數(shù)形結合法是解答高中數(shù)學問題的重要方法.在解答代數(shù)問題時，運用數(shù)形結合法將圖形與代數(shù)式進行結合、轉化，可使復雜、抽象的問題變得簡單、具體，這樣不僅能降低解題的難度，還能提升解題的效率.本文結合實例，談一談如何運用數(shù)形結合法解答代數(shù)問題.

一、集合問題

集合是高中數(shù)學中的重要知識.集合問題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，這類題目的難度一般不大.在解答集合問題時，通常要運用數(shù)形結合法，將“數(shù)”化“形”，借助Veen圖、數(shù)軸、圖象等把各個集合表示出來，我們就能通過觀察圖形，找出各個集合之間的關系，如相交、相離等，進而通過取交集、并集、補集等，求得問題的答案.

所以[x2+y2=3cosθ2+3sinθ2=9（0<y≤3）]，

所以[M]表示在[x]軸上方，且以[（0，0）]為圓心、[3]為半徑的圓上的點的集合，

而集合[N=（x，y）|y=x+b]表示斜率[k=1]、縱截距為[b]的直線上的點的集合，如圖1所示.

由圖1可知，要使集合[M]、[N]存在交集，需使直線[y=x+b]與半圓有公共點.

當[-3<b≤0]時，直線與半圓始終有交點，

我們先根據(jù)集合[M、N]的特征，將[M、N]中的點視為半圓與直線上的點，并畫出圖形；然后移動直線，找到直線與半圓有交點的情形，進而根據(jù)點到直線的距離公式以及b的幾何意義：直線上的縱截距，來求得b的取值范圍.

二、零點問題

常見的零點問題有求零點的個數(shù)、取值范圍等.在解答這類問題時，我們可以運用數(shù)形結合法，根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，找出函數(shù)圖象與x軸的交點及其個數(shù)、位置，據(jù)此建立關系式，即可順利解題.

例2.設函數(shù)[f（x）]為定義域在[R]上的奇函數(shù)， [f（2-x）+f（x）=0]，當[x∈（0，1]]時，[f（x）=-log2x]，若函數(shù)[F（x）=f（x）-sin（πx）]在區(qū)間[[-1，m]]上有[10]個零點，則[m]的取值范圍是（ ）.

[A.[3.5，4）] [B.（3.5，4]]

[C.（5，5.5]] [D.[5，5.5）]

解：由[f（2-x）+f（x）=0]可得[f（x）=-f（2-x）=f（x-2）]，

即函數(shù)[f（x）]是以周期為[2]的奇函數(shù)，

因為當[x∈（0，1]]時， [f（x）=-log2x]，

所以[F（x）=f（x）-sin（πx）]的零點是[f（x）]與[g（x）]的交點，

畫出[f（x）]與[g（x）]在[[-1，1）]區(qū)間上的圖象，如圖2所示.

[（4，0）]，所以[3.5≤m<4]，故正確答案為[B].

我們設出函數(shù)[g（x）=sin（πx）]，并畫出函數(shù)[f（x）]、[g（x）]的圖象，即可將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)[f（x）]、[g（x）]圖象的交點問題.研究2個函數(shù)的解析式可知2個函數(shù)的周期均為2，那么只要求得2個函數(shù)在1個周期[[-1，1）]內的交點個數(shù)，便可以根據(jù)函數(shù)的周期性畫出2個函數(shù)在3個周期內的圖象，進而結合圖象找到滿足條件的參數(shù)[m]的取值范圍.

三、不等式問題

常見的不等式問題有：證明不等式成立、求恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍、比較代數(shù)式的大小等.運用數(shù)形結合法求解不等式問題，要先將不等式進行適當?shù)淖冃?，使其左右兩側的式子?、曲線的方程、直線的方程、函數(shù)的解析式等；然后畫出幾何圖形，研究圖形中的點、直線、曲線、函數(shù)圖象之間的位置關系，從而找到使不等式成立的情形.

[A.x2>x4>x3>x1] [B.x2>x4>x1>x3]

[C.x4>x2>x3>x1] [D.x4>x2>x1>x3]

由圖4可知，則[x2>x4>x3>x1]，故正確答案為[A.]

四、最值問題

最值問題常與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、向量等知識相結合，這類問題具有較強的綜合性.在解題時，我們通?？梢詫⒛繕耸揭暈殛P于某個變量的函數(shù)式，把問題轉化為函數(shù)最值問題.再討論函數(shù)的單調性，據(jù)此畫出函數(shù)的圖象，找出函數(shù)圖象的最低點、最高點，并求得其值，即可求得最值.

解答本題，需先根據(jù)題意求得a的值；然后根據(jù)兩角和差公式、輔助角公式、二倍角公式將三角函數(shù)式化為正弦函數(shù)式；再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和單調性畫出函數(shù)的圖象，即可根據(jù)函數(shù)的圖象快速確定函數(shù)的最大值、最小值.

綜上所述，數(shù)形結合法在解答代數(shù)問題中應用廣泛，尤其是在解答集合問題、零點問題、不等式問題、最值問題時，靈活運用數(shù)形結合法，可以使問題變得簡單、直觀，從而大大降低解題的難度.在解題時，同學們要注意：（1）深入挖掘代數(shù)式的幾何意義；（2）將代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，使其為曲線的方程、直線的方程、函數(shù)的解析式等；（3）根據(jù)解題需求畫出大致或者精確的圖形；（4）靈活運用轉化思想，將問題進行等價轉化.