2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第11題是一道曲線與方程問題，

試題是這樣的：造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.

已知C過坐標(biāo)原點O.且C上的點滿足橫坐標(biāo)大于-2，到點F（2，0）的距離與到定直線x=a（a<0）的距離之積為4，則（ ）

A.a=-2

B.點（22，0）在C上.

C.C在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1.

D.當(dāng)點（x0，y0）在C上時，y0≤4x0+2.

這是一道多選題，我們先看看他的求解：對于A，設(shè)曲線上的動點P（x，y），則x>-2且（x-2）2+y2×|x-a|=4，因為曲線過坐標(biāo)原點，故（0-2）2+02×|0-a|=4，解得a=-2，故A正確.對于B，又曲線方程為（x-2）2+y2×|x+2|=4，而x>-2，故（x-2）2+y2×（x+2）=4.當(dāng)x=22，y=0時，（22-2）2×（22+2）=8-4=4，故（22，0）在曲線上，故B正確.對于C，由曲線的方程可得y2=16（x+2）2-（x-2）2，取x=32，則y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此時y2>1，故C在第一象限內(nèi)點的縱坐標(biāo)的最大值大于1，故C錯誤.對于D，當(dāng)點（x0，y0）在曲線上時，由C的分析可得y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正確.

于是正確答案：ABD.

對于曲線與方程，我們只是熟悉基礎(chǔ)知識與基本概念，真正涉及到的具體內(nèi)容是：直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線，都是一些規(guī)范曲線及規(guī)范方程.通過方程探討曲線或借助曲線來分析方程，一般情況下也僅限以上幾種形式，高考這種設(shè)計顯然是開辟了曲線與方程命題的新思路，對這一知識點來說在命題上開了新篇章，曲線不一定是規(guī)范曲線，方程也不一定是規(guī)范方程，顯然，難度加大了很多.那么，這一知識塊從以后的高考復(fù)習(xí)角度我們該如何應(yīng)對呢？下面我們談一下常規(guī)的三種處理模式.

一、畫曲線，通過曲線產(chǎn)生結(jié)論

例1（多選題）已知曲線E：x|x|4+y|y|8=1，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.y隨著x增大而減小

B.曲線E的橫坐標(biāo)取值范圍為［-2，2］

C.曲線E與直線y=-1.4x相交，且交點在第二象限

D.M（x0，y0）是曲線E上任意一點，則|2x0+y0|的取值范圍為（0，4］

解析（1）由題設(shè)得：當(dāng)x≥0，y≥0時，曲線E：x24+y28=1，曲線為焦點在y軸的橢圓在第一象限的部分，

當(dāng)x≥0，y<0時，曲線E：x24-y28=1，曲線為焦點在x軸的雙曲線在第四象限的部分，

當(dāng)x<0，y<0時，曲線E：-x24-y28=1，不成立，

當(dāng)x<0，y≥0時，曲線E：-x24+y28=1，曲線為焦點在y軸的雙曲線在第二象限的部分，其圖像如下頁圖所示：

對于AB，由圖像及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)可得y隨著x增大而減小，曲線E的橫坐標(biāo)取值范圍為R，故A正確，B錯誤；

對于C，由于y=-2x是雙曲線x24-y28=1（x≥0，y<0）和y28-x24=1（x<0，y≥0）的漸近線，又因為-2<-1.4，所以直線y=-1.4x與x24-y28=1（x≥0，y<0）相交，交點在第四象限，直線y=-1.4x與x24+y28=1（x≥0，y≥0），y28-x24=1（x<0，y≥0）均無交點，故C錯誤；

對于D，曲線E上的點M（x0，y0），到直線2x+y=0距離為d=|2x0+y0|2+1，

所以|2x0+y0|的幾何意義為點M到直線2x+y=0距離的3倍，因為直線2x+y=0為雙曲線x24-y28=1（x≥0，y<0）和y28-x24=1（x<0，y≥0）的漸近線，所以d>0，設(shè)直線l：2x+y+c=0（c<0）與x24+y28=1（x≥0，y≥0）相切，聯(lián)立方程2x+y+c=0，2x2+y2=8，消去y，得4x2+22cy+c2-8=0，則Δ=8c2-16（c2-8）=0，解得c=-4，所以直線l：2x+y-4=0，則dmax=|-4-0|2+1=43，即0<d≤43，則0<3d≤4，即0<|2x0+y0|≤4，故D正確.故選：AD.

例2（多選題）已知曲線E上的點P（x，y）滿足方程x|x-1|+y|y-1|=0，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A.x∈-1，2時，曲線E長度為22+2π2

B.x∈-1，2時，y-1x+2最大值為1，最小值為-12

C.曲線E與x軸、y軸所圍成的封閉圖形的面積和為π4-12

D.若平行于x軸的直線與曲線E交于A，B，C三個不同的點，其橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（2，32+22）

解析對于方程x|x-1|+y|y-1|=0，

①當(dāng)x≤1，y≤1時，方程變?yōu)閤-x2+y-y2=0，即（x-12）2+（y-12）2=12，所以點P在圓（x-12）2+（y-12）2=12（x≤1，y≤1）上；

②當(dāng)x>1，y<1時，x2-x+y-y2=0，即（x-12）2=（y-12）2，即|x-12|=|y-12|，當(dāng)12<y<1時，

x-12=y-12，解得x=y，不成立，故舍去；當(dāng)y≤12時，x-12=12-y，即x+y-1=0；③當(dāng)x>1，y>1時，x2-x+y2-y=0，即（x-12）2+（y-12）2=12，該圓不在x>1，y>1范圍

內(nèi)，故舍去；

④當(dāng)x<1，y>1時，x-x2+y2-y=0，即（x-12）2=（y-12）2，即|x-12|=|y-12|，當(dāng)12<x<1時，則x=y，不成立，故舍去；當(dāng)x≤12時，12-x=y-12，即x+y-1=0.

作出曲線E的圖像如下頁圖所示，

對于A，當(dāng)x∈［-1，2］時，曲線E由兩條線段MN，PQ和一

段半圓弧NP組成，所以長度為2+π·22+2=22+22π，故選項A正確；

對于B，令k=y-1x+2，即曲線E（x∈-1，2）上的點到（-2，1）的直線的斜率，所以最大值為（-2，1）與點M（-1，2）的斜率為1，最小值在直線與圓弧相切時取得，而當(dāng)k=-12時即過原點的直線，該直線為y=-12x，圓心（12，12）到該直線的距離為d=12+141+14=3510≠22，所以最小值不是-12，選項B錯誤；

對于C，該封閉圖形為兩個扇形，S=2×［14·π·（22）2-12×1×12］=π4-12，故選項C正確；

對于D，如圖所示，A，B為直線與圓弧的交點，設(shè)直線為y=m，則m∈（12-22，0），因為A，B關(guān)于直線x=12對稱，所以x1+x2=1，點C為y=m與x+y-1=0的交點，故x3=1-m∈（1，12+22），所以x1+x2+x3的取值范圍是（2，32+22），故選項D正確．

故選：ACD.

點評對于上述兩題，我們都是先畫出曲線的基本圖像，通過曲線的圖像性質(zhì)，再結(jié)合選項進(jìn)行分析、推理、計算，最終產(chǎn)生結(jié)論.難度所在是分析曲線的基本形狀，當(dāng)形狀確定之后，再看選項的具體要求，兩者結(jié)合即可.

二、用方程，結(jié)合方程的根產(chǎn)生結(jié)論

例3（多選題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程可表示為x2+y2+ay=ax2+y2，a>0，圖形如圖所示．當(dāng)a=1時，點P1（x1，y1），P2（x2，y2）在這條心形線C上，且x1x2≠0，則下列說法正確的是（ ）

A.若OP1∥OP2，則

|P1P2|=2

B.若OP1∥OP2，則

|OP1|·|OP2|=1

C.|OP1|+|OP2|<4

D.C上有4個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

解析依題意，心形線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2+y=x2+y2，

過原點O（0，0），由OP1∥OP2，可知O，P1，P2三點共線，可設(shè)直線P1P2：y=tx，由x2+y2+y=x2+y2，y=tx，消去y，得：（1+t2）x2-1+t2|x|+tx=0.不妨設(shè)x1>0，x2<0，

則x1=1+t2-t1+t2，x2=-1+t2-t1+t2.∴|P1P2|=1+t2·|x1-x2|=1+t2.21+t21+t2=2，故A正確；

由|OP1|·|OP2|=1+t2·1+t2-t1+t2.1+t2·-1+t2-t1+t2=11+t2，當(dāng)t≠0時，|OP1|·|OP2|≠1，故B錯誤；

設(shè)點P（x，y）在心形線C上（異于原點），∠POx=α，角α以x軸非負(fù)半軸為起始邊，則心形線C的方程轉(zhuǎn)化為：|OP|2+|OP|sinα=|OP|，即|OP|·（|OP|+sinα-1）=0，∴|OP|=1-sinα≤2，又x1x2≠0，∴|OP1|+|OP2|<4，故C正確；

由|OP|=x2+y2≤2，可知：-2≤y≤2.令t=x2+y2（t≥0），則心形線C的方程可化為：t2-t+y=0，Δ=1-4y≥0，∴-2≤y≤14，當(dāng)y=0，t2-t=0，∴t=0或t=1，進(jìn)而可得x=±1或0，當(dāng)y=-1時，方程無整數(shù)解；當(dāng)y=-2時，t2-t-2=0，∴t=2，故：x=0，∴C上有4個整點（-1，0），（1，0），（0，0），（0，-2），故D正確.

故選：ACD.

點評本題建立在處理方程組與方程的基礎(chǔ)上，通過分析與利用方程的根、根與系數(shù)的關(guān)系使問題獲解，四個選項也基本上都是圍繞著方程根的情況進(jìn)行設(shè)計.

例4（多選題）數(shù)學(xué)中的很多符號具有簡潔、對稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計作品的主要幾何元素.如我們熟悉的

SymboleB@ 符號，我們把形狀類似

SymboleB@ 的曲線稱為“∞曲線”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點A（-a，0），B（a，0）距離之積等于a2（a>0）的點的軌跡C是“∞曲線”.若點P（x0，y0）是軌跡C上一點，則下列說法中正確的有（ ）

A.曲線C關(guān)于原點O中心對稱

B.x0的取值范圍是-a，a

C.曲線C上有且僅有一個點P滿足|PA|=|PB|

D.PO2-a2的最大值為2a2

解析設(shè)M（x，y）是曲線C上任意一點，則|MA|·|MB|=a2（常數(shù)a>0）），

∴（x+a）2+y2·（x-a）2+y2=a2，化簡得曲線C即“∞曲線”的方程為［（x+a）2+y2］·［（x-a）2+y2］=a4，

對于A，∵以-x換x，同時以-y換y，方程不變，∴曲線C關(guān)于原點O中心對稱，故A正確；

對于B，若點P（x0，y0）是軌跡C上一點，則［（x0+a）2+y02］·［（x0-a）2+y02］=a4，所以x04+a4-2x02a2+y02（x02+a2）+y04=a4，即（x02+a2）2+y02（x02+a2）+y04-4x02a2=a4，所以（x20+y20+a2）2-4a2x20=a4，則x20+y20=a4+4a2x20-a2，由y20=a4+4a2x20-a2-x20≥0，得x0∈-2a，2a，故B錯誤；

對于C，設(shè)點P（x0，y0）是軌跡C上一點，且滿足|PA|=|PB|，則P在線段AB的垂直平分線上，

∴x0=0，這時（0-a）2+y20（0+a）2+y20=a4，即（a2+y20）2=a4，∴y0=0.這說明“∞曲線”上有且僅有點P（0，0）滿足條件|PA|=|PB|，故C正確；

對于D，∵x20+y20=a4+4a2x20-a2，且x0∈-2a，2a.于是，|PO|2-a2=x20+y20-a2=a4+4a2x20-2a2≤a2，當(dāng)且僅當(dāng)x0=±2a時，取“=”，故D錯誤．

故選AC.

點評本題的求解關(guān)鍵在于對方程的合理、巧妙變形與轉(zhuǎn)化，再結(jié)合代數(shù)式的恒等變形，選項B與C的排除與肯定都是這樣做到的.選項D經(jīng)轉(zhuǎn)化后，實際上變成了函數(shù)的值域問題.

三、方程與曲線交相輝映

例5（多選題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C1：|y|=a-|x|（a>0），曲線C2：|x|+|y|-|xy|=1.下列說法正確的是（ ）

A.曲線C1圍成的圖形為正方形

B.曲線C2表示的是四條直線

C.曲線C1與C2恒有公共點

D.若曲線C1與曲線C2的交點恰好構(gòu)成平面上正八邊形的頂點，則實數(shù)a的值為2或2+2

解析由對稱性，C1的圖形關(guān)于原點中心對稱，關(guān)于x軸和y軸軸對稱.

從而，要畫出C1的圖形只需先畫第一象限的圖形，再關(guān)于x軸，y軸，原點作對稱即可.

于是，可得C1的圖形為：

對于C2，由于|x|+|y|-|x|·|y|=1（|x|-1）·（|y|-1）=0|x|=1或|y|=1.

于是，可以畫出C2的圖形為：

對于選項A，由圖知，正確；對于選項B，由圖知，正確；

對于選項C，當(dāng)a≥1時曲線C1與C2有公共點，當(dāng)a<1時，C1與C2無公共點，錯誤；

對于選項D，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩曲線的圖形，

如圖一，可知（a-2）2+（a-2）2=2，且a>2，從而a=2+2；

如圖二，可知（a-2）2+（a-2）2=2（a-1），且0<a<2，從而a=2，故D正確.

故選ABD.

點評本題從方程到曲線，再從曲線看方程的根，兩者密切結(jié)合，轉(zhuǎn)化靈活但很自然，選項D有難度，稍有不慎，只得其中一種情況，而漏掉另一種情況.

例6（多選題）已知點P（m，n）為曲線C：1x2+4y2=1上任意一點（點O為坐標(biāo)原點），則（ ）

A.曲線C的圖像關(guān)于原點對稱

B.m≥1或m≤-1

C.OP的最小值為3

D.曲線C與曲線D：2|x|-|y|=0有4個交點，且這4點構(gòu)成矩形

解析對于選項A，假設(shè)點（a，b）在曲線上，則1a2+4b2=1，點（-a，-b）也滿足1（-a）2+4（-b）2=1，即任意點（a，b）在曲線上，它關(guān)于原點的對稱點（-a，-b）也在曲線上，所以曲線C關(guān)于原點對稱，故A正確；

對于選項B，由題可知1x2=1-4y2∈（0，1），解得x∈{x|x<-1或x>1}，所以m<-1或m>1，故B錯誤；

對于選項C，由1m2+4n2=1，則|OP|=m2+n2=（m2+n2）（1m2+4n2）=5+n2m2+4m2n2≥9，當(dāng)且僅當(dāng)n2m2=4m2n2n2=2m2時，等號成立.因此|OP|≥3，即|OP|的最小值為3，故C正確；

對于選項D，聯(lián)立1x2+4y2=1，2|x|-|y|=0，解得x=2，y=22或x=-2，y=22或x=2，y=-22或x=-2，y=-22.

則曲線C與曲線D有四個交點A（2，22）、B（2，-22）、M（-2，22）、N（-2，-22），則AB=（0，-42）=MN，AB·BN=（0，-42）·（-22，0）=0，所以AB//MN且AB=MN，AB⊥BN，所以四邊形ABNM是矩形，故D正確.

故選：ACD.

點評選項A與B通過對方程性質(zhì)的分析即可產(chǎn)生結(jié)論，選項C根據(jù)曲線上的點的坐標(biāo)必適合方程入手，產(chǎn)生m，n的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式給人耳目一新的感覺.選項D，通過解方程組產(chǎn)生交點坐標(biāo)，再回歸圖形即可產(chǎn)生結(jié)論.

曲線與方程在高考中命題方式出現(xiàn)了改變，它不再是僅僅考幾個規(guī)范曲線了.因此，我們除了掌握曲線與方程之間的關(guān)系外，還必須可以建立在一般方程的基礎(chǔ)上探討曲線性質(zhì)、在不規(guī)則曲線的圖像中捕捉方程可能具有的特性，它要求我們不僅要具有敏銳的觀察力同時也要具有一定的分析問題的能力.

【作者簡介：中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，教育部《普通高中新課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)》編寫人，主編與參編多本天星教育《試題調(diào)研》；主編學(xué)海導(dǎo)航的《必修四》與《選修2—3》同步教學(xué)輔導(dǎo)資料；主編愛瘋系列2020年與2021年高三一輪、二輪復(fù)習(xí)用書《高考備考新模式》與《高考數(shù)學(xué)命題揭秘與專題練析》.近年在《數(shù)學(xué)通報》《中等數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》及《中學(xué)數(shù)學(xué)》等多種雜志發(fā)表論文及中學(xué)生科普讀物一千多篇，多篇被人大資料復(fù)印中心G35《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》全文轉(zhuǎn)載】

責(zé)任編輯 徐國堅