[摘 要] 幾何課教學(xué)中，教師要認(rèn)真籌備，預(yù)設(shè)各種各樣的證明思路，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不同的方法證明，以此幫助學(xué)生積累豐富的證明經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的分析和推理能力. 另外，教師要創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生經(jīng)歷證明思路形成的過程，逐步得出某些數(shù)學(xué)結(jié)論或關(guān)系，以此實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的自然生成，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

[關(guān)鍵詞] 過程;自然生成;數(shù)學(xué)水平

幾何推理與證明既是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，又是困擾師生的難題. 此類問題之所以難，一是幾何圖形復(fù)雜多變;二是證明思路復(fù)雜多樣. 證明時(shí)，學(xué)生觀察的角度不同，添加輔助線的方式不同，其證明方法也會有所不同，這也給作業(yè)批改帶來了挑戰(zhàn)和壓力. 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多樣性的證法中尋找解決問題的一般思路與方法，以此讓學(xué)生掌握一定的解題方法與思維方式，提高學(xué)生解題效率和解題信心. 筆者在教學(xué)“矩形對角線相等”這一性質(zhì)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用多樣的方法證明結(jié)論，以此助力學(xué)生生成數(shù)學(xué)思維.

教學(xué)案例

“矩形的性質(zhì)與判定”是平面幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，它既是平行四邊形的延續(xù)，又為后面正方形的學(xué)習(xí)提供了知識和方法保障. 而“矩形的對角線相等”這一性質(zhì)是本課的核心內(nèi)容，為了體現(xiàn)核心內(nèi)容的價(jià)值，教師不能簡單地將結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生，而是應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷性質(zhì)定理的推導(dǎo)過程，這樣不僅可以幫助學(xué)生深刻地理解知識，而且可以幫助學(xué)生掌握一定的解題方法，提高幾何思維水平.

1. 課前分析

在本課前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)及判定，具有一定的分析和推理能力，這為多元探究的開展打下了基礎(chǔ).

2. 課前預(yù)設(shè)

教學(xué)中，學(xué)生通過折疊、測量等活動猜想“矩形對角線相等”，但是猜想不能作為結(jié)論，為此本節(jié)課的重點(diǎn)為“矩形對角線相等”這一猜想的證明. 結(jié)合已有認(rèn)知，學(xué)生可以應(yīng)用以下三種方法證明兩條線段相等：

（1）利用全等三角形證明兩條線段相等. 通過簡單的處理，使得所證的兩條線段所在的三角形全等.

（2）利用等腰三角形的判定定理證明兩條線段相等. 若兩條線段恰好在同一三角形中，則可以直接證明;否則需要根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)變換構(gòu)造，從而得到符合條件的等腰三角形.

（3）利用等量代換證明兩條線段相等. 該方法需要尋找中間量來傳遞，難度略大. 對于尋找相等的中間量，一般會涉及線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)等內(nèi)容.

結(jié)合以上分析不難發(fā)現(xiàn)，證明“矩形對角線相等”可以應(yīng)用多種方法. 教師要鼓勵學(xué)生嘗試從不同角度證明，以此發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn).

3. 教學(xué)片段

問題呈現(xiàn)：如圖1，已知矩形ABCD，連接AC，BD，求證：AC=BD.

問題給出后，教師讓學(xué)生以小組為單位，盡量多地尋找證明方法. 學(xué)生積極思考、交流，課堂氣氛活躍.

生1：我們小組通過證明△ABC≌△DCB，得到AC=BD.

師：你們是怎么想到的呢？

生1：因?yàn)榫€段AC，BD分別在△ABC，△DCB中，所以若能證明△ABC和△DCB全等，問題即可迎刃而解. 根據(jù)矩形的定義，易證兩個三角形全等.

師：很好，利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等是一個非常重要的方法. 還有其他證明方法嗎？

生2：我們小組從矩形的自身特點(diǎn)出發(fā)，利用勾股定理證明了兩條線段相等. 如圖1，線段AC，BD分別是Rt△ABC和Rt△DCB的斜邊，而兩三角形的直角邊AB與CD、BC與CB分別相等，根據(jù)勾股定理易證AC=BD.

師：也不錯，利用特殊圖形的性質(zhì)來解決問題是非常重要的手段. 還有其他方法嗎？（學(xué)生不語）

師：是否存在這樣一個中間量，可以溝通線段AC和BD呢？（學(xué)生積極思考，嘗試通過平移變換構(gòu)造中間量）

生3：如圖2，將AC平移，這樣可以確定中間量DE. 利用垂直平分線的性質(zhì)易證BD=DE，又AC=DE，從而得到AC=BD.

師：很好，請?jiān)敿?xì)說一說你的證明過程.

生4：過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長線于點(diǎn)E. 又AD∥BE，所以四邊形ACED是平行四邊形，所以AD=CE，AC=DE. 又BC=AD，AD=CE，所以BC=CE，又∠DCB=90°，所以DC垂直平分BE，于是有BD=DE. 所以AC=BD.

在生4給出構(gòu)造法后，學(xué)生探究的積極性高漲，在此基礎(chǔ)上又得到了其他構(gòu)造方案.

生5：生4是通過AC確定中間量，也可以通過BD確定中間量. 過點(diǎn)B作AC∥BF，交DC延長線于點(diǎn)F，如圖3. 其證明方法與上面相同.

師：生4和生5利用平移和垂直平分線的性質(zhì)證明了以上結(jié)論，還有其他方法嗎？

生6：還可以利用軸對稱變換來構(gòu)造. 如圖3，延長DC至點(diǎn)F，使CF=DC，連接BF. 根據(jù)以上經(jīng)驗(yàn)易證四邊形ABFC是平行四邊形，所以AC=BF，所以AC=BD.

生7：如圖4，取BC中點(diǎn)G，連接OG. 根據(jù)已知易證OG是△ABC的中位線，所以O(shè)G∥AB，故∠OGC=∠ABC=90°，即OG垂直平分BC，所以O(shè)B=OC. 在矩形ABCD中，AC=2OC，BD=2OB，所以AC=BD.

師：非常好，生7利用構(gòu)造中位線同樣證明了結(jié)論. 對于同一問題，思考的方向不同，其證明的方法也會不同，在平時(shí)的練習(xí)中，我們要多看、多想、多做，這樣往往會收獲更多.

教后反思

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不單是要學(xué)生掌握知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，要讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí). 教師作為課堂教學(xué)的組織者、啟發(fā)者，要提供機(jī)會讓學(xué)生去思考、去發(fā)現(xiàn)、去嘗試，以此生成多種思想方法，提高思維品質(zhì).

1. 深度挖掘教材，理解知識本質(zhì)

在日常教學(xué)中，部分教師認(rèn)為教學(xué)的重心應(yīng)放在概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用上，所以在該性質(zhì)定理的教學(xué)過程中，他們利用全等簡單證明矩形對角線相等這一性質(zhì)后，就給出大量的練習(xí)讓學(xué)生強(qiáng)化鞏固. 而定理的證明蘊(yùn)含著多樣的思想方法，若教學(xué)中忽視有效拓展，則錯失了一次提升學(xué)生幾何思維能力，發(fā)展學(xué)生實(shí)踐能力的機(jī)會. 同時(shí)，若教學(xué)僅僅是“講授+練習(xí)”，將影響學(xué)生參與課堂的積極性，影響課堂教學(xué)效果. 因此，在課堂教學(xué)中，教師要深度挖掘教材，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考和解決問題，讓學(xué)生體驗(yàn)解決問題的多樣性，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提高解決問題的能力. 另外，教學(xué)中追求多種證明方法，不僅可以提高學(xué)生參與課堂的積極性，激活學(xué)生的思維，而且可以實(shí)現(xiàn)知識的橫縱聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣. 例如，生7之所以聯(lián)想利用中位線來證明這一性質(zhì)，其實(shí)是對前面幾種證明方法的延伸. 既然兩條線段相等，那么兩線段的一半自然也相等，由此聯(lián)想到中位線，而中位線恰好是不久前學(xué)習(xí)的知識，這樣通過有效的拓展與延伸，實(shí)現(xiàn)了知識的完美銜接.

2. 鼓勵多角度探究，提升思維品質(zhì)

不同的學(xué)生，其學(xué)習(xí)能力、思維方式不同，為此在證明中會出現(xiàn)不同的結(jié)果. 在日常教學(xué)中，若教師僅僅將多樣的證明結(jié)果呈現(xiàn)給學(xué)生，不僅不利于學(xué)生提升分析和解決問題能力，而且會增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān). 在實(shí)際教學(xué)中，教師要提供機(jī)會讓學(xué)生自己去思考，并在適合的時(shí)機(jī)進(jìn)行啟發(fā)和引導(dǎo)，繼而讓學(xué)習(xí)自然而然地發(fā)生. 例如，在本課教學(xué)中，教師將證明的主動權(quán)交給學(xué)生. 學(xué)生利用全等三角形和勾股定理證明結(jié)論后，教師沒有結(jié)束該問題的探究，而是繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造中間量，學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了多種證明方法，有效激發(fā)了學(xué)生的潛能，促進(jìn)了學(xué)生思維的生成.

總之，教學(xué)中，教師要認(rèn)真理解教材、理解學(xué)生，以學(xué)生原有認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，充分預(yù)設(shè)，充分發(fā)揮個體差異優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生多角度探究，以此提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.