摘要：在用實(shí)驗(yàn)研究自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律時(shí)，教師可以利用軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)不同函數(shù)的擬合與比較，根據(jù)擬合度并結(jié)合物理規(guī)律特點(diǎn)探尋物理量之間的定量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)真實(shí)探究。本文利用GeoGebra軟件對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多函數(shù)擬合，通過(guò)對(duì)比擬合度，結(jié)合物理規(guī)律，深入探究時(shí)間、位移、速度等物理量之間的精確定量關(guān)系。GeoGebra不僅簡(jiǎn)化了數(shù)據(jù)處理流程，還增強(qiáng)了實(shí)驗(yàn)探究的直觀性與科學(xué)性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的深入理解和真實(shí)探究。

關(guān)鍵詞：自由落體運(yùn)動(dòng)；真實(shí)探究；擬合比較

1問(wèn)題提出

“研究自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律”的實(shí)驗(yàn)是人教版高中物理教材必修第一冊(cè)第二章第4節(jié)“自由落體運(yùn)動(dòng)”的重點(diǎn)與難點(diǎn)。教材建議讓學(xué)生通過(guò)設(shè)計(jì)并實(shí)施實(shí)驗(yàn)，來(lái)探究自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，并根據(jù)v-t圖像是否呈現(xiàn)為一條傾斜的直線來(lái)判斷自由落體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。在實(shí)際教學(xué)中，教師通常依據(jù)教材圖2.4-2所示的自由落體運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)裝置［1］，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn)或獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。教師讓學(xué)生選取合適的紙帶上的計(jì)數(shù)點(diǎn)，進(jìn)行測(cè)量、記錄和數(shù)據(jù)處理，進(jìn)而繪制出v-t圖像，通過(guò)觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)是否共線來(lái)判斷自由落體運(yùn)動(dòng)是否為勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

為了節(jié)省課堂時(shí)間，教師可事先利用Excel軟件編制好表格（見(jiàn)表1），并在“相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間距”與“計(jì)數(shù)點(diǎn)瞬時(shí)速度”等列中設(shè)置相應(yīng)公式。隨后，將起始點(diǎn)到計(jì)數(shù)點(diǎn)的時(shí)間t和計(jì)數(shù)點(diǎn)的瞬時(shí)速度v等數(shù)據(jù)插入散點(diǎn)圖中。在課堂上，學(xué)生只需將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)錄入“與起始點(diǎn)的距離”列，即可自動(dòng)生成實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖（見(jiàn)圖1）。根據(jù)散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)分布情況，教師可引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：在誤差允許的范圍內(nèi)，做自由落體運(yùn)動(dòng)物體的v-t圖像數(shù)據(jù)點(diǎn)大致沿一條傾斜直線分布。這能夠幫助學(xué)生判斷自由落體運(yùn)動(dòng)是否為勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

為了使v-t圖像呈現(xiàn)為傾斜直線的結(jié)論更為直觀，學(xué)生可以選中數(shù)據(jù)點(diǎn)并添加擬合線，同時(shí)在擬合線選項(xiàng)中設(shè)置擬合函數(shù)為“線性”，從而得到與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)的v-t圖像（見(jiàn)圖2）。此外，學(xué)生還可以根據(jù)s-t圖像的形狀是否為拋物線，或s-t2圖像的形狀是否為傾斜直線，來(lái)進(jìn)一步判斷自由落體運(yùn)動(dòng)是否為勻加速直線運(yùn)動(dòng)。［2］

但是，如此直接用線性或其他函數(shù)進(jìn)行擬合，僅僅依靠肉眼對(duì)曲線、數(shù)據(jù)點(diǎn)符合程度的大致判斷，以確定物理量之間函數(shù)關(guān)系這種做法并不穩(wěn)妥。如果能借助合適的軟件，設(shè)計(jì)不同類型函數(shù)的擬合比較環(huán)節(jié)，并結(jié)合物理規(guī)律特點(diǎn)探尋自由落體運(yùn)動(dòng)速度的規(guī)律，則更能體現(xiàn)探究的真實(shí)性。

2擬合比較的軟件實(shí)現(xiàn)

2.1可決系數(shù)R2——擬合優(yōu)劣程度比較

擬合函數(shù)與自變量間的可決系數(shù)R2的值可以作為綜合度量回歸模型對(duì)樣本觀測(cè)值擬合優(yōu)度的度量指標(biāo)。［3］可決系數(shù)R2越接近1，說(shuō)明以該函數(shù)擬合數(shù)據(jù)效果越好。在Excel、GeoGebra等軟件中，學(xué)生可以通過(guò)比較可決系數(shù)來(lái)比較不同函數(shù)擬合的優(yōu)劣。

2.2用Excel軟件比較多種函數(shù)的擬合效果

設(shè)置擬合線格式時(shí)選擇不同函數(shù)，同時(shí)勾選“顯示R平方值（R2）”選項(xiàng)，可以在擬合線上方顯示可決系數(shù)R2值。根據(jù)表1中數(shù)據(jù)用七種常見(jiàn)函數(shù)擬合的R2值如表2所示。

2.3用GeoGebra軟件比較多種函數(shù)的擬合效果

將表1中數(shù)據(jù)導(dǎo)入GeoGebra的表格區(qū)，框選數(shù)據(jù)創(chuàng)建點(diǎn)列，以不同函數(shù)擬合并計(jì)算可決系數(shù)R2值，擬合結(jié)果如圖3所示。

與Excel相比，GeoGebra軟件可以通過(guò)按鈕控制圖像、變量的顯示與隱藏，更適用于課堂教學(xué)。

3加入擬合比較的教學(xué)片段重構(gòu)

3.1課前準(zhǔn)備

教師在GeoGebra表格區(qū)編制數(shù)據(jù)表，“與起始點(diǎn)的距離”列均輸入0，“相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間距”與“計(jì)數(shù)點(diǎn)瞬時(shí)速度”列輸入相應(yīng)公式，創(chuàng)建點(diǎn)列;用常見(jiàn)函數(shù)擬合并計(jì)算可決系數(shù)R2值，并設(shè)置擬合曲線與可決系數(shù)的“顯示/隱藏”按鈕;在課前隱藏各函數(shù)的擬合圖像，隱藏可決系數(shù)與除“擬合”外的其他按鈕。

3.2預(yù)設(shè)問(wèn)題鏈

教師安排學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)，選取學(xué)生實(shí)驗(yàn)中的典型數(shù)據(jù)錄入課前編制好的GeoGebro數(shù)據(jù)表中“與起始點(diǎn)的距離”列。根據(jù)學(xué)生已有認(rèn)知水平，教師以“如何根據(jù)物理量的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖探究函數(shù)關(guān)系”為主題，預(yù)設(shè)問(wèn)題鏈如下。［4］

問(wèn)題1：根據(jù)v-t散點(diǎn)圖，可推測(cè)自由落體運(yùn)動(dòng)的速度有什么規(guī)律？

問(wèn)題2：根據(jù)依次顯示出的各函數(shù)的擬合圖像，可推測(cè)自由落體運(yùn)動(dòng)中瞬時(shí)速度與時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系可能是哪種？

問(wèn)題3：根據(jù)剛剛介紹的可決系數(shù)概念與各擬合函數(shù)的可決系數(shù)R2值，從最優(yōu)擬合的角度看，瞬時(shí)速度與時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該是哪種？

問(wèn)題4：根據(jù)學(xué)習(xí)物理規(guī)律的體會(huì)，可推測(cè)自由落體運(yùn)動(dòng)中瞬時(shí)速度與時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系最有可能是什么？為什么？

3.3學(xué)生回答與教師引導(dǎo)

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于問(wèn)題1的回答普遍是“速度隨時(shí)間均勻增加”；但當(dāng)學(xué)生看到各種函數(shù)的擬合圖像后，回答問(wèn)題2時(shí)反而會(huì)覺(jué)得迷惑，不確定速度與時(shí)間滿足哪種函數(shù)關(guān)系。

此時(shí)學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生“擬合度比較”的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，教師應(yīng)順勢(shì)介紹可決系數(shù)概念并提出問(wèn)題3。有些學(xué)生認(rèn)為四次及以上多項(xiàng)式擬合最優(yōu)，最有可能，而此時(shí)教師稍做引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)四次及以上多項(xiàng)式后段為減函數(shù)，與事實(shí)不符。除四次及以上多項(xiàng)式外，擬合度從高到低依次是三次多項(xiàng)式、二次多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)。此時(shí)教師可以提醒學(xué)生，擬合度最佳的函數(shù)一定就是物理量間滿足的真實(shí)規(guī)律嗎？從剛才四次函數(shù)的例子中，學(xué)生已經(jīng)體會(huì)到除擬合度外，應(yīng)該還有其他因素需要考慮。此時(shí)，教師再提出問(wèn)題4，提示學(xué)生從“自然規(guī)律以簡(jiǎn)為美”角度思考。學(xué)生思考分析后猜測(cè)線性函數(shù)最有可能。隨后教師指出：經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)以及日后要學(xué)習(xí)的理論推導(dǎo)，自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與時(shí)間確實(shí)滿足線性函數(shù)關(guān)系。

4結(jié)束語(yǔ)

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》實(shí)施建議部分指出：要重視科學(xué)探究能力的培養(yǎng)和信息技術(shù)的應(yīng)用；在處理信息時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生依照物理事實(shí)運(yùn)用邏輯推理確立物理量之間的關(guān)系，發(fā)展依據(jù)證據(jù)、運(yùn)用邏輯和現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行科學(xué)論證和解釋的能力。［5］利用GeoGebra，在規(guī)律探究教學(xué)中增加不同類型函數(shù)的擬合比較環(huán)節(jié)，使學(xué)生能夠經(jīng)歷更為真實(shí)的探究過(guò)程，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

［1］人民教育出版社課程教材研究所物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書物理必修第一冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2019：48.

［2］鄭宇晴，馬文婧，張軼炳.基于現(xiàn)代信息技術(shù)的中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)改進(jìn)——以“探究自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律”為例［J］.物理教師，2018，39（7）：66-70.

［3］張志勇，張加紅.從入門到精通——十天“玩”轉(zhuǎn)GeoGebra［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2019：9-10.

［4］谷海躍，陳新華.促進(jìn)高中物理深度學(xué)習(xí)的“問(wèn)題鏈”策略研究——以“電表的改裝”教學(xué)為例［J］.物理教學(xué)，2020，42（11）：25-28，3.

［5］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：53-54.