[摘 要] 分類思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，其對培養(yǎng)學(xué)生的思維邏輯具有相當(dāng)重要的作用. 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)重視加強(qiáng)分類討論思維模型訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生合理應(yīng)用分類思想解決問題，以此訓(xùn)練學(xué)生思維的條理性和概括性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 分類思想;分類意識;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

無論在平時作業(yè)中，還是在大型考試中，因“分類不當(dāng)”“忘記分類”等情況而失分的情況常有發(fā)生. 究其原因是學(xué)生缺乏分類意識，無法掌握分類對象的分類標(biāo)準(zhǔn)，加之學(xué)生平時做題后不重視反思?xì)w納，使得學(xué)生在面對分類問題時常常出現(xiàn)錯誤. 在日常教學(xué)中，教師要加強(qiáng)學(xué)生分類意識的培養(yǎng)，適度增加應(yīng)用分類思想解決問題，從而讓學(xué)生在問題的解決中逐漸積累經(jīng)驗，升華認(rèn)知，提升素養(yǎng). 下面筆者就如何培養(yǎng)學(xué)生的分類意識，發(fā)展學(xué)生的分類思想，談?wù)勛约旱目捶?

在審題中發(fā)現(xiàn)分類信息

審題是解題的第一步，也是關(guān)鍵的一步. 通過審題理解題意，挖掘題設(shè)中的顯性條件和隱性條件，尋找解決問題的突破口.

例1 在Rt△ABC中，已知AC=3，BC=4，求AB的長.

問題給出后，很多學(xué)生不假思索地直接給出AB的長為5. 為了讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，教師引導(dǎo)學(xué)生說出思考過程.

師：說說你的解題過程. （教師點(diǎn)名讓學(xué)生回答）

生1：我先畫出Rt△ABC，其中∠C=90°，Rt△ABC的兩條直角邊長分別為3和4，根據(jù)勾股定理可以得出Rt△ABC的斜邊AB的長為5.

師：其他同學(xué)也和生1的想法一樣嗎？

有些學(xué)生點(diǎn)頭表示贊成生1的想法，有些學(xué)生提出異議，此時教師讓給出“AB邊的長為5”的學(xué)生重新仔細(xì)讀題. 學(xué)生再次讀題后找到了問題所在，順利地解決了問題.

教學(xué)分析：在解題過程中，受定式思維的影響，有些學(xué)生或添加“∠C=90°”這一條件，或認(rèn)為3和4就是直角邊長，繼而得到的答案不完整. 然本題中并沒有指定∠C是直角，也沒有說明AC和BC是直角邊，所以在解決此類模糊性問題時，需要分類討論. 本題分兩種情況進(jìn)行討論：一是已知兩條邊為直角邊;另一種是一條邊是直角邊，一條邊是斜邊. 在教學(xué)中，教師沒有直接給出評價，而是讓學(xué)生再次仔細(xì)讀題，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題所在，以此通過析錯、糾錯等過程培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，推動學(xué)生全面發(fā)展.

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)重視讀題訓(xùn)練，讓學(xué)生明確問題的關(guān)鍵信息. 在解決幾何問題時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，借助幾何圖形的直觀尋找解題的突破口. 在解題過程中，當(dāng)學(xué)生的思維受阻時，應(yīng)鼓勵學(xué)生重新讀題，以此突破障礙，形成正確的解題思路. 對于例1，之所以很多學(xué)生解題時出現(xiàn)了錯誤，就是因為學(xué)生沒有理解題意，想當(dāng)然地認(rèn)為給出的兩條邊是直角邊，繼而得出的答案不完整. 其實，例1中的模糊性語言就是關(guān)鍵信息，讀題時應(yīng)及時捕捉，并在解題時合理分類，以此形成正確的解題思路.

例2 畫出函數(shù)y=x-1的圖象，說說該函數(shù)具有怎樣的性質(zhì). （至少說出2條）

教師預(yù)留2分鐘的時間讓學(xué)生讀題，然后與學(xué)生共同交流.

師：誰來說一說，你是怎么想的？

生2：要想畫出該函數(shù)的圖象，首先應(yīng)該去掉絕對值符號.

師：你能詳細(xì)說一說該如何去掉絕對值符號嗎？

生2：要去掉絕對值符號，需要對（x-1）進(jìn)行分類討論. 當(dāng)x-1≥0，即x≥1時，函數(shù)為y=x-1;當(dāng)x-1<0，即x<1時，函數(shù)為y=-x+1.

師：分析得很有道理，你是如何想到這樣分類的呢？

生2：我是結(jié)合之前學(xué)習(xí)絕對值時的經(jīng)驗想到的. 在去掉絕對值符號時，需要看里面的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是0. 如果是正數(shù)或0，可以直接去掉絕對值符號;如果是負(fù)數(shù)，需要取它的相反數(shù). 結(jié)合這一經(jīng)驗，可以將函數(shù)y=x-1進(jìn)行分類.

師：說得很好，已知條件中沒有給出自變量x的取值范圍，這樣我們也就無法確定（x-1）的正負(fù)，所以在面對x-1這一模糊條件時，需要進(jìn)行分類討論.

在日常學(xué)習(xí)中，會遇到許多類似的出現(xiàn)模糊信息的問題，解題時一定要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，及時捕捉題設(shè)信息中的“弦外之音”，以此順利找到解題的突破口，高效地解決問題.

在問題中確定分類標(biāo)準(zhǔn)

確定分類標(biāo)準(zhǔn)是實施分類討論的關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)對象的分類標(biāo)準(zhǔn)是千差萬別的，若思考的角度不同，出發(fā)點(diǎn)不同，分類標(biāo)準(zhǔn)會有所不同，分類結(jié)果和解題過程也會有所不同，因此分類標(biāo)準(zhǔn)的確定需要具體問題具體分析.

例3 在圓O中，A，B是圓上任意兩點(diǎn)，試探究弧AB所對的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系.

問題給出后，教師先讓學(xué)生動手畫圖，然后組內(nèi)交流.

追問：大家通過動手操作發(fā)現(xiàn)，弧AB所對的圓周角有無數(shù)個，那么這些角存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？它們與圓心角又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

學(xué)生通過觀察和測量得到無數(shù)個圓周角的大小相等，且等于圓心角的一半的猜想. 但是猜想并不能作為結(jié)論，猜想的證明自然成了研究重點(diǎn). 對于無數(shù)個角，顯然逐一證明是不現(xiàn)實的，為此在驗證時需要對其進(jìn)行分類. 學(xué)生通過觀察、思考、交流，明確根據(jù)所對的圓周角與圓心O的相對位置進(jìn)行分類（如圖1、圖2、圖3）：①圓心O在∠ACB邊上;②圓心O在∠ACB內(nèi);③圓心O在∠ACB外. 得到圖形后，可以根據(jù)三角形外角和、等邊對等角等相關(guān)性質(zhì)證明結(jié)論，這里就不一一闡述了. 這樣通過分類討論不僅解決了“無數(shù)個”的問題，也得到了同弧所對的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系.

很多時候分類標(biāo)準(zhǔn)不是一眼就能看到的，需要在解決問題的過程中逐漸確定. 在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地學(xué)習(xí)與積累，逐步提高自身分析和解決問題的能力，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在反思中積累分類經(jīng)驗

反思是加深知識理解，積累活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要途徑，其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是必不可少的. 在日常教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)一定的機(jī)會引導(dǎo)學(xué)生反思，充分發(fā)揮反思的力量，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 分類能力的培養(yǎng)是一個慢過程，需要在日常教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)和感悟. 教師作為課堂教學(xué)的組織者，應(yīng)為學(xué)生營造一個自我反思、自我歸納的良好的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生在反思和歸納中逐步優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升分類能力.

為了讓學(xué)生在反思中積累分類經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 針對以上3個案例，教師結(jié)合課堂生成創(chuàng)設(shè)如下問題：

（1）對于例1，你認(rèn)為出錯的原因是什么？通過問題的解決，你積累了哪些讀題經(jīng)驗？

（2）對于例2，將x-1分類的原因是什么？你收獲了哪些經(jīng)驗？

（3）對于例3，為什么要對∠ACB進(jìn)行分類？你是如何想到根據(jù)圓心O所在的相對位置來分類的呢？從中你積累了怎樣的經(jīng)驗？結(jié)合已有經(jīng)驗，你還能想到類似的實例嗎？

在日常教學(xué)中，當(dāng)一些典型的問題求解后，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生回頭看，除了看解題思路外，還要?dú)w納自己所想、所思、所惑，體會蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，感悟問題的本質(zhì)，以此逐步將知識內(nèi)化為能力. 對于問題（3），教師可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想“三角形內(nèi)角和的證明”. 三角形有無數(shù)個，對于這種“無限”的問題，首先要將其轉(zhuǎn)化為“有限”，由此確認(rèn)可以根據(jù)三角形的角進(jìn)行分類，即分類為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形. 不過對于不同形狀的三角形，其證明方法是相同的，所以證明時不需要逐一證明.

這樣通過反復(fù)感知、反復(fù)錘煉，可以幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟分類討論的內(nèi)涵，幫助學(xué)生積累豐富的分類經(jīng)驗，從而為分類討論的合理應(yīng)用保駕護(hù)航.

在內(nèi)化遷移中提升分類素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要提升分類能力，還要將其轉(zhuǎn)化為一種素養(yǎng)，這樣學(xué)生在解決分類問題時，才能敏銳地捕捉分類信息，科學(xué)制定分類標(biāo)準(zhǔn)，形成邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、層次分明的解題策略. 在具體教學(xué)中，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類討論方法解決問題，并讓學(xué)生在問題的解決中不斷探索、不斷反思，逐步將知識內(nèi)化為能力，升華為素養(yǎng).

例如，針對例3中所研究的內(nèi)容，教師不妨設(shè)計如下問題：在圓O中，AB是圓O的弦，C，D是圓O上的任意兩點(diǎn). 已知∠ABC=30°，∠ABD=45°，求∠COD的度數(shù).

題設(shè)中沒有明確C，D相對于AB弦的位置，若能捕捉到這一模糊信息，問題即可迎刃而解. 這樣借助情境，引導(dǎo)學(xué)生捕捉關(guān)鍵信息，既能提升學(xué)生的探究欲，又能加深學(xué)生對知識的理解，讓學(xué)生的分類素養(yǎng)在問題的解決中得以升華.

總之，學(xué)生分類素養(yǎng)不是一朝一夕養(yǎng)成的，需要在日常教學(xué)中不斷發(fā)展與完善. 在日常教學(xué)中，教師要創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生自己去提煉、去感悟、去積累，逐步鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).