直線與圓都是平面幾何中的基本圖形，也是解析幾何中研究的基本對(duì)象.直線與圓的位置關(guān)系有三種，即相離、相切、相交.本文主要談一談判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法：幾何法和代數(shù)法.

1.幾何法

2.代數(shù)法

運(yùn)用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系，需將直線與圓的方程聯(lián)立，消去x或y，構(gòu)造出一元二次方程，將問題轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)問題.判斷出判別式[Δ=b2-4ac]與0之間的關(guān)系，即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系.一般地，若[Δ>0]，則方程有2個(gè)解，直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與圓相交；若[Δ=0]，則方程有1個(gè)解，直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與圓相切；若[Δ<0]，則方程無解，直線與圓沒有交點(diǎn)，此時(shí)直線與圓相離.

下面舉例加以說明.

例1.判斷直線[l：3x+y-6=0]和圓[C：x2+y2-2y-4=0]的位置關(guān)系.

解法1：幾何法.

將圓的方程[x2+y2-2y-4=0]化為標(biāo)準(zhǔn)方程：[x2+（y-1）2=5]，

所以直線[l]與圓[C]相交.

解法2：代數(shù)法.

消去[y]得[x2-3x+2=0]，

則判別式[Δ=（-3）2-4×2×1=1>0]，

所以[x2-3x+2=0]有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以直線[l]與圓[C]有2個(gè)交點(diǎn)，即直線[l]與圓[C]相交.

用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，要將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，將直線的方程化為一般式；用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，要將圓的方程化為一般式，將直線的方程化為斜截式.

例2.若直線[l]過點(diǎn)[P（2，1）]，且與圓[O：x2+y2=1]相切，求直線[l]的方程.

解法1：幾何法.

設(shè)直線[l]的斜率為[k]，

則直線[l]的方程為[y-1=k（x-2）]，即[kx-y+1-2k=0].

因?yàn)橹本€[l]與圓相切，故圓心[（0，0）]到直線[l]的距離等于圓的半徑，

因此直線[l]的方程為[y=1]或[4x-3y-5=0].

解法2：代數(shù)法.

設(shè)直線[l]的斜率為[k]，則直線[l]的方程為[y-1=k（x-2）]，

消去[y]得[k2+1x2+2k-4k2x+4k2-4k=0]，

因?yàn)橹本€[l]與圓相切，故此方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)解，

因此直線[l]的方程為[y=1]或[4x-3y-5=0].

運(yùn)用幾何法解題，要明確并建立直線與圓的幾何關(guān)系.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑.運(yùn)用代數(shù)法解題，要明確方程的根的個(gè)數(shù)與三種位置關(guān)系：相交、相切、相離之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

總之，運(yùn)用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于將圓心到直線的距離與半徑相比較；運(yùn)用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于根據(jù)一元二次方程的根的判別式來判斷直線與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).