常見的立體幾何最值問題有求幾何體的體積、面積、周長、邊長的最值.這類問題對同學(xué)們的空間想象與邏輯推理能力的要求較高.本文主要介紹求解立體幾何最值問題的兩種路徑.

一、運(yùn)用向量法

有時，我們根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征很容易找到或作出三條互相垂直且交于一點(diǎn)的直線，可將其作為坐標(biāo)軸，構(gòu)造出空間直角坐標(biāo)系.再用向量表示出各點(diǎn)、線段、平面，即可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得目標(biāo)式；然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式來求目標(biāo)式的最值.

例1.如圖1所示，四棱錐[P-ABCD]的底面[ABCD]是一個正方形，若[PD⊥ABCD]，點(diǎn)[Q]在平面[PAD]與平面[PBC]的交線[l]上，[PD=AD=1]，求直線[PB]和平面[QCD]所成角的正弦值的最大值.

解：因?yàn)榈酌鎇ABCD]是正方形，[PD⊥ABCD]，所以[PD⊥AD，PD⊥CD]，[AD⊥CD]，以D為原點(diǎn)建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)[P0，0，1]，[B1，1，0]，[C0，1，0]，[D0，0，0].

由題意可知直線[l⊥]平

根據(jù)題目中的直線、平面之間的關(guān)系，我們很容易找到三條互相垂直的直線AD、PD、DC，便可將其視為坐標(biāo)軸來建立空間直角坐標(biāo)系.然后通過向量運(yùn)算求得直線[PB]的方向向量和平面[QCD]的法向量，即可根據(jù)夾角公式求得[sinθ]的表達(dá)式；再利用基本不等式求得[sinθ]的最大值.

二、將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何最值問題

在解答立體幾何最值問題時，我們通常可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化法，將幾何體平鋪展開為平面幾何圖形，將立體幾何最值問題轉(zhuǎn)化為平面幾何最值問題.還可以通過添加輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為求某個平面幾何圖形的面積、周長的最值，某條線段的最值，某個角的最值等.再利用正余弦定理、三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等平面幾何知識來求最值.這樣就可以將復(fù)雜的問題變得簡單、明了.

例2.如圖2，在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AA1=AB=2]，[D]在線段[A1C]上，[E]為線段[A1B]的中點(diǎn)，求[（AD+DE）2]的最小值.

將[ΔA1BC]翻折到[ΔA1AC]所在的平面上，即可將立體幾何最值問題轉(zhuǎn)化為平面幾何最值問題.再在平面[A1ACB]內(nèi)，根據(jù)點(diǎn)、線之間的位置關(guān)系，利用勾股定理、正余弦定理建立關(guān)系式；然后根據(jù)公理：三角形的兩邊之和大于第三邊來建立不等式，進(jìn)而求得[（AD+DE）2]的最小值.

總而言之，解答立體幾何最值問題，要根據(jù)幾何體的特征，添加合適的輔助線，以將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何最值問題，根據(jù)平面幾何知識找尋目標(biāo)式取得最值的情形，或構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量最值問題來求解.