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引領兒童像科學家一樣勤思考會探索

2024-10-18 00:00:00吳正憲/執(zhí)教劉金玲劉思成武維民/整理、賞析
小學教學(數學版) 2024年8期

【教學目標】

1.在自主探究的過程中經歷圓的面積計算公式的推導過程,感悟從未知向已知的轉化,積累操作與思維活動經驗,發(fā)展幾何直觀、空間觀念和推理意識。

2.在探索圓的面積計算方法的過程中激發(fā)好奇心和求知欲,養(yǎng)成獨立思考、樂于合作等學習習慣,發(fā)展質疑問難、勇于探索的科學精神。

【教學思考】

2022年版課標明確提出“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用”“通過數學課程的學習……發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)”。發(fā)展學生核心素養(yǎng)和創(chuàng)新精神就要從教學生學會思考入手,教師要從“授人以魚”向“授人以漁”轉變,學生要從“會做事”到“會想事”,因為能夠自己想辦法解決新的問題是創(chuàng)新能力的一個具體表現。

“圓的面積”是小學最后一次學習平面圖形的測量,在此之前學生已經積累了“明確測量對象、用測量單位累加得到測量結果”“建立測量結果與圖形要素的聯系推導面積計算公式”“轉化成學過的圖形推導面積計算公式”等豐富的學習經驗,這些經驗都是學生學習圓的基礎。雖然經驗豐富,但與前面學過的用直線圍成的平面圖形相比區(qū)別還是比較大的,對圓的面積計算公式的推導過程,學生在理解上有一定的困難,所以“圓的面積”一課是公認的學習難點。在教學過程中,教師嘗試讓學生自主遷移這些經驗探尋圓面積的計算方法,但圓是極特殊的平面圖形——它是曲邊圖形,無論是用面積單位測量,還是割補、拼擺成學過的圖形都存在“曲邊”,因此在教學過程中還要讓學生通過獨立思考和自主探究,感悟化曲為直,發(fā)展推理意識,學會應用幾何直觀解決問題。

基于以上思考,本節(jié)課努力立足學生基礎順學而導,引導學生自己想辦法得到圓的面積。從嘗試先找圓面積的取值范圍,再感悟圓面積也是多少個度量單位的累加,到轉化成學過的圖形建立聯系、推導出公式,教師不急于給出方法和結果,而是引導學生自己想方法、想工具、想聯系,在這個過程中讓學生“會想事”,發(fā)展空間觀念、推理意識和創(chuàng)新意識,培養(yǎng)學生獨立思考、勇于探究的精神。

【教學過程】

一、在問題引領中,激發(fā)探究的興趣和需求

師:(出示圖1)這個圓形草坪的占地面積是多少平方米呢?

(很多學生齊刷刷地舉起了手,有的喊出圓的面積計算公式S=[πr2])

師追問:為什么圓的面積計算公式是S=[πr2]呢?這個公式是怎么獲得的呢?(舉手的人少了很多,接著鼓勵沒舉手的學生)不知道也沒關系,通過這節(jié)課的學習你們一定會有新的收獲。

【賞析】一上課,吳老師就出示真實的問題情境、真實的數學問題,激發(fā)學生探究的興趣和需求,使學生在發(fā)現問題中明確研究的問題和方向。吳老師創(chuàng)設的情境不僅是真實的生活情境,還指向了真實的數學情境。通過一個問題,清晰地了解學生已有的基礎,以及學生學習的差異,為后面更好地因材施教做好準備,這充分體現了吳老師的兒童數學教育理念。

二、在自主探索中,豐富度量經驗,發(fā)展推理意識

(一)猜想驗證,發(fā)現問題。

師:不管你是否知道圓的面積計算公式,我們都暫時忘掉它。你們看,這里有一個圓(圖略),它的半徑是1分米,你能估一估,這個圓的面積有多大嗎?

師:(請一個不知道圓的面積計算公式的學生回答)咱們就聽聽這位同學是怎么想的。

生:(很自信地)我把這個圓想象成一個正方形。

師:你為什么把它看成正方形?

生:我看到正方形和圓的面積大小很接近,我還知道正方形的面積計算公式,這樣我就能求出圓的大約面積。

師:多樸素的想法呀,這位同學將圓的面積轉化成正方形面積的思路真好,這樣我們就能估出這個圓的面積,了不起。

師:(在黑板上貼一個圓形紙片,請學生畫一畫,有的學生在圓形紙片外畫了一個外切正方形,如圖2)你們認為這個圓的面積大約是多大呢?大家先獨立思考,再討論。

生:這個圓的面積可能接近4平方分米。

師:(追問)“接近”的感覺真好,你們認為是怎樣的“接近”?是超過4平方分米還是小于4平方分米?

生:因為我看到正方形有很多地方沒有接觸到圓,所以圓的面積肯定比4平方分米小。

生:我補充。圓的直徑是2分米,所以正方形的邊長是2分米,正方形的面積是4平方分米,還可以劃分出四個1平方分米的小正方形(如圖3)。

師:我發(fā)現同學們都特別會思考,圓接近正方形,有些地方還有空隙,圓的面積肯定小于4平方分米。這是上限,下限呢?

生:我覺得下限應該是小于4平方分米。

生:我們是貼著圓的邊畫正方形的,多出了一些空隙,所以圓的面積肯定比邊長是2分米的正方形的面積小。如果我們想看出圓的面積到底在什么之間,還需要知道它的下限,就是它肯定比什么大。

生:受剛才在圓外畫正方形的啟發(fā),我想可以在圓內畫一個最大的正方形。

師:有道理。在圓里邊畫一個最大的正方形,能知道它的邊長嗎?能計算它的面積嗎?那你畫什么樣的圖形有可能知道圓的面積大約是多少呢?

(學生思考中)

生:(小聲)三角形。

師:好,就請你畫出這個三角形。

(學生畫,如圖4)

師:(追問)就畫這一個三角形嗎?

生:(思考之后又畫出另一個三角形,如圖5)兩個三角形拼合在一起就是一個小正方形,面積是2平方分米,圓的面積一定大于2平方分米小于4平方分米。

師:(豎起大拇指,轉向已經知道公式的學生)請已知者算一算,看看我們猜得對不對。

生:3.14×12=3.14(平方分米),猜想是正確的。

師:同學們,這場討論太有意義了。首先我們見到一個圓,于是展開了猜想,好幾位同學馬上想到了圓外邊的正方形,借助圓外邊的正方形,我們得出一個結論——圓的面積一定小于4平方分米。我們在圓里邊畫了兩個三角形,兩個三角形正好拼成一個圓內最大正方形,發(fā)現三角形的高就是半徑,底就是直徑,借助它求出小正方形的面積是2平方分米。于是同學們得出了一個重要的結論,這個圓的面積一定是在2平方分米和4平方分米之間。還有同學用圓的面積計算公式求出圓的面積是3.14平方分米,就在2平方分米和4平方分米之間,和我們的猜想是一致的。

【賞析】能夠自己想辦法解決新問題是創(chuàng)新能力的一個具體表現。吳老師課上給學生時間和空間,引導學生獨立思考想到“圓的面積不會求,但是可以把它轉化成最接近的正方形”。吳老師根據學生基礎,巧妙地引導學生找到圓內的兩個三角形,進而找到內接正方形,引導學生在圓和方的轉化中得到圓的面積的取值范圍。在這個過程中,學生的推理意識、空間觀念、幾何直觀及創(chuàng)新意識得到發(fā)展。

(二)激活元認知,積累度量經驗。

師:同學們,當我們看到一個圓,如果只知道面積的取值范圍能解決所有問題嗎?你們還想知道什么?

生:我想知道圓的面積到底有多大。

師:是啊,這個圓的面積到底有多大呢?有什么辦法能夠獲得它準確的大小呢?這就是我們這節(jié)課要繼續(xù)討論的核心問題。你們每兩人一組,拿出圓形紙片,看看有什么辦法獲得它的大小。有困難的可以舉手,老師會幫助你。

(學生兩人一組開始研究,教師巡視了解情況)

師:你們在研究的過程中遇到了什么問題?

生:我們想用數方格的方法找圓的面積,有些方格是被圓填滿的,有些方格沒有填滿,于是我們準備想辦法把它們拼接起來,但是這個圓的邊是弧形的,拼在一起總會有空隙,怎么把它拉直呢(如圖6)?

師:這個小組的同學發(fā)現邊邊角角的這些地方不是完整的一格,這把他們難住了。這條弧線是彎彎的線,你們腦子里想把彎彎的線拉直,暫時沒有找到辦法,別著急,你們先聽聽另一個小組同學的問題。

生:我們組遇到的問題是,我們先用一個大方格來數數,可是剩下的不滿一整格的太多了,這樣測量不會特別精準,于是我們就選用小一點的方格來測量。

師:太好啦,正好老師給你們準備了小一點的方格紙,鋪上去,看看會怎么樣。

(兩個學生將小一點的透明方格紙鋪在圓上,如圖7)

生:方格小了,就會比剛才測量得更準確。

師:如果我們還想測量得再準確點呢?(學生齊說把方格再變小)對,就要用再小一點的方格測量,老師這兒還有更小的方格,誰來測量看看?

(學生把更小的透明方格紙鋪在圓上,如圖8)

生:能數的整方格更多了,但是仍然有不是整格的地方。

師:大家的想法很好。如果想知道這些不是整格的地方有多大,就要用更小的方格測量。還有不是整格的,就再把方格變小,不斷地變小、變小,我們測量的結果就會越來越接近圓的面積,越來越精確。

【賞析】圖形測量的本質就是單位的不斷累加。學生在直線段圍成的平面圖形面積的學習過程中,已經多次用到借助方格紙尋找圖形的面積,吳老師課前也發(fā)給學生透明的方格紙。但是學生在測量的時候出現了困惑——會有很多彎曲的不滿一格的地方,借助學生的建議“可以用小一點的方格測量”,吳老師引導學生實實在在地經歷了“單位不斷細化”的過程,讓學生直觀感受到隨著方格變小,可以準確測量的地方越來越大,測量的結果不斷接近圓的面積。既有直觀的觀察、發(fā)現,也有想象、推理,在這個過程中,學生感悟“單位”的意義和“單位測量”的意義,積累了測量的經驗,同時很好地落實了空間觀念和推理意識的培養(yǎng)。

(三)從未知到已知,發(fā)展推理意識。

師:同學們剛才說這些彎彎的地方不好測量,你們有什么辦法嗎?

生:我想把這些沒鋪滿的地方剪下來,它們有的大、有的小,把它們拼起來。

師:你想把它們剪下來,再拼成能鋪滿的方格。這樣做可以,你們就沒有別的辦法了嗎?(學生思考中)大家手里都有這樣的一個圓形紙片,你想怎么研究都可以,若需要工具可以向老師要。

(不一會兒,有學生動手拿起剪刀)

師:(追問)你為什么拿起剪刀?

生:這是我要用的工具。

師:你們自己都準備了工具,那就大膽地干吧。

(教師走進學生中間,聽著、看著,并鼓勵不敢動手的學生)

師:這個圓形紙片就是你的,你可以隨意剪,不成功也沒關系,失敗是成功之母嘛。(當發(fā)現有一個學生把圓剪成兩半后,吳老師舉起作品)他大膽地把圓剪成了兩半,這邊還是彎彎的,還能不能……

(在教師的啟發(fā)下,學生呈現出不同的轉化方法)

生:我們將圓分成了若干個小扇形,通過首尾相接的方式拼成了一個帶有凹凸的平行四邊形(如圖9,示意圖)。

生:我們也是這樣的做法,但是剪成的扇形更小,拼成的“平行四邊形”也更標準。

師:剛才我看到一位同學,將圓切成四塊,是哪位同學?

生:是我,但是我發(fā)現用四塊拼成的“平行四邊形”的邊太彎了,不直,后來我又多分了幾份,這樣拼出的圖形就更接近平行四邊形了。

(學生到前面貼出自己的方法)

師:同學們真棒,自己動手剪一剪、拼一拼,發(fā)現把圓等分成的份數越多,拼成的新圖形越接近平行四邊形,那些彎彎的線看上去越來越直了。再想想,只能拼成“平行四邊形”嗎?

(在教師的鼓勵和啟發(fā)下,學生又呈現出不同的轉化方式)

生:我可以拼成“三角形”(如圖10)。

生:我能拼成“梯形”(如圖11)。

【賞析】學生雖然積累了一些研究平面圖形面積的方法,但是圓這個圖形特殊在它是曲邊圖形,有很多彎彎曲曲的地方用方格沒辦法鋪滿。吳老師借助學生的困惑,給學生充分的思考時間,鼓勵學生想辦法、找工具,鼓勵學生“可以剪”。在討論、探索中,在教師的啟發(fā)、幫助下,學生想到了把圓剪開,從剪成兩份、四份、八份,到剪成更多份,從而感悟“分得越細,就越接近‘直邊’”。雖然吳老師沒說化曲為直,卻讓學生逐步體會化曲為直的思想。

(四)總結規(guī)律,感悟面積本質的一致性。

師:我們把圓等分成若干個小扇形,再重新拼一拼,就轉化成了學過的圖形。有的拼成“平行四邊形”,有的拼成了“梯形”和“三角形”。這些轉化成的圖形面積和圓的面積一樣嗎?

生:一樣,圓的面積就是多少個扇形面積的和。

師:你們能求出圓的面積嗎?

生:我們會求,這些“平行四邊形”“三角形”“梯形”的面積不就相當于圓的面積嗎?

生:平行四邊形的面積是底乘高,三角形的面積是底乘高除以2,梯形的面積是上底加下底的和乘高除以2。

師:同學們,我們要求出一個圓的面積,總不能把每個圓都先轉化成這些圖形吧?請同學們仔細觀察,轉化前后的圖形之間有什么聯系?你能試著根據圖形之間的聯系推導出圓的面積計算公式嗎?

(學生再次進入獨立思考中,小組討論后,教師組織大家交流)

師:很多同學都有想法了,我們一起分享。

生:這個是由圓重新拼成的“平行四邊形”,我發(fā)現“平行四邊形”的面積和圓的面積相同,“平行四邊形”的底大約就是原來圓周長的一半,這個從等分成四份的圖形就能看出來(如圖12)?!捌叫兴倪呅巍钡母呔褪菆A的半徑。這就是它們之間的聯系。

生:為什么高PsWS83f5KAKnI7fPiHSK3bK3PCEIJZMKX4xvgCxU0ao=就是圓的半徑呢?

師:是啊,平行四邊形的高在哪兒?它是圓的半徑嗎?

生:如果它是一個長方形就好了。

師:怎么把它變成一個長方形呢?觀察一下黑板上這三個近似的平行四邊形。

生:應該繼續(xù)把圓分下去,這樣它就越來越像一個長方形了。

師:哦,是這樣嗎?那咱們一起看看。

教師利用課件展示:隨著扇形的份數越來越多,整個圖形也越來越接近長方形(如圖13)。

師:現在你會推導圓的面積計算公式了嗎?試試看。

(學生在教師的鼓勵下又開始了研究,有的在紙上寫,有的兩三個人開始討論)

生:長方形的面積計算公式是長乘寬,寬就是圓的半徑,長就是圓周長的一半,所以圓的面積就是S=C÷2×r。

師:大家看有問題嗎?

生:書上圓的面積計算公式是S=[πr2],與這個公式不一樣。

師:這是怎么回事?難道我們推導錯了嗎?

(學生進入思考中)

生:我知道啦,S=C÷2×r,因為圓的周長C=2×r×[π],所以圓的面積S=2×r×[π÷2×r]=[πr2]。

(學生終于統(tǒng)一了圓面積計算公式)

師:多有條理啊,哪位同學愿意再說說?(請另外兩個學生說說公式是怎么推導出來的)同學們,你們知道嗎?把圓轉化成近似的梯形和三角形也能推導出圓的面積計算公式,感興趣的同學可以再試試。

【賞析】教師鼓勵學生自己推導圓的面積計算方法,抓住學生的困惑“高是圓的半徑嗎”引導學生對比觀察,想辦法。最后利用課件幫助學生想象:分成的小扇形越多,拼成的圖形越接近長方形。在推導圓的面積計算公式過程中,給更多學生表達的機會,在表達的過程中發(fā)展推理意識。

三、在回顧總結中溝通聯系,建立整體結構

師:回顧推導圓的面積計算公式的過程,給你留下深刻印象的是什么?

生:求圓的面積的方法其實和求長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積是一樣的,都要看看能鋪滿多少個面積單位。

生:要學會前后聯系地想問題,要求圓的面積,我們想一想正方形的面積,還可以轉化為近似的平行四邊形、三角形、梯形呢。

生:要不斷地思考、思考、再思考,不斷地想問題。

生:要勇敢嘗試不怕失敗,我直接用剪刀把圓形紙片剪成了兩半,沒想到這樣一直剪下去就找到了解決的辦法。

生:我們不僅要知道圓的面積計算公式,還要知道這個公式是怎么推導出來的。

師:大家說得真好?。∧銈冊谔剿鲌A的面積計算公式的過程中有了重要的發(fā)現,看到圓面積和其他圖形面積都是以面積單位為核心進行測量,最終都是面積單位累加的結果,這就是平面圖形面積的一致性。同學們在學習的過程中不斷地發(fā)現問題、獨立思考、勇于嘗試、挑戰(zhàn)困難……這就像科學家那樣去學習、去探索,老師很佩服大家。

師:同學們,開始上課時提出的問題,圓形草坪的面積是多少能獨立解決了嗎?

(學生都順利解決了問題)

【賞析】教師在課堂的最后引導學生反思學習的過程,不僅促進學生進一步積累活動經驗和思維經驗,促進學生思維品質的提升,而且在學生心中種下一顆科學探究的種子,培養(yǎng)學生的科學精神,發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

(作者單位:吳正憲,北京教育科學研究院;劉金玲、武維民,北京市房山區(qū)教師進修學校;劉思成,首都師范大學附屬房山學校) H

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