摘要:在華師大版九年級數(shù)學(xué)教材第27章“圓”中,有許多非常基礎(chǔ)且是中考命題熱點(diǎn)的知識(shí),求圓中不規(guī)則圖形的面積便是其中之一.本文中從學(xué)生提出的一道疑難問題出發(fā),先分析該題的解題思路,挖掘其中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想,然后以轉(zhuǎn)化思想為指導(dǎo)探究圓中不規(guī)則圖形面積的求法,旨在一方面為教師課堂教學(xué)提供更多有效素材,另一方面間接幫助學(xué)生克服這一障礙.
關(guān)鍵詞:圓;不規(guī)則圖形;面積;轉(zhuǎn)化思想
在講完“27.3圓中的計(jì)算問題”后,有位學(xué)生進(jìn)行“弧長及扇形面積計(jì)算”的自主練習(xí)時(shí),遇到了下面這道題,一時(shí)思路受阻,于是找到筆者,希望能得到一些指點(diǎn).
如圖1所示,已知圓形紙片的半徑是2 cm,現(xiàn)將其沿著AB,BC翻折,并使得AB和BC正好都經(jīng)過圓心O,那么,圖中陰影部分的面積是().
A.2/3π cm2 B.π cm2
C.4/3π cm2 D.5/3π cm2
細(xì)觀此題陰影部分的圖形,不難發(fā)現(xiàn)該圖形具有明顯的對稱美感.尤其該圖與少先隊(duì)員胸前佩戴的紅領(lǐng)巾極其相似,瞬間將數(shù)學(xué)與實(shí)際生活聯(lián)系起來.但在認(rèn)真思考之后,發(fā)現(xiàn)要想求出陰影部分的面積并非易事,因?yàn)樗遣灰?guī)則圖形.
1 思路探究
根據(jù)以往解決問題的經(jīng)驗(yàn),當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)了不規(guī)則圖形,通常采用轉(zhuǎn)化思想來解決.根據(jù)轉(zhuǎn)化思想,需要把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為若干個(gè)規(guī)則圖形,然后通過各規(guī)則圖形間面積的和或差求出不規(guī)則圖形的面積.于是筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下觀察:
圖2觀察一:A,B,C是圓上的三個(gè)點(diǎn),它們到圓心O的距離有什么關(guān)系?(生:相等.)聯(lián)系到圓中半徑是非常重要的線段,所以不妨先將這三個(gè)點(diǎn)分別與圓心O連接,如圖2.
觀察二:連接OA,OB,OC后,你還有什么發(fā)現(xiàn)?(生:出現(xiàn)了三角形和弓形.)不難發(fā)現(xiàn)連接OB后,將下方柳葉狀陰影部分分成了兩個(gè)全等的弓形,而它們的面積之和正好與上方扇形AOC空白部分面積相等.
觀察三:最初的陰影部分圖形有怎樣的變化呢?(生:此時(shí)圖1中不規(guī)則的陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為了規(guī)則圖形扇形AOC的面積.)根據(jù)扇形面積公式,⊙O的半徑已知,但圓心角∠AOC的大小未知.筆者引導(dǎo)學(xué)生思考如何求出∠AOC的大小,因?yàn)檫@已經(jīng)成為了解決本題的關(guān)鍵.
觀察四:筆者提醒學(xué)生結(jié)合條件并觀察圖形,思考∠AOC和∠ABC的關(guān)系、∠ABO與∠ABC的關(guān)系如何?(生:∠AOC=2∠ABC,∠ABC=2∠ABO,所以∠AOC=4∠ABO.)此時(shí)過O點(diǎn)作AB的垂線后,就可根據(jù)折疊性質(zhì)及垂徑定理得到∠AOC的大小.所以,還需如圖3所示過點(diǎn)O作AB的垂線,垂足為D.至此,本題的解決思路探究結(jié)束.
2 解題及總結(jié)
2.1 解題
經(jīng)過上述的探究,本題的解決思路已然形成,其解題過程如下:
圖3解:連接OA,OB,OC,過點(diǎn)O作AB的垂線,垂足為D,如圖3.根據(jù)折疊性質(zhì),易得OD=1/2OA.
∵OD⊥AB,且OD=1/2OA,
∴∠DAO=30°.
∴∠AOD=60°.
∵OA=OB,
∴∠BOD=60°.
∴∠AOB=120°.
同理,可得∠BOC=120°.
∴∠AOC=120°.
∴S=S=1205π522/360.
∴S=4/3π(cm2).
故選答案:C.
2.2 總結(jié)
從解題過程來看,思路探究成功以后,解題過程其實(shí)非常簡單,主要應(yīng)用了以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn):
(1)利用了折疊性質(zhì).圖形的折疊在初中幾何問題中也非常常見,根據(jù)折疊前后圖形的對稱性,只需找到圖中對應(yīng)的角及對應(yīng)的邊,就可以將邊、角進(jìn)行轉(zhuǎn)化[1].
(2)利用了垂徑定理.垂徑定理是解決與圓有關(guān)的計(jì)算或證明題的重要理論基礎(chǔ).本題借助垂徑定理得到∠AOD=∠BOD.
(3)利用了直角三角形30°角的性質(zhì).由OD⊥AB且OD=1/2OA證得∠DAO=30°,逆用了直角三角形30°角的性質(zhì),是本題求扇形圓心角度數(shù)的關(guān)鍵.
(4)利用了扇形面積公式.扇形面積公式中最關(guān)鍵的兩大因素是圓心角和半徑,本題已知半徑,而圓心角尚未可知.所以,通過逆用直角三角形30°角的性質(zhì)解決了這一難題.
除此之外,本題解決思路中最值得反思與總結(jié)之處在于“割補(bǔ)法”和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.
在遇到不規(guī)則的圖形時(shí),常將其中某個(gè)部分的位置變動(dòng),或?qū)D形進(jìn)行分割、拼補(bǔ),從而將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來計(jì)算,這就是“割補(bǔ)法”,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想[2].轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)用非常普遍,主要是將未知轉(zhuǎn)化為已知,將特殊轉(zhuǎn)化為一般或?qū)⒁话戕D(zhuǎn)化為特殊,進(jìn)而將難度較大的問題轉(zhuǎn)化為難度較小的問題[3].
例如,本題將不規(guī)則的“系紅領(lǐng)巾”圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的扇形,降低了解決問題的難度,同時(shí)又讓學(xué)生體驗(yàn)了轉(zhuǎn)化思想的魅力.
3 鞏固與拓展
事實(shí)上,求扇形面積是“27.3圓中的計(jì)算問題”中非常典型的問題,學(xué)生會(huì)遇到許多求不規(guī)則陰影圖形面積的問題,其解決方法都是利用“割補(bǔ)法”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.如下面的兩道題:
題1如圖4所示,扇形AOB和扇形COD的圓心角共用頂點(diǎn)O,且它們的圓心角均為90°.連接AC和BD,如果OA=3,OC=1,試求圖中陰影部分的面積.
圖4圖5
解題關(guān)鍵:本題易知△AOC和△BOD是全等三角形.如果將△AOC繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°就得到了△BOD.于是,就形成了圖5.接下來,只需求出圖5中陰影部分的面積即可.
題2如圖6所示,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,⊙O的半徑為2,以點(diǎn)A為圓心,AC長為半徑畫圓弧,交AB的延長線于點(diǎn)E,交AD的延長線于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積為().
A.4π-8 B.4π-4
C.8π-4D.8π-8
圖6圖7
解題關(guān)鍵:首先觀察圖形,雖然陰影部分比較分散,但是可將直徑BD以上的兩個(gè)弓形陰影部分“補(bǔ)”到下方空白處,正好與下方已有陰影部分構(gòu)成一個(gè)完整的圖形,如圖7.
4 結(jié)語
綜上所述,“割補(bǔ)法”在解決幾何圖形的面積問題中發(fā)揮了重要作用.不僅如此,它體現(xiàn)出的轉(zhuǎn)化思想也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中非常重要的內(nèi)容.所以,利用“割補(bǔ)法”不僅可以靈活解決問題,而且能培養(yǎng)學(xué)生的思維,讓他們在掌握轉(zhuǎn)化思想之余,能不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).
參考文獻(xiàn):
[1]劉家良.求含圓弧的不規(guī)則圖形的面積[J].初中生必讀,2020(11):28-29.
[2]李漢平.美麗的陰影部分圖形——探究《圓》中陰影部分面積的求法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016(6):149.
[3]朱文文.如何求圓中陰影部分的面積[J].語數(shù)外學(xué)習(xí):初中版,2020(11):23-25.