橢圓最值問題常涉及線段、角度、參數(shù)、直線的斜率等.我們往往需靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想來輔助解題.本文將結(jié)合幾道典型例題，談一談解答橢圓最值問題的兩種途徑.

一、運(yùn)用基本不等式

基本不等式是解答最值問題的常用工具.在解答橢圓最值問題時(shí)，我們可以先根據(jù)題意建立變量之間的關(guān)系式；然后通過等量代換，將目標(biāo)式用某一個(gè)或兩個(gè)變量表示出來；再通過湊系數(shù)、添項(xiàng)、去項(xiàng)等方式配湊出兩式的和或積，只要確?！耙徽?、二定、三相等”的三個(gè)條件成立，就能根據(jù)基本不等式求得最值.

解：過點(diǎn)[C]作[CE⊥x]軸，垂足為[E]，則[ΔOBF]∽[ΔECF].

解答本題，需先根據(jù)題目中的幾何關(guān)系建立關(guān)系式，求得[|AC|]以及點(diǎn)[P]到直線[AC]的距離；然后根據(jù)三角形的面積公式求得[ΔAPC]與[ΔABC]的面積，進(jìn)而求得四邊形[APCB]面積的表達(dá)式；接著將含有變量的式子[x0+2y0]平方，根據(jù)基本不等式[a2+b2≥2ab]求得[x0+2y0]的最大值，即可求得四邊形[APCB]面積的最大值.

二、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在求解橢圓最值問題時(shí)，我們可以先根據(jù)橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程，用某個(gè)角去表示出橢圓的方程、直線的方程、橢圓上的點(diǎn)、直線上的點(diǎn)；然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等求得目標(biāo)式；再將目標(biāo)式視為三角函數(shù)式；接著通過三角恒等變換化簡函數(shù)式，便可直接根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得最值.

我們先根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)出M的坐標(biāo)，即可用角[θ]表示出[|BM|2]；然后將其化簡為關(guān)于[sinθ]的平方式，便可根據(jù)[sinθ]的取值范圍，直接利用正弦函數(shù)的有界性和二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

可見，解答橢圓最值問題，需先靈活運(yùn)用解析幾何知識(shí)求得目標(biāo)式；然后將目標(biāo)式視為函數(shù)式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，再利用基本不等式、三角函數(shù)的性質(zhì)來求得最值.