[摘 要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出圖形與幾何是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不可或缺的一部分. 但實際教學(xué)中，仍有些教師只關(guān)注學(xué)生邏輯推理的培養(yǎng)，卻忽略作圖教學(xué)的重要性，導(dǎo)致學(xué)生在解決實際問題時常束手束腳. 文章從數(shù)學(xué)幾何作圖的價值與方法等方面展開實踐與探索，與同行交流.

[關(guān)鍵詞] 作圖;幾何;圖形

圖形是平面幾何的核心，是數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的重要成員之一. 初中階段對圖形的研究，從最基本的點、線、面、體出發(fā)，發(fā)展到兩條直線之間的關(guān)系，再逐漸過渡到對多邊形的探索，作圖是該過程中不可或缺的一部分. 但在實際教學(xué)中，仍有些教師還沒有充分認(rèn)識到作圖的價值. 事實證明，作圖過程承載著“做數(shù)學(xué)”的基本理念，學(xué)生通過手腦協(xié)作，經(jīng)歷觀察、分析、理解與感悟，可有效促進(jìn)數(shù)學(xué)建模、幾何直觀與邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展.

數(shù)學(xué)幾何作圖的價值

1. 轉(zhuǎn)變育人方式

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)要轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，根據(jù)不同教學(xué)內(nèi)容的特點與學(xué)生的實際認(rèn)知經(jīng)驗設(shè)計教學(xué)方案. 幾何作圖需要學(xué)生親自動手操作，屬于“做數(shù)學(xué)”與“發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)”的范疇，教師為學(xué)生提供明確的作圖方向，引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計作圖方案，即將學(xué)生的“被動式學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)化成“主動式學(xué)習(xí)”. 學(xué)生在一些關(guān)鍵性問題的啟發(fā)下開動腦筋、積極參與，完成作圖的同時發(fā)展核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了作圖的育人價值.

2. 增強(qiáng)學(xué)習(xí)體驗

動作表征、表象表征、符號表征是人類對數(shù)學(xué)事物的三種表征方式，三者聯(lián)合起來形成完整的表征系統(tǒng)，學(xué)生通過不同的表征方式全方位地認(rèn)識數(shù)學(xué)事物. 這三種表征方式互相作用、相輔相成，是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的核心. 處于初中階段的學(xué)生，對數(shù)學(xué)事物的表征仍需要動作與表象的支持，而幾何作圖恰好需要學(xué)生手腦協(xié)作，屬于整合間接經(jīng)驗的過程，學(xué)生調(diào)動學(xué)習(xí)經(jīng)驗與思維方式，借助已有的知識結(jié)構(gòu)來解決作圖問題，對發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義.

3. 自我知識建構(gòu)

每一個學(xué)生都是獨立的個體，都有自己獨特的思想. “做數(shù)學(xué)”的幾何畫圖過程，需要學(xué)生發(fā)揮自身特長，配合積極思考進(jìn)行作圖分析與操作. 從本質(zhì)上而言，這也是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識自我建構(gòu)的過程. 以實操的方式來認(rèn)知并理解圖形基本特征，以推理論證來辨析作圖的合理性等，都是促進(jìn)學(xué)生個體思維發(fā)展的舉措. 當(dāng)然，幾何作圖也離不開團(tuán)體協(xié)作模式的應(yīng)用，學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，可進(jìn)一步拓寬思維，發(fā)現(xiàn)作圖的基本邏輯順序，這是進(jìn)一步鞏固知識基礎(chǔ)，發(fā)展數(shù)學(xué)直觀的過程.

幾何作圖的方法

1. 自然、合理是作圖的基礎(chǔ)

觀察現(xiàn)行的各個版本的初中數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)有很多幾何作圖都以直接告知的方式呈現(xiàn)，即在教材中直接展示規(guī)范的作圖方法. 這種呈現(xiàn)方式對于初中階段的學(xué)生而言直接明了，但每一個學(xué)生的思維方式不一樣. 在這種作圖方法的引導(dǎo)下，有幾個學(xué)生能做到知其然且知其所以然呢？作為一線數(shù)學(xué)教師，首先要將學(xué)生的思維發(fā)展放在教學(xué)首位，教材呈現(xiàn)的方式針對的是大眾，那么作為執(zhí)教者則需要根據(jù)學(xué)情特點，引導(dǎo)學(xué)生在自然、合理的背景下主動去作圖，對作圖產(chǎn)生探索欲.

案例1 作一個角與已知角相等.

探究1：如果想要做一把扇子與圖1展示的折扇一樣，該怎么操作呢？

探究2：根據(jù)探究1的操作，若想在草稿紙上畫一個與∠AOB相等的角，該如何操作？

探究3：若你只有一把沒有刻度的直尺和一個圓規(guī)，能否畫一個角與已知角相等？

設(shè)計意圖 以上三個探究活動的設(shè)計，由淺入深地揭露了如何作一個與已知角相等的角，學(xué)生的思維隨著每一個問題難度的加深而深化. 幾個探究活動的設(shè)計意在引導(dǎo)學(xué)生從生活實際中的物品出發(fā)，體會生活中所存在的擁有相同大小角的物品，并由此聯(lián)想到如何“復(fù)制角”，學(xué)生的思維隨著探究的深入自然地過渡到借助工具繪制角中來. 思維隨著探究的深入而明朗，對畫角的認(rèn)識愈發(fā)明確.

師：要畫一個角和某已知角完全相等，能否不通過扇形的“復(fù)制”，而通過對其他圖形的“復(fù)制”來完成呢？

在這個問題的引導(dǎo)下，引出圖2（《幾何原本》介紹的作圖方法）.

學(xué)生通過對自己所熟悉的情境探索，思維經(jīng)歷了從特殊到一般的轉(zhuǎn)化過程，深化了對“復(fù)制”這個詞的理解. 接下來引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：究竟該怎樣應(yīng)用尺規(guī)作出一條線段的長度與已知線段相等呢？為了幫助學(xué)生探尋到解決問題的方向，筆者在此處設(shè)計了問題串，達(dá)到啟發(fā)點撥的作用.

問題1：如何用一把有刻度的直尺測量一條線段的長度？

問題2：如何用一把刻度不清的直尺測量一條線段的長度？

問題3：怎樣應(yīng)用尺規(guī)作圖法，作出一條線段的長度與已知線段相等？

設(shè)計意圖 循序漸進(jìn)的問題讓尺規(guī)作圖法的形成更加自然、合理. 一般情況下，學(xué)生都將教材作為作圖學(xué)習(xí)的參考，但關(guān)于作圖過程涉及的一些思想方法需要經(jīng)過分析、理解與思考才能產(chǎn)生，自主操作往往能有新的突破. 因此，追求幾何作圖的自然、合理是形成良好作圖能力的基礎(chǔ)，也是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基石.

2. 思辨、綜合是作圖的關(guān)鍵

新課標(biāo)背景下的尺規(guī)作圖并非單純地作圖，而是結(jié)合實際問題展開作圖與分析. 基于每一個學(xué)生的知識經(jīng)驗與思維方式的差異性，面臨同一個問題時，不同個體會產(chǎn)生不同的解題方案，那么作圖方法也就會出現(xiàn)差異. 因此，幾何作圖需從思辨、綜合的角度去分析，同一個問題，或許存在多種作圖方法，我們應(yīng)正確地對待每一種作圖方法.

案例2 垂線的作圖法.

如圖3，線段AB與點C為已知條件，如何用圓規(guī)與刻度模糊的直尺過點C作出線段AB的垂線呢？

關(guān)于這個問題，有學(xué)生以圖4的方法來解決，也有學(xué)生以圖5的方法來解決（將AC作為圓的直徑，根據(jù)“直徑所對的圓周角為直角”的定理順利解決問題）.

圖5這種作圖方法在課堂預(yù)設(shè)之外，卻又在情理之中. 從學(xué)生的作圖方法來看，確實是以問題結(jié)論為出發(fā)點進(jìn)行思考，只是另辟蹊徑，從另一個角度靈活作出了圖形. 這是學(xué)生的創(chuàng)新思維，充分體現(xiàn)了作圖的思辨性與靈活性，這也是作圖教學(xué)所追求的目標(biāo)之一.

3. 多樣、靈活是作圖的靈魂

隨著時代的發(fā)展，作圖工具也越發(fā)豐富，限制使用尺規(guī)作圖顯然已經(jīng)不符合時代的發(fā)展需求，根據(jù)實際情況選擇合適的作圖工具是提高作圖效率的基礎(chǔ). 在教學(xué)中，教師要突破尺規(guī)作圖的思維束縛，鼓勵學(xué)生選擇靈活、多樣的作圖工具實施作圖，以更好地發(fā)揮幾何作圖“教”與“學(xué)”的功能.

案例3 方格紙內(nèi)作圖.

已知△ABC的三個頂點A，B，C分別落在邊長為1的方格紙的格點上（見圖6），若想借助一把刻度不清晰的直尺輔助作圖，如何作出點E位于BC邊上，同時滿足EB ∶ EC=1 ∶ 3;并讓點F位于AB邊上，且滿足∠AEC=∠FEB. 簡要說說你是怎樣找到點E，F(xiàn)的位置的（不需要證明）.

設(shè)計意圖 本題綜合性較強(qiáng)，涉及三角形相關(guān)的眾多知識點，如勾股定理、相似性等. 本題目測為作圖問題，從本質(zhì)上來說意在綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平與應(yīng)變能力.

如圖7，在格點上分別取點M，N，連接MN與CB相交于點E（獲得點E）;連接A′E并延長，與AB相交于點F（獲得點F）;連接AE，點E，F(xiàn)滿足∠AEC=∠FEB.

案例4 正方形ABCD的邊長為4，E為正方形DC邊的中點，現(xiàn)有一把沒有刻度的直尺，該如何將圖8中的線段AC圍繞正方形的中心逆時針旋轉(zhuǎn)45°？怎樣將線段AC向上平移1？

設(shè)計意圖 這也是一道綜合性較強(qiáng)的作圖題，涉及圖形旋轉(zhuǎn)、平移等基礎(chǔ)知識. 設(shè)計本題意在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析題設(shè)條件，充分理解題意，并從正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定定理等著手進(jìn)行作圖，以發(fā)展數(shù)學(xué)反思能力與邏輯推理能力.

案例3、案例4均符合高立意、巧設(shè)計的思想. 帶領(lǐng)學(xué)生從不同的維度探索作圖過程，不僅促使學(xué)生積累了相應(yīng)的經(jīng)驗，還讓學(xué)生實現(xiàn)了思維從感性向理性的成功轉(zhuǎn)變，發(fā)展了數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識. 因此，我們應(yīng)注重作圖的靈活性與多樣性，這也是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

對于幾何作圖的思考

1. 課堂作圖發(fā)展符號意識

數(shù)學(xué)是研究物體的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門基礎(chǔ)學(xué)科，其中空間形式以“圖形”為代表，畫圖能力的高低體現(xiàn)學(xué)生符號意識的發(fā)展程度. 課堂作為作圖訓(xùn)練的主陣地，學(xué)生可在教師的引導(dǎo)下不斷提升作圖的準(zhǔn)確性、熟練度與美觀性，這是發(fā)展直覺思維與符號意識的重要渠道. 縱觀當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教材，作圖教學(xué)并非獨立的單元，而是貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，這就需要教師利用課堂做好作圖指導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生在全學(xué)段養(yǎng)成作圖思考與分析問題的習(xí)慣.

如本節(jié)課的教學(xué)，就將觀察、嘗試、作圖等活動貫穿教學(xué)的始終，學(xué)生在“作角”這個主線的牽引下不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感知作圖對數(shù)學(xué)探索的價值與意義，有效提升了數(shù)學(xué)符號意識，此為發(fā)展核心素養(yǎng)的重要通道.

2. 文字作圖發(fā)展空間觀念

新課標(biāo)將發(fā)展學(xué)生的空間觀念作為教學(xué)的重要目標(biāo)之一，空間觀念主要表現(xiàn)在學(xué)生能否根據(jù)語言描述作出與之意思相符的圖形. 借助圖形展示語言描述或文字描述的內(nèi)容，刻畫運動與變化發(fā)展情況是發(fā)展空間想象力的基礎(chǔ). 教師可帶領(lǐng)學(xué)生通過對圖形所針對的問題、典型例題等進(jìn)行梳理，并在操作與研究中加深學(xué)生的理解.

隨著作圖活動的開展，學(xué)生不僅從理論上理解了作圖的方法，還深刻體會了作圖對探索數(shù)學(xué)問題的輔助作用，獲得了良好的空間觀，這也為發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識夯實了基礎(chǔ).

3. 尺規(guī)作圖發(fā)展推理能力

新課標(biāo)對尺規(guī)作圖提出的要求為：會用尺規(guī)或基本圖形完成作圖，了解作圖的原理. 整體來說，尺規(guī)作圖的難點在于作圖工具的限制性，這要求學(xué)生要有良好的分析能力，能從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行追根溯源，以明確作圖的方法與順序，這也是發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維的過程.