[摘 要] 新質(zhì)生產(chǎn)力不僅代表著先進的教育技術(shù)，教學(xué)方法和手段的更新迭代，更代表著教育理念和育人模式的創(chuàng)新. 初中數(shù)學(xué)壓軸題不應(yīng)當(dāng)被學(xué)生當(dāng)作一道難以逾越的鴻溝，教師可以通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式，讓學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，糾正這一錯誤觀念. 文章以分析一道壓軸題為例，展示不同的解題方法與思維方式，強調(diào)教師應(yīng)通過創(chuàng)造挑戰(zhàn)和鼓勵探索的教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生的成長型思維，提高他們解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 成長型思維;壓軸題;初中數(shù)學(xué)

很多時候，教師容易忽略試卷最后一題的講解，認(rèn)為最后一題講了也沒多大用處，就算這題懂了，如果下次換一道題，大部分學(xué)生還是不會做. 既然這樣，還不如將講課的重點放到前面的中等題或中難題上. 學(xué)生只要把前面的部分都做對了，也一樣可以拿到高分，畢竟不是所有學(xué)生都有做壓軸題的天賦. 這種教學(xué)習(xí)慣很容易導(dǎo)致一部分學(xué)生認(rèn)為最后一題可以放棄. 這種思維方式，我們將其叫作固定性思維. 擁有該種思維方式的學(xué)生認(rèn)為人的智力、能力等素質(zhì)是固定不變的. 顯然，如果在數(shù)學(xué)中用這樣的思維學(xué)習(xí)，將不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的成長與發(fā)展. 所以，教師應(yīng)當(dāng)在課堂上幫助學(xué)生發(fā)展成長型思維，讓學(xué)生相信能力是可以通過學(xué)習(xí)得到成長的.

理論基礎(chǔ)

2022年國際學(xué)生評估項目（PISA）測試的分析結(jié)果表明，成長型思維模式可以幫助學(xué)生克服與成績相關(guān)的焦慮. 事實上，學(xué)生在數(shù)學(xué)這門學(xué)科上的成績焦慮，可以說是所有學(xué)科里面最為靠前的，數(shù)學(xué)成績的每次上下波動，都會強烈牽扯到學(xué)生和家長的情緒.

成長型思維最早由斯坦福大學(xué)的Carol Dweck及其團隊提出，即具有成長型思維的學(xué)生認(rèn)為自身的智力和能力是可以通過學(xué)習(xí)或努力而改變的. 研究表明，學(xué)習(xí)可以刺激大腦增長，并強化突觸之間的連接. 強大的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能讓學(xué)習(xí)能力提升，即智力與能力確實可以通過學(xué)生自身的學(xué)習(xí)與努力得到發(fā)展.

筆者對某次周練試卷的最后一題進行解題思路分析，希望幫助學(xué)生認(rèn)識到最后一題并不是洪水猛獸，而是可以被攻克的，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也不是固定不變的，可以通過學(xué)習(xí)得到提升.

試題再現(xiàn)

已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分別為射線AC，線段AB上的點，且AD=BE. 連接DE，將DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到FE，連接DF與BC交于點M.

（1）如圖1，當(dāng)tan∠ADE=，AE=時，求BE的長;

（2）如圖2，連接AF，N為線段AF的中點，連接MN，求證：BE=MN.

解題分析

1.第（1）問的思路分析

此問的條件較為具體，教師可引導(dǎo)學(xué)生從“tan∠ADE=”這一條件出發(fā)，進行思考. 在此條件下，我們通常會想到兩種方法：①構(gòu)造直角三角形;②等量代換，將其轉(zhuǎn)換到另一個直角三角形中. 特別地，看到“tan∠ADE=”這一條件時，我們還可以聯(lián)想到“12345”模型，嘗試構(gòu)造45°角. 但是在嘗試的過程中會發(fā)現(xiàn)該模型并不適用于本題，故而可選擇直接構(gòu)造直角三角形這一方式來求解. 如圖3，過點E作EK⊥AD于點K，則△AEK為等腰直角三角形. 由此可求出EK的長，再根據(jù)tan∠ADE=，可求得KD的長為3，AD的長為4. 接著由條件AD=BE，可求得BE=2.

2. 第（2）問的思路分析

該問根據(jù)題目條件和圖形特征，考慮多種解題思路：①從定義出發(fā)，思考“手拉手”模型;②從垂直出發(fā)，構(gòu)造“一線三垂直”模型;③從定線共角出發(fā)，思考四點共圓;④從邊與邊的關(guān)系出發(fā)，思考數(shù)量代換法. 具體思路如下.

思路1 從定義出發(fā)，思考“手拉手”模型.

從條件“AD=BE”出發(fā)，嘗試推出AD = 2MN . 即需要在圖中構(gòu)造出含有BE，且與BE有關(guān)系的等腰直角三角形. 故過點E作PE⊥BE交BC的延長線于點P，如圖4，此時PE=BE，可得到BE = BP = AD. 這一步將證明AD = 2MN轉(zhuǎn)換成了證明BP = 2MN. 題目已知N為線段AF的中點，此時只需證明M為線段DF的中點.

證明M為線段DF的中點最為直接的方法，是證明DM=MF，其可以通過構(gòu)造全等三角形得到. 如圖4，過點D作DO∥BF交BC于點O. 如果能證明△OMD≌△BMF，結(jié)論成立. 根據(jù)題目條件，有EP=EB，ED=EF，∠PED =∠BEF，所以△EPD≌△EBF. 所以PD=BF. 由于BP=AD，CA=CB，所以BP-CB=AD-CA，即CP =CD. 所以∠CPD=∠CDP=45°. 又可推出∠EBF=90°，∠POD=45°，∠MOD =∠MBF=135°，OD=BF=PD，由此可證得△MOD≌△MBF，所以M為線段DF的中點，證畢.

在同樣的思路方法指引下，我們還可以過點F作PD的平行線與MB的延長線交于點T.

一般來說，這種方法講到這里就可以結(jié)束了，但是為了讓學(xué)生的成長型思維得到發(fā)展，教師可以追問學(xué)生：仍然是“手拉手”模型，如果過點E作EK⊥EB，且使EK=EB，連接BK，F(xiàn)K呢？由“手拉手”模型得到的全等三角形，可以鋪墊出兩個及兩個以上的結(jié)論，有了等邊、等角之后，再通過垂直構(gòu)造等腰直角三角形和“8”字全等三角形（如圖5）.

思路2 從垂直出發(fā)，構(gòu)造“一線三垂直”模型.

從等腰直角三角形出發(fā)，可以通過構(gòu)造“一線三垂直”模型（如圖6），得到全等三角形，即△EPD≌△FQE，從而得到EP=QF，PD=QE. 要證AD=2MN，可延長CB與QF的延長線交于點T，過點E作ES⊥BC于點S，容易證得四邊形PCTQ為矩形. 根據(jù)以上條件可以證得“8”字全等三角形，即△MCD≌△MTF，從而得到M為線段DF的中點.

思路3 從定線共角出發(fā)，思考四點共圓.

從Rt△DEF出發(fā)，先證明M為線段DF的中點，即證明EM為△EDF的中線. 根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，只需證明EM為△EDF的高線. 因此過點D作DH⊥AB于點H，連接FB，EM（如圖7）. 由AD=DH=BE，得DH=BE. 可證△EDH≌△FEB（SAS），得∠EBF=∠EHD=90°. 根據(jù)E，M，B，F(xiàn)四點共圓，有∠EMF=∠EBF=90°，即可證得. 四點共圓的方法可以幫助學(xué)生找相等的角，雖然這種方法不能正式用到考試的作答當(dāng)中，但是該方法很多時候可以幫助學(xué)生快速找到等角，為解題打開思路，這對于培養(yǎng)學(xué)生的成長型思維也具有意義與價值.

思路4 從邊與邊的關(guān)系出發(fā)，思考數(shù)量代換法.

從要證明的邊與邊的關(guān)系入手，先過點D作DH⊥AB于點H，交CM于點Q（如圖8），連接FB. 由AD=DH=BE可得DH=BE. 可證△EDH≌△FEB（SAS），得到∠EBF=∠EHD=90°，EH=BF. 設(shè)DC=QC=x，AC=y，則可以得到BQ=（y-x），AD=（x+y），BF=EH=DQ=2x. 于是可證△DQM≌△FBM（AAS），所以M為線段DF的中點，證畢.

教學(xué)思考

通過本題的講解，筆者發(fā)現(xiàn)在壓軸題的講解上，如果教師只是將解題方法灌輸給學(xué)生，學(xué)生是不會在這種習(xí)題課上得到成長的. 長此以往，學(xué)生仍然會覺得以自己的能力不可能解決得了最后一題. 所以筆者認(rèn)為教師可以在講授思路的過程中，為學(xué)生制造一些有益的困境，以幫助學(xué)生思考，并適當(dāng)?shù)刂圃焯魬?zhàn)性追問，為學(xué)生的學(xué)習(xí)構(gòu)建支架，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下一步步發(fā)現(xiàn)解決問題的方法和思路. 教師還要讓學(xué)生在不同的方法中進行不同的解法思考，爭取做到同題不同法，同法不同方. 下面給出幾點壓軸題教學(xué)的講授建議：

（1）鼓勵學(xué)生直面壓軸題;

（2）鼓勵學(xué)生用能想到的各種方法嘗試解決問題;

（3）鼓勵學(xué)生坦然面對錯誤的方法嘗試;

（4）鼓勵學(xué)生堅持到底.

學(xué)生在面對數(shù)學(xué)難題時容易出現(xiàn)畏難情緒，躊躇不前. 我們要培養(yǎng)出具有創(chuàng)造性能力的人才，就應(yīng)當(dāng)從平時做起，從最能激發(fā)學(xué)生想象力和創(chuàng)造力的思維難題做起. 在解決難題的過程中，學(xué)生很容易進入不平衡的狀態(tài)，雖然這種狀態(tài)會使學(xué)生感到不舒服，但是皮亞杰認(rèn)為不平衡狀態(tài)能給學(xué)生帶來智慧和發(fā)展，也就是會發(fā)展學(xué)生的成長型思維. 因此教師需要在難題中幫助學(xué)生發(fā)展成長型思維，在課堂中不斷地為學(xué)生創(chuàng)造有益的困境、有挑戰(zhàn)性的問題與任務(wù)，讓學(xué)生認(rèn)為自己面臨的困境和自己在困境中產(chǎn)生的種種錯誤是可以幫助自己發(fā)展能力的. 總而言之，教師在教學(xué)過程中需要幫助學(xué)生內(nèi)化成長型思維，這樣不僅可以提高學(xué)生的解題能力，還能培養(yǎng)出新時代所真正需要的創(chuàng)新型人才.