【教學(xué)思考】

圓柱與圓錐是人教版教材六年級下冊第三單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教材根據(jù)圖形的特征將圓柱、圓錐分開編排，基于圖形認(rèn)知的一致性和概念建構(gòu)的整體性思考，現(xiàn)對某校六年級90名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)研，前測題目與結(jié)果如下。

一、前測目標(biāo)

1.學(xué)生對于圓柱和圓錐特征的了解情況。

2.學(xué)生對于“二維”平面與“三維”立體之間的轉(zhuǎn)化水平。

3.學(xué)生通過類比、推理實(shí)現(xiàn)三維與二維經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化和遷移的水平。

二、前測題目

1.下面兩個(gè)立體圖形，左邊是圓柱，右邊是圓錐。你認(rèn)為圓柱、圓錐分別由哪幾部分組成？請?jiān)趫D1中標(biāo)出。

2.選擇合適的卡紙圍成一個(gè)圓柱或圓錐。（如圖2）

（1）（ ）個(gè)（ ）號和（ ）個(gè)（ ）號可以圍成一個(gè)圓柱。

（2）（ ）個(gè)（ ）號和（ ）個(gè)（ ）號可以圍成一個(gè)圓錐。

3.根據(jù)長方體、正方體體積的研究經(jīng)驗(yàn)，（如圖3）請你嘗試推導(dǎo)圓柱的體積計(jì)算公式，并說明理由。

三、前測結(jié)果

通過分析得知：學(xué)生對圓柱與圓錐并不陌生，但已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)更多的是基于視覺的觀察，缺乏操作與推理，并且利用二維與三維的轉(zhuǎn)化研究圖形的意識和能力比較薄弱，難以遷移到度量維度的猜想與發(fā)現(xiàn)。而立足于“經(jīng)驗(yàn)的遷移和圖形建構(gòu)的一致性”，則將這兩個(gè)圖形的學(xué)習(xí)內(nèi)容調(diào)整為以“圖形的認(rèn)識”和“圖形的測量”兩大主題推進(jìn)。兩種圖形同步研究，旨在促使學(xué)生通過維度的轉(zhuǎn)變、動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)變來深度探究圖形，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

一、喚醒經(jīng)驗(yàn)，明確研究思路

師：這節(jié)課我們來認(rèn)識圓柱和圓錐。你能從下列物體（如圖4）中找到它們嗎？

生：②③④⑧是圓柱，①⑥⑦是圓錐。

師：如果去掉它們的外衣，就能得到這樣的直觀圖。（如圖5）

師：我們能直觀辨認(rèn)圓柱和圓錐，那么還有哪些問題值得我們研究呢？

生：我想知道圓柱和圓錐有什么特點(diǎn)。

生：我想研究它們的體積和表面積怎么求。

生：我想知道圓柱和圓錐的展開圖分別是怎樣的。

師：我們可以借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來認(rèn)識新的圖形，如果這節(jié)課重點(diǎn)研究特征，請你們回憶一下，長方體和正方體的特征我們是怎樣研究的？

生：是從頂點(diǎn)、棱、面三個(gè)方面來研究的。

師：其實(shí)就是從點(diǎn)、線、面的角度來研究，那么圓柱和圓錐是否也可以這樣來研究呢？

生：可以的。

【設(shè)計(jì)意圖】喚醒學(xué)生關(guān)于立體圖形認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)，明確探索圖形特征是認(rèn)識圖形的起點(diǎn)，通過對研究角度的梳理，為研究圓柱與圓錐的特征指明方向，也為后續(xù)學(xué)習(xí)新的立體圖形提供支架，有利于知識的整體建構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)的有效遷移。

二、任務(wù)驅(qū)動(dòng)，探究圖形特征

（一）任務(wù)一：“破壞”圓柱和圓錐。

同桌活動(dòng)：從點(diǎn)、線、面的角度觀察圓柱和圓錐，探尋它們的特征，想象它們展開后的樣子，并通過剪一剪進(jìn)行驗(yàn)證。

1.探究面的特征。

得出：圓柱有3個(gè)面，其中2個(gè)底面是完全相同的圓、1個(gè)側(cè)面是曲面。圓錐有2個(gè)面，有1個(gè)底面是圓，還有1個(gè)側(cè)面。

2.認(rèn)識高和頂點(diǎn)。

師：經(jīng)歷想象、操作和驗(yàn)證得出了圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。剛才你們是怎樣操作的呢？

生：豎著剪。

師：像這樣沿著這條線豎著剪開，這條線就是圓柱的高。數(shù)學(xué)上，把圓柱兩個(gè)底面之間的距離，叫作圓柱的高。你們知道圓錐的高在哪里嗎？

生：從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心之間的這條線段叫作圓錐的高。

師：圓柱和圓錐的高有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：圓錐只有1條高，而圓柱有無數(shù)條。

生：它們都和底面垂直。

師：為什么圓柱有無數(shù)條高，而圓錐只有1條？

生：因?yàn)閳A錐只有1個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)頂點(diǎn)到底面的垂直線段只有1條，所以圓錐的高只有1條；而圓柱上下是兩個(gè)完全相同的圓，兩個(gè)圓面上都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)之間會有無數(shù)條垂直于底面的線段，所以就有無數(shù)條高。

3.認(rèn)知側(cè)面展開圖。

師：沿著圓柱的高剪開，側(cè)面展開后是一個(gè)長方形，你們的操作結(jié)果都是這樣嗎？

生：不一定，我們組剪出來是一個(gè)正方形。比較后，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)圓柱的高與底面圓的周長是一樣的。

生：我們是斜著剪的，側(cè)面展開是一個(gè)平行四邊形。

師：剛才通過剪一剪，我們把立體圖形轉(zhuǎn)化成了平面圖形，剪的方法不同，得到的平面圖形也不同。

4.反例辯證，完善概念。

師：我們從點(diǎn)、線、面的角度認(rèn)識了圓柱和圓錐，知道了它們的特征。圓柱上下兩個(gè)面是完全相同的圓，且有無數(shù)條高，符合這些特征的一定是圓柱嗎？

生：不一定，那種中間凹進(jìn)去的就不是，比如沙漏。

生：像腰鼓這樣中間凸出來的也不行，圓柱上下是一樣粗的。

師：通過觀察和操作我們不僅認(rèn)識了圓柱和圓錐的特征，還發(fā)現(xiàn)了藏在里面的很多不同的平面圖形，真可謂“體中有面，面藏體中”。

【設(shè)計(jì)意圖】任務(wù)一讓學(xué)生在“觀察→想象→操作→驗(yàn)證”中經(jīng)歷“體→面→線→點(diǎn)”的維度轉(zhuǎn)化，基于“直觀操作”突破圓錐側(cè)面展開圖的想象難點(diǎn)，適時(shí)進(jìn)行圓柱、圓錐高的特征對比，從而加深對這兩個(gè)圖形特征的深度理解，有助于感悟平面圖形與立體圖形的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，發(fā)展空間觀念。

（二）任務(wù)二：創(chuàng)造圓柱和圓錐。

同桌研究：如圖6，選擇其中一個(gè)平面圖形創(chuàng)造一個(gè)圓柱（圓錐），想一想，創(chuàng)造出來的立體圖形與平面圖形之間有什么關(guān)系？

反饋：

1.通過“圍”來創(chuàng)造。

生：用⑤號長方形可以圍成一個(gè)圓柱，長方形的寬是圓柱的高，長是圓柱底面圓的周長。

生：用④號扇形可以圍成一個(gè)圓錐，扇形弧的長度是底面圓的周長。

2.通過“旋轉(zhuǎn)”來創(chuàng)造。

生：我選擇⑤號長方形，以長為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)圓柱，長方形的長是圓柱的高，寬是圓柱底面圓的半徑。

生：⑤號長方形也可以寬為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)圓柱，長方形的寬就是圓柱的高，長就是圓柱底面圓的半徑。

生：⑤號長方形還可以沿著中間的對稱軸旋轉(zhuǎn)，長就是圓柱的高，寬是圓柱底面圓的直徑。

師：由運(yùn)動(dòng)的視角想到3種不同的旋轉(zhuǎn)方法，（如圖7）借助想象得到圓柱，我們還發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)前的平面圖形與旋轉(zhuǎn)后的立體圖形之間的關(guān)系。生活中有沒有這樣類似的現(xiàn)象？

生：賓館大堂的旋轉(zhuǎn)門。

師：圓錐呢？

根據(jù)學(xué)生反饋得到3種情況。（如圖8）

3.通過“平移”來創(chuàng)造。

生：我選擇⑥號圓，我們可以想象一下，將它上下豎直地平移，運(yùn)動(dòng)后留下的痕跡也可以看作一個(gè)圓柱。（學(xué)生動(dòng)手演示）

師：同學(xué)們能想象出來嗎？圓錐可以通過某一個(gè)平面圖形的平移得到嗎？

生：不可以，因?yàn)閳A錐上下不一樣大。平移前后圖形的大小、形狀是不變的。

師：看來平面圖形和立體圖形之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，還能幫助我們從動(dòng)態(tài)的視角理解圖形特征的本質(zhì)。

【設(shè)計(jì)意圖】任務(wù)二旨在引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的視角認(rèn)識圓柱與圓錐的特征，感悟面動(dòng)成體。將靜態(tài)的平面圖形通過旋轉(zhuǎn)、平移等運(yùn)動(dòng)方式形成立體的圓柱和圓錐，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的空間想象力，勾連了面與體之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，為后續(xù)研究度量做好鋪墊。

三、回顧總結(jié)，遷移知識方法

師：回顧一下今天的學(xué)習(xí)過程，我們是怎樣研究的？

知識回顧和方法提煉。（附板書，如圖9）

師：今天的研究對于之后我們研究表面積和體積有什么啟發(fā)？

生：表面積是由一個(gè)一個(gè)面的面積加起來得到的，這節(jié)課我們知道了圓柱、圓錐有哪幾個(gè)面，到時(shí)候只要把這些面的面積加起來就可以了。

生：我們知道長方體的體積是由一個(gè)一個(gè)小正方體的體積加起來得到的，可是圓柱、圓錐的體積呢？

生：圓的平移可以得到圓柱，那么圓柱的體積是不是也可以用底面積乘高來計(jì)算呢？

師：同學(xué)們基于聯(lián)系的視角展開思考，這些想法很有意思，留待我們后續(xù)研究中逐一驗(yàn)證吧！

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)除了對知識和方法進(jìn)行總結(jié)與回顧，還引導(dǎo)學(xué)生思考本節(jié)課學(xué)到的知識與研究的方法與后續(xù)學(xué)習(xí)之間是否存在關(guān)系，旨在培養(yǎng)學(xué)生站在圖形認(rèn)知一致性的視角來審視立體圖形的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲得帶得走的數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)方法。

（作者單位：浙江寧波市海曙區(qū)教育局教研室） J