“測量不規(guī)則物體的體積”是小學(xué)數(shù)學(xué)必學(xué)的課程內(nèi)容，目的是在學(xué)生學(xué)習(xí)常見的立體圖形體積計(jì)算公式之后，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用測量與體積有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，通過測量生活中不規(guī)則物體的體積問題，進(jìn)一步深化學(xué)生對相關(guān)概念、公式、方法的理解，發(fā)展學(xué)生的量感、空間觀念、推理能力和創(chuàng)新意識。關(guān)于這部分內(nèi)容，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材基本都是引導(dǎo)學(xué)生測量“能沉入水底的不規(guī)則物體”，基本不涉及“漂浮水面的不規(guī)則物體”。即使有學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，提出“遇到漂浮的不規(guī)則物體怎么辦”及“如何減少測量誤差”時(shí)，教師思考得也不夠全面，導(dǎo)致本應(yīng)生動有趣的數(shù)學(xué)課程地位弱化、探究虛化。

一、厘清方法

依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中對測量不規(guī)則物體的體積要求，作為學(xué)習(xí)活動的設(shè)計(jì)者、組織者和評價(jià)者，教師需要細(xì)化不規(guī)則物體的種類，尋找相應(yīng)的測量方法，以便高質(zhì)量地指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。

1.塑形法——測量“橡皮泥”等易變形物體的體積

塑形法測體積，是最簡單的一種測量體積的方法。像超輕黏土、柔軟蠟塊、柔軟奶糖等易塑形的不規(guī)則物體，可以將它們捏成規(guī)則的長方體或正方體，然后再測量出棱長，計(jì)算出的體積就是原不規(guī)則物體的體積。

2.排水法——測量“小石塊”等能沉水底物體的體積

這種測量體積的方法，是基于“2011年版”課標(biāo)編寫的各版本數(shù)學(xué)教材中的常用方法。像土豆、西紅柿、紅薯、砝碼等密度大于水、能夠完全沉入水底的不規(guī)則物體都適用這種方法。利用量杯，把物體沉入水底，計(jì)算出上升的水的體積就是該不規(guī)則物體的體積。當(dāng)然，實(shí)際教學(xué)中，若有學(xué)生提出使用溢水、降水等排水方法，教師也應(yīng)及時(shí)鼓勵(lì)認(rèn)同。

3.針壓法——測量“小橘子”等漂浮在水面物體的體積

針壓法是測量漂浮在水面上、不吸水的不規(guī)則物體體積的常用方法之一。利用細(xì)針、鐵絲、小細(xì)棒等細(xì)小物體的尖部，將漂浮物體壓住，使之完全浸沒在水中，然后通過測算上升水的體積，從而求出該物體的體積。針壓法中測量誤差的大小，取決于使用的細(xì)針、鐵絲等的粗細(xì)程度和入水深淺。

對于“小橘子”“塑料”等漂浮在水面的不規(guī)則物體，還可以使用“負(fù)重法”測量，即在該物體下面用塑料繩或細(xì)鐵絲捆綁上較重的小石塊或砝碼等，使之能夠完全沉入水底，然后利用“排水法”測量總體積，再測出負(fù)重物體在干燥情況下的體積，最后用總體積減去負(fù)重物的體積，即可求出該漂浮物體的體積。

針壓法和負(fù)重法的測量原理，都是設(shè)法讓漂浮在水面的物體完全浸入水中，然后再利用排水法求出體積。

值得一提的是，純凈的水在透明量杯里的高度如果不太方便讀取，還可以滴入幾滴紅色墨水或者碘伏，這樣讀取時(shí)就會更加方便。

4.排沙法——測量“乒乓球”等不便針壓負(fù)重物體的體積

排沙法和排水法，均為排液原理?？紤]到乒乓球的形體特殊，針壓、負(fù)重都不是很方便，可以使用量筒、細(xì)沙（或細(xì)鹽、砂糖）等測量工具測量。把乒乓球完全埋沒于細(xì)沙（或細(xì)鹽、砂糖）之中，上升的細(xì)沙（或細(xì)鹽、砂糖）體積也就是乒乓球的體積。

5.包膜法——測量“磚塊”等易吸水融水物體的體積

磚塊、粉筆、紙張等都是易吸水物體，吸水后自身體積膨脹直至物體溶解；冰糖、明礬等也都是易融水物體，融水后體積會變小乃至變成完全溶于水中。測量這類不規(guī)則物體的體積，建議可用包膜法，利用錫紙或保鮮袋等緊緊包裹住物體，然后再用排水法或者“針壓法”測量體積。

6.累加法——測量“回形針”等較小物體的體積

對于訂書釘、紐扣、黃豆等不規(guī)則物體，由于它們的體積較小，直接使用以上測量方法單個(gè)測量不易讀取數(shù)據(jù)，這時(shí)可使用累加法測量。如取出200枚回形針完全浸沒于量筒內(nèi)的水中，采用排水法先求出200枚回形針的總體積，進(jìn)而計(jì)算出1枚回形針的體積。

世界萬物，豐富多彩。日常生活中，有的不規(guī)則物體運(yùn)用以上測量方法可以求出體積，有的卻很難，如體型龐大的石雕、樹冠，或者屬性特殊的海綿、頭發(fā)等不規(guī)則物體，在小學(xué)階段可以鼓勵(lì)學(xué)生采用其他測量方法或者使用高科技儀器進(jìn)行個(gè)性化的估測或精測，但沒有必要做普遍要求。

二、思考落實(shí)

“測量不規(guī)則物體的體積”是學(xué)習(xí)“長方體和正方體”等立體圖形體積之后的拓展和延伸，具有鮮明的綜合性、實(shí)踐性、創(chuàng)生性特點(diǎn)?；凇读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的精神指引，日常教學(xué)中需要落實(shí)以下三個(gè)要求。

1.內(nèi)容的綜合性

本節(jié)內(nèi)容的綜合性主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境和學(xué)習(xí)支架，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的知識，比如體積的意義、單位、計(jì)算公式以及等積變形方法、轉(zhuǎn)化思想等既有的知識經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合待測量物體的特點(diǎn)進(jìn)行測量；二是教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科之外的生活經(jīng)驗(yàn)或其他學(xué)科知識，讓測量活動更加科學(xué)合理。比如在使用排沙法時(shí)，如果居家就地取材選用細(xì)鹽或細(xì)糖作為實(shí)驗(yàn)材料，教師要提醒學(xué)生盡量使用小勺工具把乒乓球完全埋沒于細(xì)鹽或細(xì)糖中，如果直接上手的話，應(yīng)思考手掌的溫度會不會引起細(xì)鹽或細(xì)糖的融化，進(jìn)而把測量誤差變得更大。在采用包膜法時(shí)，也需要提醒學(xué)生考慮：水溫會不會對物體的熱脹冷縮產(chǎn)生影響等。

2.形式的實(shí)踐性

史寧中教授說：“在當(dāng)前世界中，很多東西都不可能傳遞，必須依賴于個(gè)體的親身經(jīng)歷?！北竟?jié)內(nèi)容，若想讓學(xué)生感悟和總結(jié)測量不規(guī)則物體的基本策略和思想，必須組織學(xué)生親力親為，動手操作?？梢圆捎脭?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式進(jìn)行研究，教師要提供豐富的、可供學(xué)生選擇的實(shí)驗(yàn)材料，圍繞明確的實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，組織學(xué)生制定實(shí)驗(yàn)方案，讓學(xué)生在主動學(xué)習(xí)的過程中親歷具體的實(shí)驗(yàn)過程，獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)論；也可以采用項(xiàng)目學(xué)習(xí)的形式組織學(xué)生研究。波利亞說：“對于任何一個(gè)個(gè)體而言，學(xué)習(xí)最有效的途徑就是由自己去發(fā)現(xiàn)?！睂W(xué)生在真實(shí)的場景下，自己提出問題，并和同伴一起研究怎樣解決這個(gè)問題，通過觀察、猜想、驗(yàn)證、結(jié)論、展示等研究過程，學(xué)生不但可以發(fā)現(xiàn)“如何測量不規(guī)則物體的體積”，而且還能提高綜合素養(yǎng)和綜合能力。

3.思維的創(chuàng)生性

弗賴登塔爾說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造’，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生?！北竟?jié)內(nèi)容貼近生活，不但有利于學(xué)生“再創(chuàng)造”以上各種常規(guī)測量的方法和思想，而且在高質(zhì)量的“引導(dǎo)和幫助”下，學(xué)生一定還會出現(xiàn)其他創(chuàng)意和想法，比如把土豆用榨汁機(jī)榨成液體再測量體積，合不合理呢？可不可以把超輕黏土平鋪在一個(gè)長方體盒子底部，塑形測算呢？學(xué)生的奇思妙想，永遠(yuǎn)都會在能夠催生創(chuàng)生思想的土壤和空氣里綻放。教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)寬松愉悅的研究氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生不給自己設(shè)限，積極挑戰(zhàn)不同的待測物體，針對不同的精度要求、不同的工具條件下的測量任務(wù)，運(yùn)用自己專業(yè)的知識儲備，引導(dǎo)他們獻(xiàn)計(jì)獻(xiàn)策、層層遞進(jìn)，不斷迭代，不斷創(chuàng)生。

一線教師對單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的誤解

劉曉婷

誤解1：認(rèn)為單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)就是要對教材進(jìn)行整合重組，甚至重構(gòu)

一線教師在進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)伊始，常思考的第一個(gè)問題就是“要不要對教材進(jìn)行整合重組”。例如北師大版教材六年級下冊第二單元為“比例”，包括“比例的認(rèn)識”“比例的應(yīng)用”“比例尺”“圖形的放大和縮小”等內(nèi)容。第四單元為“正比例與反比例”之后的“數(shù)學(xué)好玩”中還有“繪制校園平面圖”。進(jìn)行第二單元（以下簡稱“比例”單元）整體教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師往往會提出“是否要把這些內(nèi)容整合在一個(gè)單元教學(xué)？是否要調(diào)整教材的順序？等問題，還會提到“教材中的情境大家都用，得換一下情境，重新設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)”。實(shí)際上，“單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)”并不意味著把所有相關(guān)內(nèi)容都整合到一起，或者隨意變換教材的順序、替換教材的情境和學(xué)習(xí)任務(wù)，而是要抓住該單元的核心內(nèi)容（核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)），在深度分析教材后整體設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)。對于相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，要理解它們之間的聯(lián)系，明晰它們的不同，做到在不同的階段教這些相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容時(shí)，都能引領(lǐng)學(xué)生邁上更高的階梯。例如，整體設(shè)計(jì)“比例”單元教學(xué)時(shí)，教師需要思考，本單元的核心內(nèi)容是什么？各課時(shí)教材內(nèi)容是如何體現(xiàn)核心內(nèi)容（素養(yǎng)）的？“比例”和“比”“正反比例”之間有什么聯(lián)系？等等。教師要深入分析單元的每個(gè)課時(shí)，用聯(lián)系和發(fā)展的眼光審視單元內(nèi)容，在教學(xué)時(shí)做好單元內(nèi)容的內(nèi)外鋪墊和承接。整合重組一定要在充分研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

誤解2：制訂單元目標(biāo)一定要寫上核心素養(yǎng)表現(xiàn)，以為這樣就是指向核心素養(yǎng)

教師在單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)開始時(shí)，為體現(xiàn)教學(xué)以學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展為落腳點(diǎn)，會有意識地把素養(yǎng)指向的教學(xué)目標(biāo)羅列出來。例如，在“比例”單元，有“比例的應(yīng)用”“比例尺”“圖形的放大和縮小’等內(nèi)容，教師在制訂單元教學(xué)目標(biāo)和課時(shí)目標(biāo)時(shí)就會加上“發(fā)展應(yīng)用意識”“培養(yǎng)空間觀念”等。但對于“應(yīng)用意識”在本單元中如何體現(xiàn)，“空間觀念”在“比例尺”“圖形放大和縮小”等不同課中如何體現(xiàn)的認(rèn)識還不清晰。這些不具體、表現(xiàn)模糊的單元教學(xué)目標(biāo)，又如何在實(shí)際教學(xué)中得到落實(shí)呢？僅僅在目標(biāo)中綴上一個(gè)詞，又有何作用呢？

誤解3：進(jìn)行單元學(xué)習(xí)評價(jià)就要設(shè)計(jì)大任務(wù)，并設(shè)計(jì)評價(jià)量表

教師常以“任務(wù)+量表”的方式呈現(xiàn)對學(xué)習(xí)評價(jià)的設(shè)計(jì)。例如，在“比例”單元，教師會在單元教學(xué)結(jié)束后設(shè)計(jì)任務(wù)：“請你用思維導(dǎo)圖梳理比例單元以及和它相關(guān)的內(nèi)容，并嘗試寫出內(nèi)容之間的聯(lián)系”，也會從“準(zhǔn)確”“全面”“建立聯(lián)系”等維度給出量表來評析學(xué)生的表現(xiàn)，但這些任務(wù)更多指向的是學(xué)習(xí)的結(jié)果而不是過程。還有的教師會設(shè)計(jì)教學(xué)過程中的任務(wù)及量表，但這些任務(wù)又有些隨意，未能緊扣本單元最關(guān)鍵的目標(biāo)。單元教學(xué)應(yīng)圍繞教學(xué)目標(biāo)有邏輯、有條理地展開，教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成，中間出了哪些問題，是否需要做出調(diào)整等，都需要在教學(xué)實(shí)施的過程中進(jìn)行評價(jià)。單元教學(xué)評價(jià)只有圍繞目標(biāo)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，才能更好地發(fā)揮監(jiān)控教與學(xué)過程的效果。