[摘 要] 分式是初中階段重要內(nèi)容之一. 研究者以“分式”的章起始課為例，具體從“問題定位起點，凸顯概念;類比喚醒經(jīng)驗，構(gòu)建方法;實驗揭示原理，思維生長;生活實際應(yīng)用，拓展思維”等方面展開教學(xué)，并談幾點思考.

[關(guān)鍵詞] 章起始;教學(xué);分式

觀察各個版本的數(shù)學(xué)教材，會發(fā)現(xiàn)每章的開頭都安排了章前圖、章引言或章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)等，這些內(nèi)容都是可以用來作為拓展章起始課的學(xué)習(xí)材料，對激趣啟思具有重要意義. 然而，當(dāng)前仍有部分教師沒有對章起始課引起重視. 殊不知，章起始課是實施結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ)，其內(nèi)容豐富，蘊含著整個章節(jié)的核心知識與關(guān)鍵思想，具有統(tǒng)領(lǐng)章節(jié)的作用，對促進(jìn)學(xué)生個體發(fā)展具有重要價值[1]. 本文以“分式”的章起始課為例談?wù)缕鹗颊n的教學(xué)設(shè)計，并展開教學(xué)反思.

教學(xué)簡錄

1. 問題定位起點，凸顯概念

問題1 若已知一個長方形的面積為10 m2，長為4 m，根據(jù)這個條件能獲得什么結(jié)論？

學(xué)生表示可獲得長方形的寬為m，教師趁機(jī)追問：如圖1，已知長方形的長為a m，面積為10 m2，那么該長方形的寬是多少米？

毫無懸念，學(xué)生快速分析出長方形的寬為 m.

追問：若已知某個長方形的面積為b m2，長為a m，該長方形的寬是多少米？

設(shè)計意圖 長方形是初中學(xué)生非常熟悉的一類平面幾何圖形，對根據(jù)長寬求面積每個學(xué)生都駕輕就熟. 用字母來表示長方形的長寬，屬于一種順應(yīng)學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗的淺層抽象，這種抽象能將分式的基本形態(tài)展現(xiàn)出來，讓學(xué)生更加自然地接受分式的形成與存在意義.

問題2 若準(zhǔn)備將一些橘子分給若干名學(xué)生，每個學(xué)生能分到幾個橘子？

這個問題條件比較模糊，大部分學(xué)生都認(rèn)為條件中沒有“數(shù)”，不好決定怎么分配. 為了突破沒有數(shù)的問題，有學(xué)生提出通過“設(shè)未知數(shù)”來解決問題，即用字母來表示數(shù). 具體為：設(shè)有x個橘子，y名學(xué)生，那么每個學(xué)生可獲得個.

追問1：若砂糖橘有a個，黃巖橘有b個，有4名男生，m名女生，平均每人能分得幾個橘子？

“分東西”是生活中常見的一種現(xiàn)象，教師所提出的問題沒有涉及數(shù)的目的在于喚醒學(xué)生的符號意識，讓學(xué)生自主想到設(shè)未知數(shù)來表達(dá)相應(yīng)的問題，以體會分式的生活意義. 此處，學(xué)生列式為. 為了進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的思維，教師要求學(xué)生思考如下幾個問題：①以上幾個問題的結(jié)論，都是通過什么運算獲得的？（除法）②各個式子具有哪些相同點？（均為整式）③之前我們探討過整式的加法、減法、乘法，大家覺得接下來該研究什么了？（整式除法）.

在學(xué)生順利完成以上幾個問題后，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起進(jìn)行如下操作活動，要求各組學(xué)生互相配合，將手中的信封按照如下活動規(guī)則進(jìn)行操作：各組安排4名學(xué)生共同參與，甲生從信封里抽出一張卡片，乙生抽出第二張，丙生將兩張卡片上的式子進(jìn)行除法擺放，組成新的式子，丁生代表小組成員發(fā)言.

通過活動結(jié)論的展示，師生、生生共同討論哪些式子屬于分?jǐn)?shù)，哪些式子屬于整式，剩下的式子因為分母中含有字母，因此既不屬于整式，也不屬于分?jǐn)?shù). 此時，教師揭曉答案——分式，并強(qiáng)調(diào)這就是本章節(jié)將要探討的內(nèi)容.

設(shè)計意圖 “分橘子”活動，意在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)的思維來觀察與思考現(xiàn)實世界，隨著問題符號化的應(yīng)用，學(xué)生逐漸抽象出分式的基本形態(tài)，并自主發(fā)現(xiàn)整式的除法運算. “拼式子”活動的開展，將兩個整式相除所存在的三類情況都展示出來，分別為分?jǐn)?shù)、整式與分式. 學(xué)生通過對式子的觀察、分析與類比，去除可確定的分?jǐn)?shù)與整式，剩下的就是分式了，通過對剩下式子的觀察，即可明確分式的定義.

2. 類比喚醒經(jīng)驗，構(gòu)建方法

師：大家聽到“分式”這個詞語，首先會聯(lián)想到什么詞語？

生1：分?jǐn)?shù).

在此基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生說說在小學(xué)階段研究過分?jǐn)?shù)的哪些內(nèi)容，學(xué)生如數(shù)家珍，有分?jǐn)?shù)的運算，如加法、減法、通分、約分，還有用分?jǐn)?shù)解決實際問題等.

師：類比分?jǐn)?shù)，大家覺得本章節(jié)我們研究分式，可能會探索哪些內(nèi)容呢？

生2：可能會研究分式的概念、性質(zhì)、運算、應(yīng)用等知識.

設(shè)計意圖 分?jǐn)?shù)是學(xué)生熟悉的內(nèi)容，將學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容與方法提取出來與分式進(jìn)行類比，一方面可喚醒學(xué)生研究分?jǐn)?shù)時的經(jīng)驗，讓學(xué)生通過對知識的整理從整體上回顧分?jǐn)?shù)相關(guān)內(nèi)容;另一方面為分式章節(jié)的學(xué)習(xí)搭建研究框架，讓學(xué)生學(xué)會站到宏觀的角度來審視章節(jié)教學(xué)內(nèi)容，發(fā)展數(shù)學(xué)觀，真正促進(jìn)思維的發(fā)展.

3. 實驗揭示原理，思維生長

師：確實，分式與分?jǐn)?shù)存在不少類似的地方，分式究竟是否存在與分?jǐn)?shù)類似的性質(zhì)呢？請大家回憶下分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，思考：若=，那么=嗎？

學(xué)生認(rèn)為相等，但這僅僅是個猜想，想要證明猜想是否準(zhǔn)確，還需進(jìn)一步驗證. 但學(xué)生一下子想不到用什么辦法來驗證這個猜想，教師做如下引導(dǎo)：

師：現(xiàn)在我們回過頭來觀察圖1，圖中的10代表什么意思？

生：表示長方形的面積是10 m2.

師：那么10×2表示什么意思呢？

生3：表示兩個相等大小長方形的面積.

師：若我再給你們提供一個完全一樣的長方形，此時可以確定a×2代表了什么意思？

生4：代表了兩條長度均為a的線段或長為2a的線段.

師：能否用長方形紙片來探索這個問題？

如圖2，學(xué)生自主準(zhǔn)備兩張長方形紙片，疊放到一起組成一個大的長方形，該長方形的一條邊長為2a，面積為20 m2，那么該長方形的另一條邊長為=，由此可確定該猜想成立. 再分析N個大小一樣的長方形進(jìn)行類似拼接，有=.

為了進(jìn)一步深化學(xué)生對分式運算的認(rèn)識，教師帶領(lǐng)學(xué)生運用逆向思維進(jìn)行分析：將圖1的長方形進(jìn)行分割，若分割成兩個大小完全一樣的長方形，那么每個長方形的面積就是10÷2，長為a÷2，寬并沒有發(fā)生變化. 若按照這種分割方法繼續(xù)分割，將圖1分割成N個大小一致的長方形，有==.

通過以上探究活動的開展，學(xué)生充分認(rèn)識到分式與分?jǐn)?shù)同樣擁有類似的性質(zhì)，接下來依然借助長方形紙片來研究分式的運算. 要求學(xué)生將兩張完全一樣大小的長方形換一種方式拼成一個大長方形.

如圖3，拼接而成的大長方形的長為+. 就這個式子的計算問題，師生進(jìn)行了交流與探索，首先從分?jǐn)?shù)的計算出發(fā)，回顧同分母的分?jǐn)?shù)相加時，分子相加即可. 按照這個規(guī)則，學(xué)生提出這個式子相加的結(jié)論應(yīng)為. 為了驗證這個結(jié)論是否正確，繼續(xù)回到圖形中來分析，拼接而成的長方形面積是20，寬為a，那么長就是，驗證成功.

也有學(xué)生提出，這個式子比較特殊，如果遇到+該怎么計算呢？學(xué)生一致猜想結(jié)論為. 借助數(shù)形結(jié)合思想分析，與可分別視為面積是p與q，寬均是a的長方形的長. 由于這兩個長方形的寬是相等的，如圖4，將它們拼成一個大長方形，以形助數(shù)可知拼接而來的長方形長為，由此進(jìn)一步證實了猜想的正確性.

如圖5，借助類似的方法驗證-=，即將兩個等寬的長方形疊放在一起，未覆蓋到的陰影部分的寬就是差.

師：以上我們探究的是同分母情況下的分式加減，現(xiàn)在我們來探索異分母情況下的分式加減問題，同樣類比異分母的分?jǐn)?shù)運算，大家說說如何計算+.

生5：先通分，將兩個分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成分母一樣的分?jǐn)?shù)，而后計算.

師：由此類推，異分母的分式該怎么處理？如遇到+的情況，怎么辦？

生6：同樣考慮將兩個分式轉(zhuǎn)化成同分母的分式，即+=+=.

師：非常好！現(xiàn)在我們掌握了同分母與異分母的分式加減運算，那么分式的乘除運算該怎么處理呢？

生：應(yīng)該也是類比分?jǐn)?shù)乘除運算進(jìn)行處理.

設(shè)計意圖 知識的內(nèi)部發(fā)展與邏輯推理有著密不可分的聯(lián)系，分式與分?jǐn)?shù)在結(jié)構(gòu)上有著高度相似性，其運算法則是否有聯(lián)系呢？圖形的拼接詮釋了這個問題. 此環(huán)節(jié)，著重在學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上進(jìn)行驗證，將抽象的數(shù)學(xué)原理變成直觀可視化的圖形，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不僅幫助學(xué)生建立了良好的數(shù)學(xué)思維模式，還進(jìn)一步提升了學(xué)生的推理能力.

4. 生活實際應(yīng)用，拓展思維

問題3 某人準(zhǔn)備從蘇州去往北京，已知這兩座城市間的距離為1237千米，可選擇的交通工具有高鐵與動車，若高鐵的車速為a km/h，那么乘坐高鐵需要耗費多少時間？如果動車車速為高鐵速度的0.7倍，乘坐動車需要多少時間抵達(dá)北京？若高鐵比動車少2小時抵達(dá)，嘗試用方程描述數(shù)量關(guān)系.

設(shè)計意圖 這是一個學(xué)生熟悉的生活性問題，此問的設(shè)計意在充分調(diào)動學(xué)生的探索欲，引出“分式方程”，讓學(xué)生對解分式方程產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力.

教學(xué)思考

1. 確立教學(xué)主線，確保知識的完整性

英國威廉·布萊克認(rèn)為：自然界是一個連貫統(tǒng)一的整體，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同樣如此. 數(shù)學(xué)學(xué)科本就是一個體系化的整體，知識與知識之間存在一定的聯(lián)系，如知識各部分之間或同一內(nèi)容的前后邏輯關(guān)系都體現(xiàn)出整體性[2]. 結(jié)合章起始課的教學(xué)特征，就是要想方設(shè)法讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)建構(gòu)系統(tǒng)化的研究思路與知識框架，明晰知識與知識間的聯(lián)系.

就本節(jié)課而言，教材明確寫出來的內(nèi)容屬于教學(xué)“明線”，如分式的概念、基本性質(zhì)、運算、解分式方程等都屬于知識脈絡(luò)，教學(xué)是圍繞這些知識點而展開的. 若僅關(guān)注知識的掌握與理解程度還不夠，真正意義上的章起始課教學(xué)還要注重以知識為載體發(fā)展學(xué)生的思維，將隱性的數(shù)學(xué)思想方法、活動經(jīng)驗等揭露出來.

2. 在“做中學(xué)”，保持邏輯的連貫性

讓學(xué)生掌握研究方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的，因此教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生通過“做中學(xué)”來訓(xùn)練思維，發(fā)展“三會”能力. 在章起始課教學(xué)中，教師可帶領(lǐng)學(xué)生通過實踐操作的方式感知知識研究的基本套路，基于結(jié)構(gòu)、邏輯等項目幫助學(xué)生厘清思想方法的一致性與邏輯思維的連貫性.

本節(jié)課，將“想數(shù)學(xué)”與“做數(shù)學(xué)”兩種學(xué)習(xí)方法有機(jī)地結(jié)合在一起，以確保學(xué)生邏輯思維保持連貫性. “想”指學(xué)生通過與分?jǐn)?shù)運算的類比，形成猜想;“做”是指通過操作驗證猜想的科學(xué)合理性. 隨著長方形面積、寬度與長度的變化，學(xué)生的思維也隨之變得深刻. 由此可見，以“做中學(xué)”為支架的數(shù)學(xué)教學(xué)是解決數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾，發(fā)展學(xué)生推理能力的重要舉措.

3. 立足高立意目標(biāo)，促進(jìn)思維的系統(tǒng)性

從哲學(xué)的角度來看，章起始課的教學(xué)設(shè)計需要從宏觀的角度來實施，應(yīng)將塑造完整的“人”作為教學(xué)的方向，讓學(xué)生具備“學(xué)一課，知整章，鏈全冊”的視野，將系統(tǒng)與要素、要素與要素間的聯(lián)系作為研究對象[3].

本節(jié)課中，教師對分式的概念、性質(zhì)、運算以及應(yīng)用等的教學(xué)采取了一般化策略，沒有將每一部分的內(nèi)容展開進(jìn)行詳細(xì)的研究，而是遵循知識生長路線借助數(shù)形結(jié)合思想與類比思想來實施，讓學(xué)生充分感知分?jǐn)?shù)與分式間的聯(lián)系，并借鑒分?jǐn)?shù)的研究方法來分析分式的相關(guān)內(nèi)容. 從某種意義上來說，這是促進(jìn)學(xué)生思維系統(tǒng)化的途徑.

總之，章起始課教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑. 教師應(yīng)從思想上與行動上充分重視章起始課教學(xué)，讓學(xué)生通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)獲得一章節(jié)的核心知識，搭建知識框架，提煉數(shù)學(xué)思想方法，以進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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[2]章建躍. 注重數(shù)學(xué)的整體性，提高系統(tǒng)思維水平（續(xù)）——人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊介紹[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（08）：4-6.

[3]黃玉華. “高立意”下的章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課教學(xué)實踐與思考——以“分式”教學(xué)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（24）：23-25.