[摘 要] 動態(tài)幾何與函數(shù)問題的綜合性極強，問題往往涉及了幾何、函數(shù)、不等式、方程等知識內(nèi)容. 問題的解析過程需要理解運動過程、把握動態(tài)特性，再結(jié)合相應(yīng)的解題策略來構(gòu)建轉(zhuǎn)化. 研究者結(jié)合實例開展動態(tài)幾何與函數(shù)問題的解析探究.

[關(guān)鍵詞] 動態(tài)幾何;函數(shù);旋轉(zhuǎn);平移

動態(tài)幾何是初中數(shù)學(xué)的重點知識，主要研究動態(tài)幾何中的特殊性質(zhì)，包括角、線段與圖形的位置和特征關(guān)系. 實際考查時常以函數(shù)為背景，構(gòu)建動態(tài)幾何與函數(shù)問題，該類問題融合了幾何運動與函數(shù)的相關(guān)知識，往往以點、線和圖形的規(guī)律運動為主線，集幾何與函數(shù)知識為一體，構(gòu)建綜合性問題，下面舉例探究.

示例探究

分析：本題目為以三角形旋轉(zhuǎn)為基礎(chǔ)的反比例函數(shù)綜合題，知識主線為三角形旋轉(zhuǎn)，求解反比例函數(shù)的特征參數(shù)k的值.

對于本題，根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)過程，繪制變換后的圖象即可（畫△AOB即可）. 當(dāng)點A在y軸上，點B，C在x軸上時，根據(jù)△ABC為等邊三角形且AO⊥BC作圖，可構(gòu)造△BFO∽△OEA模型. 從而可推出S=3，進(jìn)而根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求解.

比例函數(shù)k的幾何意義，可解得k=6.

評析 本題以反比例函數(shù)中的三角形旋轉(zhuǎn)為背景，綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、k的幾何意義、相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵. 解析動態(tài)幾何與函數(shù)問題，總體上分為三步，具體如下：

第一步，理解幾何運動過程，繪制圖象.

第二步，把握運動特性，提取其中的特殊模型.

第三步，結(jié)合函數(shù)與幾何的相關(guān)性質(zhì)求解.

策略探究

動態(tài)幾何與函數(shù)綜合題，涉及幾何運動與函數(shù)的相關(guān)知識，具有“數(shù)”與“形”的雙重屬性，該類問題的破解過程應(yīng)注重在運動中分析，變化中求解. 探究學(xué)習(xí)時建議總結(jié)方法思路，形成對應(yīng)的解題策略，教學(xué)中建議從以下四個方面進(jìn)行引導(dǎo).

1. 關(guān)注解題的核心思想

對于動態(tài)幾何與函數(shù)綜合題，解題的核心思想是化歸轉(zhuǎn)化，即解題的本質(zhì)是將問題轉(zhuǎn)化為一般性問題. 轉(zhuǎn)化過程包括多個方面，具體有以下幾點.

“化大為小”，即轉(zhuǎn)化多解或復(fù)雜問題，轉(zhuǎn)化為一般的問題.

“化動為靜”，即將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，在“靜”中求解，因此解題時需要理解動態(tài)過程，把握動點規(guī)律.

“化繁為簡”，即轉(zhuǎn)化其中的復(fù)雜條件，如化面動為線動，化線動為點動. 因此深刻理解轉(zhuǎn)化思想，靈活運用是解題的關(guān)鍵.

2. 構(gòu)建破題的基本策略

破解動態(tài)幾何問題的基本策略較多，需要解析問題的方方面面，重點是解析圖象、轉(zhuǎn)化條件. 可從以下幾個點切入.

看圖找點，即把握圖象中的關(guān)鍵點，如靜態(tài)點（可作為參考點）、動態(tài)點（形成動態(tài)幾何的關(guān)鍵點）、分界點（改變圖象整體屬性的點）.

見形思式，即根據(jù)圖形來書寫公式，根據(jù)幾何的特性來構(gòu)建代數(shù)式，實現(xiàn)幾何特性的數(shù)量化，如根據(jù)等邊三角形特性推理等線段條件.

數(shù)形結(jié)合，是解析該類問題的重要策略，即解析問題中的位置與圖形，動態(tài)與靜態(tài)之間的關(guān)聯(lián)，從變化的圖形中探尋“變”與“不變”量的關(guān)系，逐步實現(xiàn)動態(tài)條件的定量化.

建立模型，解析過程中需要分析其中的關(guān)系，構(gòu)建代數(shù)與幾何兩類模型，如建立函數(shù)關(guān)系式、方程式、不等式模型，建立特殊關(guān)系及特殊圖形的幾何模型.

3. 把握解題的立足點

動態(tài)幾何與函數(shù)綜合題的立足點為動面、動線和動點，理解感悟其中的構(gòu)建精髓是解題的關(guān)鍵，即點動成線、線動成面、面動成體. 實際考查時，常構(gòu)建三類問題，動點問題、動線問題、動面問題，上述示例就為動面問題，對于不同類型問題，解題的立足點有一定的差異.

動點問題，可歸為單動點和多動點兩類，需要把握動點的運動軌跡，包括起始點、終止點，必要時把握其運動方向.

動線問題，即線段運動，常見的有線段平移和旋轉(zhuǎn)，需把握線段平移中的起始和終止位置，以及關(guān)鍵的交點;而線段旋轉(zhuǎn)中，需把握其旋轉(zhuǎn)角度和方向. 通常解動線問題，將其轉(zhuǎn)化為動點問題，利用動點規(guī)律來研究.

動面問題，本質(zhì)上為動線問題，解析時把握線段與幾何的關(guān)聯(lián)，利用線段運動來研究幾何，提取其中的運動規(guī)律.

4. 破除分析的“瓶頸”

“分界點”是動態(tài)幾何與函數(shù)問題分析的“瓶頸”，思路探索中需要找準(zhǔn)解題的“分界點”，利用該點來實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建具體模型. “分界點”一般隱含在幾何運動變化中，需要從“動態(tài)”中提取關(guān)鍵信息.

點遇點，即兩點重合，此時可將其視為一個點，構(gòu)建模型時視為同一點.

點遇線，即點位于線段上或經(jīng)過該線段，構(gòu)建模型時關(guān)注點與線段的位置關(guān)系.

線遇線，即兩線相交或重合，構(gòu)建模型是特別注意兩線相交的交點位置，關(guān)注該點的特性.

拓展探究

上述研究示例的破解過程，總結(jié)了動態(tài)幾何與函數(shù)的解題方法，形成了相應(yīng)解題策略. 理解運動過程，把握幾何規(guī)律，實現(xiàn)動態(tài)問題靜態(tài)化，合理構(gòu)建靜態(tài)模型是解題的關(guān)鍵. 整個解題過程注意合理利用分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建等思想方法. 下面結(jié)合實例，進(jìn)一步開展拓展探究.

1. 點平移與反比例函數(shù)

（1）求n，k的值;

（2）當(dāng)m為何值時，AB·OD的值最大？最大值是多少？

（2）因為點B橫坐標(biāo)大于點D的橫坐標(biāo)，所以點B位于點D的右側(cè)，過點C作x軸的垂線，分別交AB于點E，交x軸于點F，如圖3.

因為EF=y=8，則CE=CF=4，可得C（8，4），根據(jù)題意可知將點A沿x軸正方向平移m個單位長度得到點B，所以B（m+4，8），則BE=DF=m-4，可推得D（12-m，0），OD=12-m，所以AB·OD=m（12-m）=-（m-6）2+36. 分析可知，當(dāng)m=6時，AB·OD取得最大值36.

評析 上述為圍繞點平移構(gòu)建的函數(shù)綜合題，即點A沿x軸正方向平移m個單位長度得到點B，根據(jù)點平移規(guī)律推導(dǎo)點A和B之間的坐標(biāo)關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵. 對于點平移的函數(shù)類問題，需要關(guān)注兩點：一是把握平移的單位量;二是構(gòu)建平移前后點坐標(biāo)的關(guān)聯(lián).

2. 線段旋轉(zhuǎn)與拋物線

（1）求點A，B的坐標(biāo);

（2）隨著點E在線段BC上運動.

①∠EDA的大小是否發(fā)生變化？請說明理由;

②線段BF的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值;若不存在，請說明理由;

（3）當(dāng)線段DE的中點在該二次函數(shù)圖象的UIc2nAtUQgs7XK6tL8NgHDw6wVVFIFgQSNR3u67GKyk=對稱軸上時，△BDE的面積為______.

（2）①在AB上取點M，使得BM=BE，連接EM，如圖5.

分析可知拋物線對稱軸為x=1，即ON=1，由題意可知將線段AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC. 所以∠BAC=60°，AB=AC，可得△BAC是等邊三角形，所以AB=AC=BC，∠C=60°.

推理可證△BED≌△MEA，所以DE=EA，又知∠AED=60°，所以△AED是等邊三角形，即∠ADE=60°，即∠ADE的大小不變.

（3）設(shè)DE的中點為點M，連接AM，過點D作DH⊥BN于點H，如圖6.

因為OA=OB=AC=BC=2，則四邊形OACB是菱形，可推得BC∥OA.

結(jié)合條件可證△MBE≌△MHD，所以DH=BE. 因為∠ANM=90°，可推得∠MBE=90°=∠ANM，∠NMA+∠NAM=90°.

評析 上述為圍繞線段旋轉(zhuǎn)的函數(shù)綜合題，即線段AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC. 理解旋轉(zhuǎn)過程，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程提取幾何條件是解題的關(guān)鍵. 對于涉及線段旋轉(zhuǎn)的函數(shù)問題，需要關(guān)注兩點：一是提取幾何旋轉(zhuǎn)特性，如線段關(guān)系，角度關(guān)系;二是幾何線段旋轉(zhuǎn)與函數(shù)的關(guān)聯(lián)，提取特殊模型.

寫在最后

探究動態(tài)幾何與函數(shù)問題，需要經(jīng)歷探索、歸納、猜想、獲得圖形的運動規(guī)律，用運動變化的眼光來審視其中的圖象，構(gòu)建或提取特殊模型，實現(xiàn)問題靜態(tài)化.

問題分析中注意數(shù)形結(jié)合，把握動態(tài)幾何特性，探尋其中的變量關(guān)系，結(jié)合函數(shù)來參數(shù)化幾何量，如線段長、點坐標(biāo). 教師注意引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)與幾何的基礎(chǔ)知識分析問題，構(gòu)建幾何定理與代數(shù)公式的聯(lián)系，提升學(xué)生分析處理、運算推導(dǎo)問題的能力.