從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次擴(kuò)展，更是學(xué)生對數(shù)概念認(rèn)識(shí)的一次飛躍。當(dāng)前的蘇教版教材是分三次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，在三年級(jí)上冊安排“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)平均分一個(gè)物體或一個(gè)圖形可以得到分?jǐn)?shù)；在三年級(jí)下冊安排“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”，學(xué)習(xí)從一個(gè)物體擴(kuò)展到一個(gè)整體，平均分一個(gè)整體，用分?jǐn)?shù)表示部分和整體之間的關(guān)系；到五年級(jí)下冊安排“分?jǐn)?shù)的意義”，完整地建立起分?jǐn)?shù)的相關(guān)認(rèn)識(shí)。2022年版課標(biāo)關(guān)于課程實(shí)施，強(qiáng)調(diào)突出所教內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)前后內(nèi)容的內(nèi)在一致性與結(jié)構(gòu)化，提出要重視整體教學(xué)。基于這些要求審視現(xiàn)有教材中的三次分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)，那就不得不回答清楚如下問題：

1.分?jǐn)?shù)表示率的邏輯原點(diǎn)是什么？

細(xì)讀三年級(jí)下冊分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的內(nèi)容，很顯然是兩個(gè)教學(xué)要點(diǎn)：平均分一個(gè)整體，用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量（部分與整體）之間的關(guān)系。這兩者之間有邏輯上的因果關(guān)系嗎？或者說，是什么思維活動(dòng)導(dǎo)致分?jǐn)?shù)用來表示率？如同“2倍”不是因?yàn)槠骄?，而是因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)量間的比較一樣，那“用分?jǐn)?shù)表示率”顯然也不是因?yàn)椤捌骄至艘粋€(gè)整體”，而是因?yàn)閮蓚€(gè)量之間的比較。這其中的邏輯鏈應(yīng)該是這樣的：把4個(gè)桃看作一個(gè)整體，其中的2個(gè)桃和4個(gè)桃比，不滿一個(gè)整體；然后才平均分這個(gè)整體，用[12]表示2個(gè)桃和4個(gè)桃之間的關(guān)系。因此，教學(xué)要突出本質(zhì)，就要突出數(shù)量間的比較，而不是刻意強(qiáng)調(diào)平均分一個(gè)整體。

2.三次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的整體結(jié)構(gòu)如何謀劃？

三次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，一方面應(yīng)該有明晰的遞進(jìn)層次，另一方面應(yīng)該有一致的基本問題，這樣的安排才有利于學(xué)生形成內(nèi)在一致的螺旋式上升的認(rèn)識(shí)。以厘清上面問題為基礎(chǔ)，三年級(jí)上冊認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)可以定位于“平均分東西過程中，不滿1個(gè)，用分?jǐn)?shù)表示分的結(jié)果，突出分?jǐn)?shù)是分出來的具體數(shù)量”；三年級(jí)下冊認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)可以定位于“數(shù)量間進(jìn)行比較的過程中，不滿1份（1倍），用分?jǐn)?shù)表示比的結(jié)果，突出分?jǐn)?shù)是比出來的倍比關(guān)系”；五年級(jí)下冊認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)可以定位于“除法運(yùn)算中，商不滿1，用分?jǐn)?shù)表示運(yùn)算的結(jié)果，突出分?jǐn)?shù)是除出來的結(jié)果（既可以是具體數(shù)量，也可以是倍比關(guān)系）”。這樣安排，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)既統(tǒng)一于“不滿1”的基本問題，又呈現(xiàn)了分?jǐn)?shù)是分出來的、是比出來的、是算出來的認(rèn)知提升。

3.結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)是如何形成的？

在課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的背景下，教學(xué)也要轉(zhuǎn)型為整體教學(xué)，即在整體理解和把握內(nèi)容本質(zhì)以及學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，整體設(shè)計(jì)，分步實(shí)施。在課程實(shí)施的維度，整體設(shè)計(jì)還只是教學(xué)的實(shí)施藍(lán)圖，各個(gè)課時(shí)的分步實(shí)施才是基于設(shè)計(jì)藍(lán)圖發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。學(xué)生對分?jǐn)?shù)的整體認(rèn)識(shí)，到底是三次學(xué)習(xí)彼此沒有關(guān)系，最后整體梳理形成結(jié)構(gòu)的，還是承認(rèn)學(xué)生本身就是帶著結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)開展新的學(xué)習(xí)，新的學(xué)習(xí)是在既有結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的遷移與拓展，學(xué)完新的知識(shí)，新舊知識(shí)融會(huì)貫通，新結(jié)構(gòu)也就自然形成的？我們?nèi)糇非髮W(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得了結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，那其分步實(shí)施的學(xué)習(xí)過程也應(yīng)該是同質(zhì)的，即結(jié)構(gòu)化地學(xué)，建立結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)！很顯然，這樣分步實(shí)施的整體教學(xué)才更具有育人的價(jià)值。

鑒于以上思考，我們進(jìn)行了如下的實(shí)踐嘗試。

一、喚醒舊結(jié)構(gòu)

師：同學(xué)們，這幅圖你們熟悉嗎？［出示三年級(jí)上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”的主題情境圖，如圖1］回憶一下，平均分哪種食物的結(jié)果要用分?jǐn)?shù)表示？

生：分蛋糕的結(jié)果要用分?jǐn)?shù)表示。

師：為什么分4個(gè)桃和2瓶水的結(jié)果不用分?jǐn)?shù)表示，而分蛋糕的結(jié)果要用分?jǐn)?shù)表示？

生：4個(gè)桃平均分給2人，每人可以分得2個(gè)。（板書：2個(gè)）2瓶水平均分給2人，每人分得1瓶。（板書：1瓶）但蛋糕只有1個(gè)，不夠平均分給2人，每人只能分得[12]個(gè)。（板書：[12]個(gè)）

師：你回答得很完整。是呀，只有1個(gè)蛋糕，要平均分給2人，分得的結(jié)果肯定不滿1個(gè)，（板書：不滿1個(gè)）這時(shí)候就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)?？矗@里的分?jǐn)?shù)（指著板書“[12]個(gè)”）和這些整數(shù)一樣，都帶有單位名稱，它們都表示具體數(shù)量。（板書：數(shù)量）

師：小明帶來了1塊巧克力，想和同學(xué)們分享。1塊巧克力平均分給3人，這時(shí)平均分的結(jié)果用什么數(shù)表示？

生：也是分?jǐn)?shù)，每人分得[13]塊。

師：為什么？

生：因?yàn)椴粷M1塊。

（教師在“不滿”的旁邊板書：1塊）

師：現(xiàn)在應(yīng)該有感覺了吧？平均分物品，什么時(shí)候會(huì)用到分?jǐn)?shù)？

生：不滿1個(gè)、1塊的時(shí)候就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。（板書：……）

師：那分?jǐn)?shù)還會(huì)在什么時(shí)候產(chǎn)生呢？今天，讓我們繼續(xù)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。

二、生長新認(rèn)識(shí)

（一）體會(huì)部分與整體之間的關(guān)系。

1.引發(fā)探究。

師：這是我們剛剛分的4個(gè)桃，我們知道平均分給2人，每人分得2個(gè)，是夠分的，分的結(jié)果沒必要用分?jǐn)?shù)表示。那“每人分得的2個(gè)桃”和“整體的4個(gè)桃”之間有怎樣的關(guān)系？我們比比看。為了方便比較，老師把分得的2個(gè)桃和4個(gè)桃分開擺。讓我們來完成探究活動(dòng)1。

探究活動(dòng)1：在圖2中圈一圈、比一比，2個(gè)桃和4個(gè)桃有怎樣的關(guān)系？

2.分享想法。

師：哪位同學(xué)愿意分享一下你的想法？

生：把2個(gè)桃作為比的標(biāo)準(zhǔn)，看作1份，4個(gè)桃是2個(gè)2個(gè)桃，所以4個(gè)桃是2個(gè)桃的2倍。

師：（指著板書的“比”）通過比較，我們知道4個(gè)桃是2個(gè)桃的2倍，這是我們以前學(xué)過的“倍”的知識(shí)，同學(xué)們掌握得都很好。還可以怎么比？

生：把4個(gè)桃作為比的標(biāo)準(zhǔn)，看作1份，2個(gè)桃……

師：遇到了什么新問題？

生：把4個(gè)桃看作1份，2個(gè)桃不滿1份，不滿1倍。

師：熟悉的味道，剛剛遇到不滿1個(gè)、1塊……時(shí)，我們是怎么辦的？

生：平均分那個(gè)1，然后用分?jǐn)?shù)表示。

生：現(xiàn)在把兩個(gè)數(shù)量一比，發(fā)現(xiàn)不滿1份了，看來也得用分?jǐn)?shù)表示。

生：2個(gè)桃是1小份，那4個(gè)桃就是這樣的2小份，也就是要把4個(gè)桃平均分成2小份，所以2個(gè)桃是4個(gè)桃的[12]倍。

師：（板書：[12]倍）把三位同學(xué)的想法合并起來，還是很清楚的。

生：（如圖3）4個(gè)桃就是4小份，2個(gè)桃就是2小份，所以2個(gè)桃就是4個(gè)桃的[24]。

師：大家明白他的意思嗎？到底用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示呢？

生：我認(rèn)為用[12]這個(gè)分?jǐn)?shù)表示。因?yàn)?個(gè)桃是1小份，所以只要把4個(gè)桃平均分成2份就夠了，不需要平均分成4份。

師：是的，如果用2個(gè)桃和4個(gè)桃去比較，應(yīng)該2個(gè)桃2個(gè)桃地分4個(gè)桃，不會(huì)1個(gè)桃1個(gè)桃地分。大家同意他的想法嗎？把掌聲送給他，真是會(huì)思考的孩子。

師：這是我們剛剛得到的兩種結(jié)果。探究時(shí)，我們?yōu)榱朔奖惚容^，把“分得的2個(gè)桃”和“整體的4個(gè)桃”分開擺，現(xiàn)在我們把它們還原回去。（如圖4）

師：我們把4個(gè)桃看作1份，2個(gè)桃和4個(gè)桃比，不滿——（生：1份）那我們2個(gè)桃2個(gè)桃地平均分，把4個(gè)桃平均分成——（生：2小份）2個(gè)桃是其中的1小份，所以2個(gè)桃是4個(gè)桃的——（生：[12]倍）

3.比較提煉。

師：我們在分東西的過程中，得到了2個(gè)、[12]個(gè)；在比的過程中，又得到了2倍和[12]倍，我們來比一比。

第一環(huán)節(jié)：如圖5，2個(gè)跟2倍比一比。

師：2個(gè)和2倍，它們的意思一樣嗎？

生：2個(gè)是每人分得的數(shù)量，2倍是2個(gè)桃和4個(gè)桃之間的關(guān)系。2倍是指4個(gè)桃有2個(gè)2個(gè)桃這么多。

第二環(huán)節(jié)：如圖6，[12]個(gè)和[12]倍比一比。

師：那這里的[12]個(gè)和[12]倍，表示的意思一樣嗎？

生：[12]個(gè)表示半個(gè)蛋糕，也就是具體的數(shù)量。[12]倍表示2個(gè)桃不滿1份，是和4個(gè)桃之間的關(guān)系。

師：觀察得真仔細(xì)，總結(jié)得很到位。

第三環(huán)節(jié)：如圖7，2倍和[12]倍比一比。

師：繼續(xù)比一比，同樣是比較2個(gè)桃和4個(gè)桃之間的關(guān)系，為什么結(jié)果不同？

生：把2個(gè)桃作為比的標(biāo)準(zhǔn)，看作1份，4個(gè)桃就是這樣的2份，所以4個(gè)桃是2個(gè)桃的2倍。把4個(gè)桃作為比的標(biāo)準(zhǔn)，看作1份，2個(gè)桃不滿1份，所以2個(gè)桃2個(gè)桃地分，4個(gè)桃有這樣的2份，所以2個(gè)桃是4個(gè)桃的[12]倍。

生：它們比較的標(biāo)準(zhǔn)不同，所以結(jié)果就不同。

師：是的。同樣是比較，標(biāo)準(zhǔn)不同，比得的結(jié)果當(dāng)然也不一樣?？磥肀容^的標(biāo)準(zhǔn)很重要。這里的2倍和[12]倍都表示什么？

生：2倍和[12]倍都表示2個(gè)桃和4個(gè)桃之間的關(guān)系。正因?yàn)槿绱?，倍不是單位名稱，所以可以省略不寫。

（教師板書：關(guān)系。擦去板書中的“倍”）

師：你不僅會(huì)觀察，還很會(huì)思考和總結(jié)。我們把掌聲送給他。

4.練習(xí)運(yùn)用。

如圖8，把涂色的桃和12個(gè)桃比，涂色的桃是12個(gè)桃的幾分之一？

師：同學(xué)們，學(xué)數(shù)學(xué)不僅要會(huì)思考，還要會(huì)表達(dá)。老師為大家準(zhǔn)備了一個(gè)句式，（如圖9）我們一邊指著圖一邊試著說一說。

師：同學(xué)們，把12個(gè)桃作為比的標(biāo)準(zhǔn)，看作1份，為什么涂色部分都用分?jǐn)?shù)表示？

生：因?yàn)橥可糠值臄?shù)量都不滿1份。

師：那為什么分?jǐn)?shù)又不同？

生：因?yàn)槊啃》萏业臄?shù)量不一樣，所以把12個(gè)桃平均分的份數(shù)也不一樣，因此分?jǐn)?shù)就不同。

師：是啊，因?yàn)楹?2個(gè)桃比較的數(shù)量不一樣，所以12個(gè)桃平均分得的份數(shù)不同，當(dāng)然分?jǐn)?shù)就不同。

（二）體會(huì)整體與整體之間的關(guān)系。

師：剛剛我們通過比較，研究了部分和整體之間的關(guān)系。生活中還經(jīng)常把兩個(gè)不同的整體做比較，我們繼續(xù)研究。（出示：藍(lán)花3朵，黃花9朵）黃花的朵數(shù)和藍(lán)花的朵數(shù)比，它們之間是什么關(guān)系？

生：把藍(lán)花的朵數(shù)看作1份，黃花的朵數(shù)有這樣的3份，黃花的朵數(shù)是藍(lán)花的3倍。

師：說得真好。（出示：藍(lán)花3朵，黃花3朵）現(xiàn)在呢？

生：仍然把藍(lán)花的朵數(shù)看作1份，黃花的朵數(shù)也是這樣的1份?，F(xiàn)在黃花的朵數(shù)是藍(lán)花的1倍。

師：黃花的數(shù)量繼續(xù)減少，（出示：藍(lán)花3朵，黃花1朵）比比看。

生：黃花的數(shù)量不滿1倍。

師：出現(xiàn)了不滿1倍的情況，前面不滿1個(gè)、1塊、1份時(shí)，都是用什么數(shù)表示的？現(xiàn)在怎么辦？

生：把3朵藍(lán)花平均分成3小份，每份就是1朵，也就是黃花的數(shù)量，所以黃花的朵數(shù)就是藍(lán)花的[13]。

師：兩個(gè)量之間的關(guān)系，什么時(shí)候用倍表示，什么時(shí)候用分?jǐn)?shù)表示？和你的同桌說一說你的發(fā)現(xiàn)。

（同桌討論，然后匯報(bào)交流）

生：滿1倍時(shí)，就用“幾倍”表示；不滿1倍時(shí)，就用“幾分之一”表示。

師：確實(shí)，幾倍和幾分之一都可以表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。

三、鞏固新認(rèn)識(shí)

（略）

四、建立新結(jié)構(gòu)

師：通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生：我知道了分東西時(shí)，夠分就用整數(shù)表示；但不滿1個(gè)、1塊、1瓶、1份、1倍時(shí)，就要用分?jǐn)?shù)表示。

生：2個(gè)、1瓶、[12]個(gè)、[13]塊都表示具體的數(shù)量，而2倍、3倍、[12]、[13]都表示兩個(gè)量之間的關(guān)系。

師：（指著板書）是的，我們在分東西過程中得到的整數(shù)表示具體數(shù)量，在數(shù)量比較過程中得到的整數(shù)表示數(shù)量之間的關(guān)系。今天，我們也在分東西，也在進(jìn)行數(shù)量比較，但出現(xiàn)了什么情況？

生：出現(xiàn)了不滿1個(gè)、1塊、1份、1倍的情況。

師：這時(shí)候，分?jǐn)?shù)出場了，但分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣，既可以表示具體數(shù)量，也可以表示數(shù)量之間的關(guān)系。（如圖10）

（作者單位：江蘇蘇州市姑蘇區(qū)教育科學(xué)研究中心，蘇州市勞動(dòng)路實(shí)驗(yàn)小學(xué)） H