc1UzLBw==視角進(jìn)行，即與特殊角的關(guān)系、與動(dòng)態(tài)幾何的關(guān)聯(lián)及常用的隱含關(guān)系. 而在應(yīng)用探究中需要注意三點(diǎn)：一是注意應(yīng)用的知識(shí)解讀，分析知識(shí)關(guān)聯(lián)，形成常規(guī)的解題策略;二是注意結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)探究，探究中可分為“解題分析”與“過(guò)程詳解”兩個(gè)階段，引導(dǎo)學(xué)生分析解題方法，探索k值妙用，呈現(xiàn)構(gòu)建過(guò)程，掌握構(gòu)建思路;三是注意解后反思總結(jié)，總結(jié)應(yīng)用過(guò)程、轉(zhuǎn)化思路、構(gòu)建策略，教師可適度點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生思考應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思路.

3. 合理滲透思想，提升綜合素養(yǎng)

一次函數(shù)k值妙用的探究過(guò)程中涉及了眾多的思想方法，以上述探究問(wèn)題為例，其中隱含了構(gòu)造、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想. 教師要注意開(kāi)展思想方法教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)思想，于潛移默化中提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 對(duì)此，教師可分為三個(gè)階段教學(xué)：一是思想方法定義教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生理解其思想內(nèi)涵;二是解題應(yīng)用滲透教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解題，掌握構(gòu)建思路;三是開(kāi)展數(shù)學(xué)思想解題反思，思考其應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)適度拓展，提升學(xué)生思維的靈活性. 思想方法能力提升是一個(gè)長(zhǎng)期過(guò)程，教師應(yīng)注意合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生理解方法精髓，讓學(xué)生逐步掌握其構(gòu)建策略.

寫(xiě)在最后

上述圍繞一次函數(shù)k值的妙用從三個(gè)方面進(jìn)行解題探索，形成了k值轉(zhuǎn)化應(yīng)用的方法策略. 探究教學(xué)中，教師要注意精選問(wèn)題類(lèi)型，突出轉(zhuǎn)化構(gòu)建過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生分析思路. 歸納、總結(jié)，讓學(xué)生充分理解知識(shí).