學生在學習過程中總會遇到各種各樣的困惑，這既是學習的應然狀態(tài)也是學習的真實現象。學生面對相同的學習內容，既可能產生共性困惑，也可能由于學習經驗、思維習慣和認知結構的不同產生個性困惑；既可能有淺層困惑，也可能有深層困惑；既可能有顯性困惑，也可能有隱性困惑；還可能有因碎片化教學引發(fā)的結構性困惑。聚焦真困惑，讓兒童數學思維可視化是提升兒童數學基礎學力、發(fā)展數學核心素養(yǎng)的有效策略。

一、把教材轉變?yōu)樗夭?，突破深層困惑，讓兒童思維可視化

課改以來，教師從教學理念到教學實踐均發(fā)展了深刻的變化，他們牢記“立德樹人”根本任務，抓住成長契機，努力領會課標精神，以學生核心素養(yǎng)發(fā)展為目標，積極參與教育教學改革。但是，教學中依然存在重結果輕過程、重知識輕能力、重方法輕思維的現象，凡此種種都要求教師以學為中心，把教材轉變?yōu)樗夭模脤W生的視角去觀察，嘗試經歷學生的思維過程，把握學生的思維脈搏，感受學生的思維方法，理解學生的思維成果，只有這樣才能發(fā)現并突破學生思維的深層困惑，讓兒童思維可視化，從而促進兒童個人智力的發(fā)展。

案例一：“兩、三位數乘一位數的筆算（不進位）”。這個內容是整數乘法運算的重要內容。學生之前已經熟練掌握表內乘法，也能正確計算整十、整百的數乘一位數的口算。因此，學生自主探索不進位的兩、三位數乘一位數難度并不大。本課是學生第一次學習用豎式計算兩、三位數乘一位數，以往教學大都是教師直接告訴學生怎樣用豎式計算。由于兩、三位數乘一位數的口算和豎式計算難度并無多大差別，學生對豎式計算的價值認識不到位，因此容易產生以下兩個深層困惑：既然可以用口算為什么還要用豎式計算？怎樣用豎式記錄口算過程，即口算的分步算式是怎樣變成豎式的？

引導：剛才同學們已經通過擺小棒得出了12×3=36，如果把一只大雁看成一個點，就形成了點子圖。請同學們結合點子圖，（如圖1）圈一圈，先獨立思考怎樣計算12×3，再和同桌說一說你是怎樣想的。

生：1行有12個點，求3行有多少個點就是求3個12相加的和是多少，所以用12+12+12=36。

生：12由10和2組成，3個10是30，3個2是6，合起來是36。（如圖2）

生：把12看成10和2，3×10=30，3×2=6，30+6=36。（如圖3）

提問：比較這三種口算方法，你有什么發(fā)現？

生：求一共有多少只大雁，既可以用加法計算，也可以用乘法計算，因為乘法是求幾個相同加數的和是多少。

生：后兩種方法都是用先分后合的方法，先把12分成10和2，分別和3相乘，把兩位數乘一位數轉化成我們以前學習的整十數乘一位數和一位數乘一位數，再把兩次乘得的積相加。

提問：剛才大家用口算解決了問題，我們已經學過用豎式計算加法和減法，想一想，怎樣用豎式記錄12×3的口算過程？試一試，在小組內交流，然后請同學展示。

生：寫乘法豎式時先把相同數位對齊，也就是3和2對齊。因為口算時把12分成10和2，分別乘3，再把兩次乘得的積相加，所以我模仿加法豎式，把口算的過程合成了一個式子。（如圖4）

生：我和他的想法是一樣的，但是筆算的順序不同，他是從十位乘起，我是從個位乘起。（如圖5）

師：（小結）筆算其實就是把口算的步驟按照加法豎式的結構合起來。比較這兩個豎式，你認為哪個豎式記錄口算的過程更合適？

明確：第二個豎式更合適，筆算整數乘法要和加減法一樣從個位算起，按照從低位算起的順序來計算比較簡潔。

討論：如果把豎式中30個位上的0去掉，數的大小改變了嗎？

得出：因為3在十位，表示3個十，也就是30，去掉個位上的0不改變數的大小，所以一般把12×3的筆算寫成這樣的形式。（如圖6）

比較：請同學們比較12×3的口算和筆算，想一想，我們已經學會了口算，為什么還要學習筆算呢？

明確：筆算12×3把口算時分步計算的三個算式合成一個算式，這樣計算比較簡潔，筆算還能清晰地看出運算順序。

引導：如果把12×3改成3×312，由兩位數乘一位數變成三位數乘一位數，你還會筆算嗎？先和同桌說一說運算順序再計算，然后在小組內交流你的計算過程。

提問：學習到這兒，大家能總結一下筆算兩、三位數乘一位數的計算方法嗎？

乘法的現實模型主要有四種，分別是等量組的聚集模型、倍數模型、配對模型和矩形模型。上述教學，把一只大雁看成一個點，3行大雁每行12只，就組成3行每行12個點的矩形模型，基于這樣的數學模型，學生的思維過程因此可視化，學生對兩、三位數乘一位數算理的理解和算法的掌握變得簡單且深刻。為了讓學生親歷筆算乘法的知識產生過程，體會筆算乘法的必要性，把知識結構內化為學生的認知結構，我以“怎樣用豎式記錄12[×]3的口算過程”為核心問題，引導學生通過同化和順應可視化地經歷把分步算式組合成加結構的豎式過程，感受整數運算本質的一致性，體會乘法豎式表達的簡潔美和邏輯美，突破了學生思維的深層困惑。

二、親歷研究過程，凸顯隱性困惑，讓兒童思維可視化

中央民族大學的孫曉天教授認為：“有過程的地方就有探究，有經歷、體驗、探索空間的地方就需要探究，而有了探究的空間，數學課程蘊含的思想、方法、經驗、知識、技能等才會交織在一起出現，無處不在，清晰可辨。”同樣，只有讓學生親歷研究過程，學生思維的困惑才能被發(fā)現。數學學習的過程，本質上就是化解學生思維的一個又一個困惑，促進學生智力發(fā)展的過程。

案例二：“筆算兩位數乘兩位數”。這個內容是整數乘法教學的重點和難點，既是對“筆算兩、三位乘一位數”學習經驗的提升，又是學生以后學習“三位數乘兩位數”及小數乘法的知識基礎。本課還是學生首次學習整數乘法的驗算方法——用交換兩個乘數的位置再乘一遍的方法來驗算，學生雖然會用，實際上卻不明其理：為什么交換兩個乘數的位置再乘一遍乘積相同呢？這是縈繞在學生腦海中的隱性困惑。

引導：請同學們交換24×12兩個乘數的位置再乘一遍，你有什么發(fā)現？想一想，和同學說一說。

生：（展示，如圖7）我發(fā)現交換兩個乘數的位置再乘一遍，積相等。

得出：整數乘法既可以用把原來的算式再乘一遍的方法來驗算，也可以用交換兩個乘數的位置再乘一遍的方法來驗算。

提問：大家能嘗試說清楚用交換兩個乘數的位置再乘一遍的方法來驗算背后的道理嗎？

生：以上面兩個豎式為例，交換乘數位置后發(fā)現都是把8個一、8個十和2個百合起來，計算單位及其個數相同，所以結果相同。

生：我是用畫表格的方法來說明的，無論是24×12，還是12×24，都是把8個一、8個十和2個百合起來，計數單位及其個數相同，所以結果相同。（如圖8）

小結：兩位同學說理的方法不同，但是都發(fā)現兩個乘法算式的積包含的計數單位及其個數相同，所以可以用交換兩個乘數的位置再乘一遍的方法來驗算。

提問：舉例子是數學研究的重要方法。剛才我們只是研究了一個算式，如果換成其他算式還有同樣的發(fā)現嗎？請每人舉一個例子繼續(xù)研究，把你的發(fā)現在小組內交流。

以上教學，以“大家能嘗試說清楚用交換兩個乘數的位置再乘一遍的方法來驗算背后的道理嗎”為核心問題，引導學生通過對驗算過程的直觀研究，發(fā)現交換兩個乘數的位置再乘一遍的方法來驗算背后的道理，即包含的計數單位及其個數相同。這樣設計，通過凸顯隱性困惑讓學生思維可視化，提高了學生的運算能力，發(fā)展了學生的推理意識。

三、把握內在關聯，化解結構性困惑，讓兒童思維可視化

數學的整體性教學，既應包含以數學的整體為教學內容，更應包含用數學整體的結構、思想與方法去教學。我們在教學中既要關注每一節(jié)課，也要把每一節(jié)課放到一個單元、一冊教材甚至整個小學階段加以審視。也就是說，在教學中要做到“既見樹木，又見森林”。以往，數的認識的教學呈碎片化、散點狀，教學分數時只考慮分數，教學小數時只考慮小數，缺乏結構化整合，使學生無法實現從數的知識結構內化為數的認知結構，導致學生對整數、分數和小數的認識產生結構性困惑。

案例三：“分數的意義”。這個內容是小學階段“數的認識”最后學習的內容，因此，“分數的意義”教學還承擔著整體關聯、體會一致性、構建“數的認識”認知結構的任務。

引導：有人說，分數就是先分后數得到的數，誰來說一說是怎樣分的，又是怎樣數的？

生：“分”是指把單位“1”平均分，“數”是指數分數單位的個數。

提問：請看大屏幕，這是一條線段，可以用整數1表示，如果有兩個這么長，可以用哪個數表示？三個呢？（生答略）這樣的話能說得完嗎？大家有什么發(fā)現？

生：這樣的話說不完，我發(fā)現整數是由計數單位累加得到的。

提問：如果把這條線段平均分，你能找到[5/6]的位置嗎？拿出學習單，分一分，找一找，然后和同學說一說。

生：平均分成6份，其中的1份是[1/6]，數出這樣的5份是5個[1/6]就是[5/6]。（如圖9）

追問：如果繼續(xù)數下去，還能數出哪些數？（生答略）大家又有什么發(fā)現？

生：分數是先把單位“1”細分，由分數單位累加得到的。

提問：如果把這條線段平均分，你能找到0.5的位置嗎？在學習單上再分一分、找一找，和小組同學說一說你的方法。

生：平均分成10份，其中的1份是[1/10]，寫成小數是0.1，數出這樣的5份是5個[1/10]就是[5/10]，5個0.1就是0.5。（如圖10）

師：數出這樣的3份是多少？6份呢？9份呢？（生答略）

追問：大家又發(fā)現了什么？

生：小數也是先把單位“1”細分，由小數單位累加得到的。

生：分數單位包括小數單位，因為小數就是十進分數。

師：說得真好！誰能把我們剛才的研究成果總結一下？

生：無論是整數、分數還是小數，都是由計數單位累加得到的。

生：整數、分數和小數都可以用數線上的點來表示。

師：真會總結，也就是說數都是數計數單位的個數得到的，這就是數的本質。正如著名的數學家華羅庚所說：“數源于數，量出于量?！眲偛盼覀冋业搅薣5/10]的位置，這個點還可以用哪個分數表示呢？先想一想，在學習單上分一分、寫一寫，看誰想到的多。

生：還可以用分數[1/2、2/4、3/6、4/8]等表示。

師：這些分數有什么相同點？

生：我發(fā)現這些分數都是把單位“1”平均分成若干份，取的份數是平均分的份數的一半，還發(fā)現這些分數可以用數線上同一個點表示，所以大小相等。

師：是的，表示這個點的分數有無數個，也就是與[5/10]相等的分數有無數個。這些分數大小相等，但是分子和分母大小不同，這里面還藏著什么秘密呢？我們以后再研究。

本環(huán)節(jié)，抓住數的內在關聯，把整數、分數、小數串聯成一個整體，以數線為直觀研究的抓手，引導學生觀察、思考、交流、總結，不僅發(fā)現整數、分數、小數都是由計數單位累加得到的，都是用計數單位及其個數來表達，還發(fā)現整數、分數和小數都可以用數線上的點表示。思維的可視化，讓學生體會到整數、分數和小數本質上的一致性，幫助學生建立了數的整體認知結構。

【本文系江蘇省中小學教學研究第十五批重點課題“‘以真啟智’導向下小學數學思維可視化的教學策略研究”（編號：2023JY15-ZA103）的階段成果之一】

（作者單位：江蘇沭陽縣第一實驗小學）