因為方程與函數(shù)二者聯(lián)系緊密，可以相互轉(zhuǎn)化來求解，所以熟練掌握與方程有關(guān)的知識對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說至關(guān)重要。本文將聚焦人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“簡易方程”教學(xué)中的環(huán)節(jié)設(shè)置與落實情形，觀察簡易方程作為方程或者說函數(shù)的基礎(chǔ)知識是怎樣產(chǎn)生的，見證方程思想是如何幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。

一、教材分析

“簡易方程”是學(xué)生初次接觸方程這個概念，所學(xué)的都是一元一次方程，其中最關(guān)鍵的部分是對于方程使用原理的理解以及應(yīng)用過程的步驟。在初中階段，學(xué)生開始接觸二元一次方程和一次函數(shù)等有關(guān)知識，這些方程與函數(shù)知識都是在簡易方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行細(xì)分和延伸的。

“簡易方程”這一單元主要分為三個部分，第一部分理解用字母表示數(shù)的意義和作用，發(fā)展符號意識，學(xué)會在具體情境中發(fā)現(xiàn)它們的數(shù)量關(guān)系；第二部分則是初步了解方程的概念及意義，能夠根據(jù)實際情境列出具體的方程式；第三部分是利用等式關(guān)系嘗試尋找簡易方程的方法步驟，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。三個部分環(huán)環(huán)相扣，形成完整的思維過程，有助于學(xué)生形成探究思維。

二、學(xué)情分析

“簡易方程”的學(xué)習(xí)是在學(xué)生已經(jīng)具備一定的算術(shù)知識、數(shù)量關(guān)系儲備的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，同時在之前的學(xué)習(xí)中，大家也接觸了少量的代數(shù)知識，如用字母表示運算規(guī)律、用符號表示數(shù)等。另外，學(xué)生在日常過程中也會接觸用字母表示數(shù)的知識，如在撲克牌中我們會使用A、J、Q等來表示不同的數(shù)字。這就是學(xué)生初步建立簡易方程探究思維的第一步。

同時，應(yīng)用等式性質(zhì)來尋找簡易方程的解決方法。在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)對等式有了一定的了解。本單元的授課就是將之前的知識與新知識聯(lián)系起來，使學(xué)生構(gòu)建起相關(guān)的知識網(wǎng)絡(luò)。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)具有觀察、歸納、遷移、類推、合作探究等認(rèn)知體驗，積累了大量的實際操作經(jīng)驗。所以，在授課時，我們要在之前的基礎(chǔ)上，擴(kuò)大學(xué)生對“數(shù)”的認(rèn)識和運算范圍，在較為抽象的水平上進(jìn)行探究和滲透，為初中階段函數(shù)思想的形成做準(zhǔn)備。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.借助生活中的實例，初步認(rèn)識用字母表示數(shù)的意義和作用。能夠用字母表示學(xué)過的運算規(guī)律和計算公式，能夠在具體情境中用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會根據(jù)字母所取的值求出含字母式子的值，培養(yǎng)符號意識。初步了解方程的概念及作用，學(xué)會應(yīng)用等式的基本性質(zhì)解簡易方程。

2.在探索現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的過程中體會歸納猜想、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會建模思想、化歸思想。

3.能夠發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)量關(guān)系及問題，體會兩個量之間的聯(lián)系與變化，用數(shù)學(xué)的方式解決問題。

4.感受數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活，積累數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗，培養(yǎng)解決問題的能力和模型思維。

四、教學(xué)重難點

教學(xué)重點：學(xué)會用字母表示數(shù)，利用數(shù)量關(guān)系寫出簡易方程，知道簡易方程的解題方式。

教學(xué)難點：體會符號意識，形成代數(shù)思維，建立方程思想，注意模型滲透。

五、教學(xué)過程

★第一部分 用字母表示數(shù)

學(xué)生需要在教師的引導(dǎo)下通過現(xiàn)有的字母表示數(shù)的現(xiàn)象聯(lián)系生活中不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，嘗試用一個字母表示數(shù)學(xué)問題中的未知數(shù)，通過不同的問題情境發(fā)現(xiàn)用字母表示數(shù)字在解決問題中的廣泛應(yīng)用。

▲環(huán)節(jié)一：嘗試用字母表示數(shù)

師：同學(xué)們，大家好！最近小紅在和爸爸討論年齡，爸爸說他比小紅大30歲，你知道爸爸和小紅的年齡各是多少歲嗎？

生：從這個場景中我可以知道爸爸和小紅年齡之間的關(guān)系，可是不知道小紅具體的年齡，爸爸的年齡也無法確定。要是我們知道小紅的年齡就好了。假設(shè)小紅的年齡，相對應(yīng)就可以得出爸爸的年齡。我們可以使用列表法進(jìn)行回答。（學(xué)生出示假設(shè)的表格，表格略）

師：表中的這些式子，都只能表示某一年爸爸的年齡。你能用一個式子簡明地表示任何一年爸爸的年齡嗎？

生1：我知道，爸爸的年齡等于小紅的年齡+30歲。

生2：我覺得在式子中有兩部分都用漢字表示太麻煩了，能不能找到一個簡潔的式子來表示它們呢？

生3：我在撲克牌里見到過用一個英文字母表示數(shù)字。我們也可以用字母來表示這個式子中小紅的年齡。例如，我們用a表示小紅的年齡，這個式子就可以表示為爸爸的年齡是a+30。

師：同學(xué)們的思維非常迅速，可是用字母表示的這個數(shù)字，我們可以取任意的數(shù)值嗎？

生：在我們的式子里，這個數(shù)字不是一個特定的數(shù)字，小紅的年齡并不是確定的，所以字母表示的數(shù)值不確定。

師：那a可以是200嗎？

生：用字母表示的數(shù)字取值也要根據(jù)實際情況進(jìn)行調(diào)整，我們雖然使用字母表示了數(shù)字，但這并不意味著它能夠取任意的數(shù)字，需要結(jié)合實際情境。

師：我們在加減法式子中可以用字母表示數(shù)字，在乘除法中也能這樣使用嗎？讓我們通過宇航員叔叔的疑惑進(jìn)行探究吧！在月球上，人能舉起的物體質(zhì)量是地球上的6倍。你能用含有字母的式子表示人在月球上能舉起的物體質(zhì)量嗎？

生：我們利用在加減法中的經(jīng)驗可以通過列表法表示出一部分物體的質(zhì)量（如表1）。

表1

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通過觀察表1發(fā)現(xiàn)這個等量關(guān)系中的未知數(shù)是在地球上能舉起的物體質(zhì)量，根據(jù)它的數(shù)值變化，在月球上的物體質(zhì)量也會發(fā)生變化，所以我們用x來表示這個未知數(shù)，即人在地球上能舉起的物體質(zhì)量，那么在月球上能舉起的物體質(zhì)量為x×6。所以在乘除法中字母也能發(fā)揮出它應(yīng)有的作用。

師：其實在乘法表示時，我們通常會省略乘號進(jìn)行表示，同時將數(shù)字寫在字母前面，即6x。通過兩個具體事例的探究，我們可以發(fā)現(xiàn)式子中的字母既可以在加減法中使用，也可以在乘除法中發(fā)揮相同的作用。

▲環(huán)節(jié)二：用字母表示運算規(guī)律和計算公式

師：在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道了字母能夠表示數(shù)字，關(guān)于數(shù)字間的運算規(guī)律也可以利用字母進(jìn)行表示嗎？請你試一試。（學(xué)生根據(jù)表2內(nèi)容嘗試填表）

表2

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生：在小紅和爸爸的年齡問題中，我只使用了一個字母進(jìn)行表示，如果兩個都用字母表示，我就能夠得到一個等式。就像表2中的運算規(guī)律一樣，使用字母表示數(shù)，可以將運算規(guī)律更加簡潔直觀地展示出來，方便記憶。

師：對于數(shù)字間的運算規(guī)律可以使用字母表示出來，那圖形的計算公式也可以嗎？一起用正方形的有關(guān)知識來試一試。

生：我們使用字母a表示正方形邊長，用S表示面積，用C表示周長。那么正方形的面積和周長公式可以寫成S=a×a和C=a×4。

師：為了方便我們記憶公式，可以將它們進(jìn)行簡化，例如S=a×a可以利用平方形式寫成S=a2，而在公式中出現(xiàn)數(shù)字的話，通常會把數(shù)字寫在前面，中間的乘號省略不寫。

生：那這樣的話，C=a×4就轉(zhuǎn)變?yōu)镃=4a。

師：讓我們一起來計算邊長為6厘米的正方形面積吧？

生：我們使用字母來表示正方形面積的計算公式為S=a2，即在本題中，a的取值為6，所以正方形面積為S=62=36平方厘米。所以在使用字母后的等式或者說等量關(guān)系時，我們可以快速根據(jù)題目中的條件變化，找到需要代入數(shù)值的未知數(shù)，從而得到想要的答案，字母的使用能幫助我們清晰地分辨出已知條件以及結(jié)果，簡明易記，便于應(yīng)用。

★第二部分 簡易方程

學(xué)生通過前一部分中字母可以表示的范圍的具體探究過程，了解到使用字母表示數(shù)可以幫助我們在面對數(shù)學(xué)問題時化繁為簡，將文字表現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題通過簡潔的數(shù)學(xué)語言表示，從而得到一個含有字母的式子，同時與其有聯(lián)系的條件也可以使用字母，極大地幫助學(xué)生理清現(xiàn)有條件以及內(nèi)在聯(lián)系。

▲環(huán)節(jié)三：嘗試代數(shù)關(guān)系

師：如果現(xiàn)在我們已經(jīng)知道字母，你能夠根據(jù)數(shù)量關(guān)系寫出含字母的式子嗎？

1大杯果汁1200 g，從中倒出3小杯。如果每小杯果汁x g，你能用含有字母的式子表示大杯里的果汁還剩多少克嗎？

生：首先我們知道1杯果汁的克數(shù)，現(xiàn)在有3杯果汁被倒出，也就是3x g，我們一共有1200 g，剩余的果汁就是（1200-3x） g。此時根據(jù)得到的式子，只要我們確定字母的取值，就可以得到剩余的果汁克數(shù)了！

師：在實際問題中，我們還需要怎么做？

生：進(jìn)行驗證，我們的果汁數(shù)量是一定的，如果每杯的克數(shù)為400時，倒出3杯后，杯中就無剩余了，所以400就是我們可以取的最大值。

師：那在整個過程中，式子中的字母可以表示哪些數(shù)呢？

生：在整個表示過程中，字母既表示了一小杯果汁的克數(shù)，同時利用現(xiàn)有的等量關(guān)系，字母還表示出剩余果汁的克數(shù)，所以式子中的字母表示的數(shù)范圍有很多，小數(shù)、分?jǐn)?shù)均有可能。另外，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系用字母表示會更加清晰，方便我們梳理不同數(shù)值間的關(guān)系。

▲環(huán)節(jié)四：列出簡易方程

師：觀察圖1，如果老師擺了x個三角形和x個正方形，你能知道老師一共用了多少根小棒嗎？

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圖1

生1：首先我們需要知道一個三角形是3根小棒，一個正方形是4根小棒。

生2：如果有x個三角形，說明三角形一共使用3x根小棒，x個正方形就是4x根小棒。

生3：一共使用的小棒就是（3x+4x）根。我們就可以利用加法結(jié)合律將式子進(jìn)行簡化為3x+4x=（3+4）x=7x，所以，一共用了7x根小棒。

師：在整個過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

生：我發(fā)現(xiàn)數(shù)字運算規(guī)律，在用字母表示的式子中也同樣適用，這樣就可以幫助我們對列出的多個含有字母的式子進(jìn)行化簡。

★第三部分 解簡易方程

教師引導(dǎo)學(xué)生明白方程的含義，使用含有字母的式子列出簡易方程，并理解解簡易方程的原理，學(xué)會解簡易方程的方法。

▲環(huán)節(jié)五：等式與方程

師：在實驗中，我們使用了一種工具“天平”，它是一個公平審判官，只有左右兩個托盤中的物品重量相等才會平衡。（演示講解）現(xiàn)在老師進(jìn)行一次測量，你能夠根據(jù)實驗寫出一個式子嗎？

生：50+50=100，這是一個等式。

師：你還能說出這樣的式子嗎？

生：我進(jìn)行了空杯子的測量。天平一邊是杯子，另一邊是砝碼。當(dāng)有兩個砝碼在托盤中時，二者平衡，也就是杯子重100克。

師：現(xiàn)在老師往杯子中加入水，你觀察天平發(fā)生了什么樣的變化？（不平衡）你知道杯子中水的質(zhì)量是多少嗎？

生：不清楚，是一個未知數(shù)，可以用字母x表示。

師：不平衡的關(guān)系你可以用一個式子表示出來嗎？（100+x>100）這樣的式子叫做不等式。無論天平是否平衡，我們都可以用相應(yīng)的式子來表示。當(dāng)天平平衡時，我們可以用“＝”表示，天平不平衡時，可以用“＜”或“＞”表示。老師接著往托盤中加入了砝碼，你發(fā)現(xiàn)了什么？（天平平衡了）此時怎么表示它們之間的關(guān)系？

生：杯子的質(zhì)量和水的質(zhì)量與砝碼的質(zhì)量相等了，用含字母的式子進(jìn)行表示就是100+x=250。這是一個等量關(guān)系?？磥砦覀兿胍獙懗龅仁?，就要找到它們之間的等量關(guān)系！

師：根據(jù)等量關(guān)系列出的含有未知數(shù)的等式就是我們所說的方程。

生：在天平引導(dǎo)下的等量關(guān)系中，我們可以將物體的質(zhì)量作為未知數(shù)，根據(jù)它們之間的數(shù)量關(guān)系，列成滿足條件的等式，這個等式就是我們所說的方程。

師：觀察方程的概念，我們可以發(fā)現(xiàn)一個關(guān)鍵條件就是含有未知數(shù)，這是在等式的基礎(chǔ)上所必須的條件，也就是說等式的范圍要大于方程所覆蓋的部分，等式在只有自身含有未知數(shù)時才是方程。

▲環(huán)節(jié)六：解方程

在進(jìn)行解方程前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等式的兩個性質(zhì)。

師：老師手中一共有9個球，其中盒子里有x個，盒子外有3個，你能知道盒子里有幾個球嗎？

生：我可以根據(jù)等量關(guān)系列出一個方程：x+3=9。

師：你可以通過數(shù)學(xué)方法嘗試解出這個字母的數(shù)字取值嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)x+3=9中，我們可以使用等式的性質(zhì)，等式兩邊同時減去3，等式左右兩邊仍然相等，這樣等式左邊化簡后就會變成只有一個未知數(shù)x，右邊就是它的取值。所以等式可以寫成x+3-3=9-3=6，即x=6。此時x的取值可以使方程成立。

師：我們把使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。在本題中就是方程的解。而這個求方程的解的過程叫作解方程。在嘗試解方程的過程中，我們有兩個關(guān)鍵點需要注意，你知道是什么嗎？

生：第一個關(guān)鍵點是需要找到問題中的等量關(guān)系，這是我們能夠列出方程的關(guān)鍵。第二個關(guān)鍵點就是我們需要熟練掌握等式的基本性質(zhì)，這是我們解方程的關(guān)鍵。

師：所有的等式性質(zhì)在方程求解中都適用嗎？將數(shù)量擴(kuò)大到原來數(shù)量的2倍、3倍、4倍甚至更多呢？請同學(xué)們分小組對不同等式的性質(zhì)在方程中是否可以使用進(jìn)行討論。

生：原來等式的所有性質(zhì)均可以在方程中進(jìn)行使用，這對于我們方程的求解方法拓寬了更多的思路，在求解時的方法也就更加多樣化。

“簡易方程”是學(xué)生接觸數(shù)學(xué)方程思想的第一步，學(xué)生通過用字母表示數(shù)、簡易方程、解簡易方程三個部分環(huán)環(huán)相扣的學(xué)習(xí)，在教師的引導(dǎo)下認(rèn)識了解方程、掌握解方程的基本方法和技巧，最終建立方程模型，體會數(shù)學(xué)建模的過程，形成數(shù)學(xué)抽象思維，為之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活打下堅實的基礎(chǔ)。

（作者單位：甘肅省張家川縣平安鄉(xiāng)馬塬小學(xué)）

編輯：溫雪蓮