函數(shù)的性質主要有：單調性、奇偶性、對稱性和周期性.這些都是解題的重要依據(jù).下面主要談一談函數(shù)的單調性、奇偶性和周期性的應用技巧.

一、單調性

若函數(shù)[f（x）]的定義域為[A]，區(qū)間[D?A]，對任意的[x1、x2∈D]，當[x1>x2]時，有[fx1>f（x2）]，那么[f（x）]在區(qū)間[D]上單調遞增；如果對任意的[x1、x2∈D]，當[x1>x2]時，有[fx1<f（x2）]，那么[f（x）]在區(qū)間[D]上單調遞減.函數(shù)的單調性常用于比較兩個函數(shù)值的大小、證明不等式、求函數(shù)的最值.運用函數(shù)的單調性解題，往往需先根據(jù)函數(shù)單調性的定義判斷出函數(shù)的單調性；然后根據(jù)[x1、x2]的大小關系，判斷出[fx1與f（x2）]的大小關系，進而證明不等式，求得函數(shù)的最值.一般地，單調遞增的函數(shù)圖象自左至右是上升的，單調遞減的函數(shù)圖象自左至右是下降的.

例1.定義在R上的函數(shù)[f（x）]的圖象關于[y]軸對稱，且在區(qū)間[[0，2]]上單調遞減，試比較[f1]與[f（-2）]的大小.

解：因為函數(shù)[f（x）]的圖象關于[y]軸對稱，

所以[f（-2）=f（2）]，

因為[f（x）]在區(qū)間[[0，2]]上單調遞減，

所以[f1>f（2）]，所以[f1>f（-2）].

由題意可知，函數(shù)在區(qū)間[[0，2]]上單調遞減，且[1<2]，那么根據(jù)函數(shù)的單調性可知[f1>f（2）].值得注意的是，函數(shù)的單調性是針對函數(shù)定義域內的一個子區(qū)間而言的，我們只要知道某個子區(qū)間上函數(shù)的單調性，以及兩個自變量的大小關系，即可比較出兩個函數(shù)值的大小.

二、奇偶性

設函數(shù)[f（x）]的定義域為[A]，如果對任意的[x∈A]，[-x∈A]，有[f（x）=-f（-x）]，那么函數(shù)[f（x）]為奇函數(shù)；如果對任意的[x∈A]，[-x∈A]，有[f（x）=f（-x）]，那么函數(shù)[f（x）]為偶函數(shù).奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于[y]軸對稱.函數(shù)的奇偶性常用于求函數(shù)的解析式、求函數(shù)值、判斷函數(shù)的奇偶性.運用函數(shù)的奇偶性解題，需首先確保函數(shù)的定義域關于原點對稱；然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性建立[fx與f（-x）]之間的關系.

奇偶性.

解：由題意可知函數(shù)[f（x）]的定義域為R，關于原點對稱，

令[x>0]，則[fx=-x2+2x+1]，

可知[f-x=-x2+2-x-1]

[=--x2+2x+1=-f（x）]，

又[f0=0]，因此函數(shù)[f（x）]是奇函數(shù).

令[x=-x]，并將其代入當[x>0]時的函數(shù)式[fx=-x2+2x+1]中，通過恒等變換，即可判斷出[f（x）]=[ f-x]，進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷出函數(shù)[fx]的奇偶性.

三、周期性

設函數(shù)[f（x）]的定義域為[A]，如果存在一個正數(shù)[T]，使得對任意的[x∈A]，有[f（x）=f（x+T）]，那么稱[T]為函數(shù)[f（x）]的周期.函數(shù)的周期性常用于判斷函數(shù)的周期性、求函數(shù)的周期、求函數(shù)的值.運用函數(shù)的周期性解題，關鍵要根據(jù)函數(shù)周期性的定義找出相應的T，進而建立關系式[f（x）=f（x+T）].

例3.設函數(shù)[f（x）]滿足[fx+2=f（x）]，定義域為R.當[x∈[0，2）]時， [fx=2x-x2]，求[f0+f1+f2+f（3）]的值.

解：因為[fx+2=f（x）]，

所以[f（x）]是周期為2的函數(shù)，

當[x∈[0，2）]時， [fx=2x-x2]，

所以[f0=0， f1=1]，

則[f2=f0=0]， [f3=f1=1]，

因此[f0+f1+f2+f（3）=2].

由[fx+2=f（x）]即可判定函數(shù)[f（x）]的周期為2，那么根據(jù)函數(shù)的周期性，就可以得出[f2=f0]，[f3=f1]，進而求出[f2]和[f（3）]的值.

總之，函數(shù)的單調性、奇偶性和周期性在解題中應用廣泛.同學們需熟記其定義、應用技巧，將其靈活地應用于解題當中.對于一些較為復雜的函數(shù)問題，往往需綜合運用兩種或者兩種以上的函數(shù)性質，才能順利求得問題的答案.同學們在日常學習中要熟悉有關函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、對稱性的結論，這樣才能有效提升解題的效率.