［摘 要］ 首先，總結了呼和浩特民族學院學生特點及“數(shù)學分析”課程授課過程中存在的問題；其次，針對這些問題，以培養(yǎng)應用型人才為目標，采取了課前—課中—課后的全程覆蓋式閉環(huán)教學模式，其中包括轉(zhuǎn)化思想貫穿始終、結合數(shù)學軟件畫圖和數(shù)值計算、融入課程思政、增加多種評價考核方法，以此解決學生在學習“數(shù)學分析”課程過程中遇到的難題，同時提高學生的數(shù)學興趣，培養(yǎng)運用數(shù)學知識解決實際問題的能力；最后，闡述了該教學模式的創(chuàng)新點與效果。

［關鍵詞］ 數(shù)學分析；應用型人才；教學模式

［基金項目］ 2022年度呼和浩特民族學院課程思政示范課程項目“《數(shù)學分析（一）》課程思政示范課程項目”；2022年度內(nèi)蒙古自治區(qū)高等教育學會重點課題“數(shù)學建模課程課堂教學與學科競賽協(xié)同培養(yǎng)的創(chuàng)新教學模式研究”（NMGJXH-2022XF002）

［作者簡介］ 青 梅（1986—），女（蒙古族），內(nèi)蒙古興安盟人，博士，呼和浩特民族學院數(shù)學科學學院副教授，主要從事線性算子譜理論與數(shù)學教育研究。

［中圖分類號］ C961 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）26-0157-04 ［收稿日期］ 2023-10-30

引言

《中國教育現(xiàn)代化2035》中明確指出，加大應用型、復合型、技術技能型人才培養(yǎng)比重［1］。通過加大人才培養(yǎng)比重，培養(yǎng)更多適應新時代需求的高素質(zhì)人才，推動經(jīng)濟社會的可持續(xù)發(fā)展。為培養(yǎng)適應產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級和實現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展需要的高素質(zhì)應用型人才，在課程設置和教材建設等方面應特別強調(diào)基礎、成熟和適用的知識，在能力培養(yǎng)方面特別突出對基本知識的熟練掌握和靈活應用。目前國內(nèi)很多學者在如何培養(yǎng)應用型人才方面做出很多研究，基本可總結為培養(yǎng)學生的學習興趣、提煉教材內(nèi)容、改進教學方法、強調(diào)知識應用、修改評價方法等［2-5］。

“數(shù)學分析”課程是數(shù)學專業(yè)低年級的重要基礎課之一，也是數(shù)學專業(yè)研究生考試科目之一，是從初等數(shù)學到高等數(shù)學過渡的橋梁，負擔全面培養(yǎng)學生的現(xiàn)代數(shù)學的素質(zhì)，并為繼續(xù)學習眾多后繼課程（如常微分方程、復變函數(shù)論、實變函數(shù)論、概率統(tǒng)計等）提供基本理論、方法和技能。該課程能夠使學生掌握現(xiàn)代數(shù)學的基本方法和基本技巧，培養(yǎng)學生的辯證思維與創(chuàng)新能力，提高學生分析和解決問題的能力。呼和浩特民族學院“數(shù)學分析”課程教學周期為3個學期，共276學時，實行數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)混合班授課，每個班級少數(shù)民族和漢族學生各占一半。學生主要來自內(nèi)蒙古地區(qū)，部分學生來自山東、河北、河南、陜西、甘肅、新疆和西藏等地。學生數(shù)學單科成績最高分110分，最低分40分，平均分70分。整體而言，數(shù)學成績是中等水平，少數(shù)民族學生的數(shù)學成績多處于平均分左右。據(jù)以上描述，本課程授課過程中存在以下幾個問題。

1.學生知識基礎較為薄弱且參差不齊，而課程內(nèi)容晦澀難懂?；旌习嗍谡n，不同學生知識水平存在較大差異，部分學生數(shù)學功底非常薄弱，且學習數(shù)學興趣較弱，只有少數(shù)幾個學生較好地掌握了高中數(shù)學知識。而“數(shù)學分析”是一門較為抽象的課程，強調(diào)邏輯推理和證明。學生需要學會運用正確的邏輯思維和證明技巧解決問題，同時將抽象的數(shù)學概念和符號應用于實際問題的建模和求解中。對于部分學生來說，達到理解并應用的程度有一定的挑戰(zhàn)性。

2.教材內(nèi)容繁多，而教學課時少?！皵?shù)學分析”是系統(tǒng)性的理論體系，包含了許多重要的基本定理、推論及計算方法，此外引入課程思政的內(nèi)容。多數(shù)學校的“數(shù)學分析”課程授課學期為三個學期，在此期間有質(zhì)量地講完課程內(nèi)容對授課教師也是一種挑戰(zhàn)。

3.學生課后不愛學習，而課堂教學強度較大。大部分學生沒有養(yǎng)成良好的學習習慣，又缺乏足夠的學習動機。學生對課程內(nèi)容的實際應用感到困惑，課上的內(nèi)容過于抽象或難以理解，導致學生在課后不愿意繼續(xù)學習。而由于課程內(nèi)容多課時少，部分內(nèi)容授課教師可能不會講得很細致，導致學生無法完全掌握課堂知識，進而形成惡性循環(huán)，久而久之跟不上講課進度，對課程失去了興趣。

4.教師只講教材內(nèi)容，而很少解釋知識所對應的實際應用。如果教師只注重教材內(nèi)容而很少解釋知識的實際應用，這可能導致學生對“數(shù)學分析”的學習缺乏內(nèi)驅(qū)力。實際應用是將數(shù)學概念和技巧應用于現(xiàn)實問題的關鍵，能夠幫助學生理解和發(fā)現(xiàn)數(shù)學的實際用途，并提高學生對數(shù)學的興趣和動力。

為解決這些問題，以培養(yǎng)應用型人才為目標，本文研究課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學模式，以提高學生的學習興趣，同時培養(yǎng)其運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

一、“數(shù)學分析”課程教學設計

本節(jié)主要介紹“數(shù)學分析”課程教學設計中的幾個重要環(huán)節(jié)。

（一）教學目標的設定

新時代，如何有效發(fā)揮“數(shù)學分析”課程思政育人功能，培養(yǎng)聽黨話、跟黨走，有理想，有本領的數(shù)學人才是每位教師應考慮的問題，課程組由此制定了“數(shù)學分析”課程“三維”教學目標：知識目標為掌握基本概念、性質(zhì)、計算方法，能夠滿足應用型人才培養(yǎng)的基礎知識；能力目標為掌握現(xiàn)代數(shù)學的基本方法和基本技巧，能夠利用數(shù)學軟件畫圖和數(shù)值計算、數(shù)學建模，具有團隊協(xié)作能力和解決實際問題的能力；素質(zhì)目標為發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美，培養(yǎng)探索創(chuàng)新精神，增強愛國之情，激勵學生自覺樹立和踐行社會主義核心價值觀，為國家現(xiàn)代化建設貢獻力量。

（二）教學過程與方法

基于學生的實際情況和課程性質(zhì)，采取課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學模式。

1.課前：提前布置相關資料查閱任務，將查閱的相關實際問題導入課程內(nèi)容，聯(lián)系科學前沿、時事新聞等，將抽象的數(shù)學內(nèi)容具體化、生動化、形象化，充分激發(fā)學生的學習興趣，將數(shù)學與實際生活相結合，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。例如，講授極限之前查閱我國數(shù)學家劉徽首創(chuàng)的割圓術，感悟其中的數(shù)學思想；講授反常積分概念前讓學生查閱中國航天發(fā)展史，讓學生充分了解我國航天事業(yè)的輝煌成就與航天精神；講解冪級數(shù)前布置查閱圓柱體的熱傳導問題和薄板震動的文獻資料任務；講授第一型曲面積分前讓學生查閱有關中國天眼的資料等。提前布置任務既能夠引起學生的學習興趣，又能提升學生的獨立思考能力和查閱文獻能力。

2.課中：始終以轉(zhuǎn)化思想貫穿整個教學過程，引導學生將復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化、未知問題已知化，利用簡單的、熟悉的、已知的知識求解復雜的、未知的、陌生的問題，使學生在構建系統(tǒng)化的知識體系的同時掌握課程蘊含的數(shù)學思想和方法、處理問題的技巧和策略。

例如在概念引入、例題計算和定理證明過程中可利用轉(zhuǎn)化思想，進行對概念、例題、定理的簡單化、熟悉化、已知化。（1）概念引入：第一型曲線積分和二重積分可視為定積分的更高一維中的推廣。兩者均從幾何意義角度引入，將前后知識點串聯(lián)起來，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。第一型曲線積分當作是定積分的積分區(qū)間在二維空間中的彎曲引起的，對應的被積函數(shù)為平面曲線變?yōu)榭臻g曲線，幾何意義是從曲邊梯形面積變?yōu)橹娌糠置娣e；二重積分可視為定積分的積分區(qū)間在二維空間中的膨脹引起的，對應的被積函數(shù)從平面曲線變?yōu)榭臻g曲面，幾何意義是從曲邊梯形面積變?yōu)榍斨w體積。（2）例題計算：第二型曲線積分計算是難點內(nèi)容，可利用轉(zhuǎn)化思想計算，將其轉(zhuǎn)化為幾種不同形式計算，從而使學生掌握基本計算技巧和方法。（3）定理證明：講授微分中值定理時可利用轉(zhuǎn)化思想啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，而拉格朗日中值定理又是羅爾中值定理的推廣。同時引導學生利用羅爾中值定理結論證明拉格朗日和柯西中值定理。講到格林公式證明時，可啟發(fā)學生利用牛頓-萊布尼茨公式；在講到斯托克斯公式證明時，可引導學生運用格林公式。如此培養(yǎng)學生的理論推導能力和邏輯思維能力，同時可以省去部分定理的證明過程，節(jié)省了授課時間［5］。

對于一些容易計算的問題，教師通過數(shù)學軟件將抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為直觀的圖形展示，便于學生理解。學生利用數(shù)學軟件求解微積分、簡單極限等問題，從而更好地理解和應用數(shù)學分析中的各種方法和技巧，還可進一步解決課程內(nèi)容多課時少的問題。此外，教師可從數(shù)學建模課程中尋找合適的例子作為課程知識的應用，運用“數(shù)學分析”的方法對模型進行分析，如求解最大值最小值問題時可引入數(shù)學建模課程中城市通行能力模型、揚帆遠航等例子［6］；在講解不定積分時可引入存貯模型、森林救火等例子，以此促使學生進一步理解微積分知識的應用，也更了解學習“數(shù)學分析”的實際意義。

3.課后：除常規(guī)的作業(yè)以外，布置延伸拓展、預習思考、每章總結等其他任務，并及時評價。學生及時進行回顧、歸納總結每章的主要內(nèi)容，構建完善的知識體系，促進學生培養(yǎng)良好的學習習慣，增強學生的自主學習能力。通過課后延伸拓展等環(huán)節(jié)可使學生進一步理解和掌握當次課程內(nèi)容，同時為下一節(jié)課的學習做基礎，如此構成良性循環(huán)。

綜上可知，課前資料查閱，課中實際問題導入、數(shù)學軟件數(shù)值計算，課后拓展延伸等環(huán)節(jié)，不僅能提高學生的學習興趣，而且能夠促進提高學生的數(shù)學建模能力，使學生體會數(shù)學在實際生活中的重要應用，為培養(yǎng)應用型人才提供有力支撐。

（三）融入課程思政

教學中融入思政元素，如融入愛國主義精神、哲學思想、創(chuàng)新精神等，以激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美，增強學生的愛國之情，使學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，激勵學生自覺樹立并踐行社會主義核心價值觀［7-10］。（1）教學內(nèi)容中引入我國科技發(fā)展和國家現(xiàn)代化發(fā)展情況，增強學生的愛國主義情懷和創(chuàng)新精神。例如，講授無窮積分概念時以求解第二宇宙速度為例，引申出我國航天事業(yè)的發(fā)展，鼓勵學生學好專業(yè)課，發(fā)揚航天精神，為我國現(xiàn)代化建設奉獻自己的力量；講授第一型曲面積分之前讓學生查閱“中國天眼”相關資料，增強愛國之情。（2）適當引入哲學思想，使學生充分認識辯證思想，看問題抓住主要矛盾。例如，極限是貫穿“數(shù)學分析”課程的重要工作，讓學生充分認識極限蘊含著豐富的辯證思想——變與不變、過程與結果、有限與無限、近似與精確的對立統(tǒng)一，任何時候?qū)Υ魏问挛镆姓J矛盾、分析矛盾、勇于揭露矛盾，積極尋找正確的方法解決問題，利用科學的思想為學生的成長和成才打下基礎；又如，以芝諾悖論和《莊子·天下篇》中的一句話——“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”引入數(shù)項級數(shù)，分析其矛盾、探尋原因，并利用數(shù)學解決問題。（3）適當引入科學家的故事，使學生了解科學探索中的艱辛與快樂，同時也讓學生掌握其蘊含的數(shù)學思想方法。如，講授極限、級數(shù)時均可以劉徽的割圓術為例，讓學生理解其背后的數(shù)學思想，堅定文化自信。

（四）學習評價方法

“數(shù)學分析”課程的學習評價是將過程性評價和終結性評價相結合，多維度考查學生的學習情況。過程性評價占總成績的40%，其中資料查閱占4%，課堂參與占12%，每章總結占8%，作業(yè)占8%，拓展延伸占8%；終結性評價占總成績的60%，其中包含期中考試10%和期末考試50%。

二、教學設計的創(chuàng)新點與效果

根據(jù)學生實際，以培養(yǎng)應用型人才為目標，采取課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學模式，在教學目標、內(nèi)容、方法、活動、評價等教學過程中每個環(huán)節(jié)增加創(chuàng)新點，激發(fā)學生學習興趣，提高學習效率。教學目標方面，在原有的教學目標的基礎上，增加高階教學目標，使學生具備利用數(shù)學軟件畫圖與數(shù)值計算能力，進而增強團隊協(xié)作能力和解決實際問題能力，同時樹立并踐行社會主義核心價值觀。教學內(nèi)容方面，將課程內(nèi)容與科學前沿、時事新聞相結合，以生活中實際問題為例、增加延伸拓展部分，改進教學內(nèi)容講授順序，進而在教學內(nèi)容上創(chuàng)新。教學方法方面，采取問題驅(qū)動法、思維啟發(fā)法、直觀演示法和互動討論法等，課前查閱資料，以實際問題導入，將轉(zhuǎn)化思想貫穿始終，利用數(shù)學軟件畫圖和數(shù)值計算，將抽象的內(nèi)容和復雜計算形象化、生動化、簡單化。教學評價方面，采取多元化評價方法，每節(jié)課后結合學生實際情況與課堂效果總結經(jīng)驗，進行教學反思，持續(xù)改進教學水平。

筆者自2017年9月承擔“數(shù)學分析”課程教學任務以來，結合學生實際情況，堅持以學生為中心，不斷改進并形成課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學模式，將抽象的理論具體化、形象化，將枯燥無味的課堂活躍化，持續(xù)改進學生學習數(shù)學分析遇到的難題。首先，通過教學設計，學生基本學會通過形象化、簡單化方式把難懂的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為易于理解的內(nèi)容。其次，學生基本可以利用數(shù)學軟件畫圖和數(shù)值計算，進一步掌握數(shù)學思想和方法、處理問題的技巧和策略。最后，通過實際問題導入課程，增加延伸拓展部分等，增強學生的建模能力、團隊協(xié)作能力和解決實際問題能力。部分學生在大學二、三年級參加各類數(shù)學建模競賽、數(shù)學競賽多次獲獎，獲獎人次有了明顯的增加，培養(yǎng)應用型人才逐漸見效。

結語

本文結合學生實際情況，堅持以培養(yǎng)應用型人才為目標，不斷改進并形成課前—課中—課后全程覆蓋式閉環(huán)教學模式，將抽象的理論具體化，便于學生理解并掌握。課前查閱資料、復習相關內(nèi)容，以實際問題導入教學內(nèi)容，以轉(zhuǎn)化思想貫穿始終，結合數(shù)學軟件畫圖和數(shù)值計算，融入思政元素，增加課后延伸拓展、總結每章內(nèi)容等，將抽象的、難以理解的內(nèi)容簡單化，培養(yǎng)了學生數(shù)學建模能力、團隊協(xié)作能力和解決實際問題能力，同時使學生自覺樹立并踐行社會主義核心價值觀。該教學模式為培養(yǎng)應用型人才提供了有力保證。

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Research on Teaching Mode for Cultivating Applied Talents in the Mathematical Analysis Course

QING Mei， GAO Jing-ying， Eerdunbuhe

（School of Mathematics Science， Hohhot Minzu College， Hohhot， Inner Mongolia 010051， China）

Abstract： Firstly， this article summarizes the characteristics of students in our school and the problems encountered in the teaching process of mathematical analysis courses. Secondly， aiming at these problems and with the goal of cultivating applied talents， we adopt a closed-loop teaching mode that covers the entire process of “pre-class， in-class， and post-class” activities. This model includes transforming idea throughout， combining mathematical software for graphing and numerical calculations， integrating curriculum ideology and politics education into courses， increasing a variety of evaluation methods. The proposed teaching mode can solve the difficulties that students run into the process of learning mathematical analysis， improve their mathematical interest and cultivate their ability to apply mathematical knowledge to solve practical problems. Finally， the innovative points and effects of this teaching mode are elaborated.

Key words： Mathematical Analysis; applied talents; teaching mode