教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)。

該課例所在知識(shí)團(tuán)分析：

“常見數(shù)量關(guān)系解決問題總復(fù)習(xí)”屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“數(shù)量關(guān)系”主題“乘法模型解決問題”知識(shí)團(tuán)。為更好地設(shè)計(jì)課題，教師針對(duì)該課題所在知識(shí)團(tuán)做了如下分析研究。

一、“乘法模型解決問題”研究背景分析

（一）課標(biāo)對(duì)乘法模型解決問題的相關(guān)要求

“乘法模型解決問題”知識(shí)團(tuán)屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“數(shù)量關(guān)系”主題。課標(biāo)指出：經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識(shí)和初步的應(yīng)用意識(shí)。每個(gè)階段又有各自的側(cè)重點(diǎn)，有了乘法模型，解決問題也就有了抓手。

（二）教學(xué)中對(duì)用乘法模型解決問題的困惑與思考

訪談?wù){(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生經(jīng)過小學(xué)六年的學(xué)習(xí)，對(duì)乘法數(shù)量關(guān)系認(rèn)識(shí)比較豐富，但是對(duì)相關(guān)數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系認(rèn)識(shí)不夠清晰。如何在解決問題教學(xué)中理解數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建乘法模型？如何利用乘法模型提高學(xué)生解決問題的能力？如何把握相關(guān)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)關(guān)系的一致性？這些成為我思考的問題。

二、“乘法模型解決問題”內(nèi)容分析

二年級(jí)上冊(cè)乘法意義的學(xué)習(xí)是進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算的依據(jù)，也是學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系、解決問題的基礎(chǔ)。這一階段主要是運(yùn)用乘除的意義解決問題，“幾個(gè)相同加數(shù)的和”是學(xué)生構(gòu)建乘法意義的生長(zhǎng)點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)探究過程中體會(huì)乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，逐步理解乘法的含義，實(shí)現(xiàn)加法模型向乘法模型的轉(zhuǎn)變。而二年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的解決問題是平均分和包含除，用到乘法模型的變式總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)或總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)。這一學(xué)習(xí)過程通過對(duì)除法意義的理解分析數(shù)量關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)用乘法模型解決問題。而三年級(jí)上冊(cè)和三年級(jí)下冊(cè)都是乘法模型解決問題的復(fù)合運(yùn)用。其中，歸一問題是用除乘法解決問題，而大問題情境是每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)，每份數(shù)不變。歸總問題是用乘除法解決問題，大問題情境是總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)或總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)，總數(shù)不變。這些都在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)變中不變的思想，為用比例法解決問題埋下伏筆。

四年級(jí)上冊(cè)“常見數(shù)量關(guān)系”的學(xué)習(xí)豐富了學(xué)生對(duì)乘法模型的認(rèn)識(shí)，正式學(xué)習(xí)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，路程=速度×?xí)r間這兩個(gè)乘法模型。它們的變式可以寫成：?jiǎn)蝺r(jià)=總價(jià)÷數(shù)量，數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，速度=路程÷時(shí)間，時(shí)間=路程÷速度。這個(gè)板塊的學(xué)習(xí)有著承上啟下的作用，上聯(lián)二年級(jí)乘法意義的學(xué)習(xí)，下接五、六年級(jí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)以及用比例解決問題的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在解決復(fù)雜問題中實(shí)現(xiàn)對(duì)乘法模型的拓展。這些知識(shí)間存在一致性，都是對(duì)每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)這一乘法模型實(shí)際運(yùn)用的具體化。學(xué)生需要在這一階段的學(xué)習(xí)中獲得對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解，正式建立模型。

經(jīng)過用字母表示關(guān)系的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的一般化表達(dá)，進(jìn)一步豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)，這條線的分析主要是等量組聚焦模型的建立過程，引導(dǎo)學(xué)生通過進(jìn)階學(xué)習(xí)深刻體會(huì)模型是用來解決一類具有不同情境相同數(shù)學(xué)問題的方法。

另一條線是倍數(shù)模型的建立過程，從三年級(jí)上冊(cè)開始倍的認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)后，就安排了相應(yīng)的解決問題。倍數(shù)關(guān)系的建立拓寬了乘法模型解決實(shí)際問題的應(yīng)用范圍，從而幫助學(xué)生進(jìn)一步理解乘除法的意義，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。而倍數(shù)關(guān)系的乘法模型包括變式，在這一階段都開始滲透學(xué)習(xí)，主要包含三類，即求倍數(shù)、求一倍量和求幾倍量的實(shí)際問題，這和求總數(shù)、求每份數(shù)、求份數(shù)是一致的。

分?jǐn)?shù)乘除法和百分?jǐn)?shù)解決問題的學(xué)習(xí)，主要以倍數(shù)模型為主、等量組的聚焦模型為輔。模型反映了結(jié)構(gòu)化的思想，到了這個(gè)階段需要把握一類問題的本質(zhì)與規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)模型應(yīng)用的融會(huì)貫通。乘法模型就是在表達(dá)數(shù)量之間的相等關(guān)系。因此，“乘法模型”和“相等”是這一知識(shí)團(tuán)的核心概念。

基于以上分析，可見在該知識(shí)團(tuán)的教學(xué)中，我們只有把握好核心概念，才能建構(gòu)每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)的乘法模型，那具體在教學(xué)中怎樣做呢？

三、教學(xué)建議

（一）注重梳理，讓數(shù)量關(guān)系清晰化

在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)量關(guān)系，將其從具體情境中抽象出來。第一學(xué)段主要利用乘除法的意義，借助畫圖和實(shí)物操作等幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，解決問題。第二學(xué)段在學(xué)生利用乘除法意義的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握常見的數(shù)量關(guān)系模型，同時(shí)通過畫線段圖理解數(shù)量關(guān)系，建立模型。第三學(xué)段從畫線段圖逐步過渡到離開直觀圖，從關(guān)鍵句式進(jìn)行分析，逐步學(xué)會(huì)思考，拓展模型的應(yīng)用，從而提高解決問題的能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)量關(guān)系。

（二）注重聯(lián)系，讓數(shù)量關(guān)系集中化

乘法模型應(yīng)用廣泛，“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系就能統(tǒng)領(lǐng)一串相關(guān)知識(shí)，我們要善于分析知識(shí)之間、數(shù)量和數(shù)量之間、數(shù)學(xué)與生活之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓教學(xué)呈現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)相連、線線相通的脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析數(shù)量之間的關(guān)系。

（三）注重根植，讓數(shù)學(xué)關(guān)系深入化

教師在解決問題教學(xué)中要持續(xù)指向數(shù)量關(guān)系，才能讓學(xué)生在感受模型、抽象模型、應(yīng)用模型的過程中關(guān)注并把握數(shù)量關(guān)系，逐步建立“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的乘法模型。這樣學(xué)生才能更好地完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化的整體思維，最終實(shí)現(xiàn)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系。本節(jié)課借助線段圖、樹狀圖、解題策略的回顧，使學(xué)生明分析之理，懂分析之策，通解題之法。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

▲教學(xué)目標(biāo)

1.借助線段圖梳理常見的數(shù)量關(guān)系，溝通數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的乘法模型；在運(yùn)用乘法模型解決實(shí)際問題的過程中，滲透解決問題的策略，掌握利用樹狀圖分析數(shù)量關(guān)系解決問題的方法。

2.經(jīng)歷整理復(fù)習(xí)的過程，感悟一類問題的本質(zhì)和規(guī)律，進(jìn)一步理解數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，能夠根據(jù)問題選擇合適的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析與思考，提高解決問題的能力。

3.在探究過程中，體會(huì)乘法模型的力量，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

其中，教學(xué)重點(diǎn)是借助線段圖梳理常見的數(shù)量關(guān)系，溝通數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的乘法模型；在靈活運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的過程中，掌握利用樹狀圖分析數(shù)量關(guān)系解決問題的方法。教學(xué)難點(diǎn)是能夠根據(jù)問題靈活選擇合適的數(shù)量關(guān)系分析與思考，提高解決問題的能力。

▲學(xué)情分析

六年級(jí)學(xué)生經(jīng)歷了六年的小學(xué)學(xué)習(xí)后，對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)比較豐富，但是缺少對(duì)相關(guān)數(shù)量關(guān)系之間內(nèi)在聯(lián)系的思考。

▲教學(xué)設(shè)想

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)第六單元“整理和復(fù)習(xí)”中對(duì)“解決問題”內(nèi)容的總復(fù)習(xí)只有例9和例10兩個(gè)例題。例9是復(fù)習(xí)解決問題的一般思路和步驟，例10是用分?jǐn)?shù)乘除法解決問題。但是在第77頁“做一做”和第79頁第8題中出現(xiàn)用常見數(shù)量關(guān)系解決問題的題目。而解決問題總復(fù)習(xí)教學(xué)不能只停留在對(duì)各種類型解決問題的羅列再現(xiàn)，應(yīng)打通一類問題的聯(lián)系，掌握解決問題的方法。因此，為提高學(xué)生解決問題的能力，溝通小學(xué)階段常見數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，我確定以“常見數(shù)量關(guān)系解決問題總復(fù)習(xí)”為主線進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

本節(jié)課重在梳理小學(xué)階段常見數(shù)量關(guān)系，滲透解題策略，引導(dǎo)學(xué)生感悟一類問題的本質(zhì)，掌握方法，體會(huì)化繁為簡(jiǎn)的思想，培養(yǎng)模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。在課堂教學(xué)中，教師要立足數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)理解，注重各類問題數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系與溝通；立足數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的變換，把小學(xué)階段散亂的常見數(shù)量關(guān)系解決問題進(jìn)行結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，抽象出“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一本質(zhì)模型，幫助學(xué)生構(gòu)建聚焦本質(zhì)的解決問題認(rèn)知體系。

▲教學(xué)過程

（一）明關(guān)系之理，建立模型

1.數(shù)形結(jié)合，理解意義

課件出示線段圖：

■

教師：誰能看懂這個(gè)線段圖表示什么意思？用算式怎樣表示？為什么用乘法計(jì)算？想一想生活中有哪些問題可以用這個(gè)線段圖來解決？

學(xué)生思考后回答。

小結(jié)：一下子抓住了問題的本質(zhì)。這些問題雖然情境不同，但都是求4個(gè)5是多少。

2.變換數(shù)據(jù)，梳理問題

課件出示：

一輛汽車每小時(shí)行70千米，4小時(shí)行多少千米？

織布機(jī)每小時(shí)織布20.7米，5小時(shí)織多少米？

每千克蘋果■元，買3千克蘋果共花多少錢？

每千克蘋果■元，買a千克蘋果共花多少錢？

師：這些題還能用這個(gè)線段圖來解決嗎？說明理由?？吹竭@些題目，你想起了哪個(gè)數(shù)量關(guān)系？算式是什么？為什么用乘法解決？

學(xué)生思考后回答。

小組討論：觀察這些問題的線段圖、算式、數(shù)量關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生匯報(bào)交流：都用乘法計(jì)算，都是求幾個(gè)幾是多少；線段圖都是知道一段和幾段，求一共是多少。

根據(jù)學(xué)生回答適時(shí)板書，揭示：每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)。

小結(jié)：不管是在不同情境中有不同的數(shù)量關(guān)系，還是在同一個(gè)情境中，把這些數(shù)量換成不同的數(shù)據(jù)，都有這樣一個(gè)相同的關(guān)系把它們連在一起。當(dāng)用每份數(shù)×份數(shù)求總數(shù)時(shí)歸根結(jié)底和乘法的意義有關(guān)系，就是求幾個(gè)幾相加的和是多少。這些求幾個(gè)幾相加的問題不僅線段圖一樣，數(shù)量關(guān)系也一樣。

（二）懂分析之策，應(yīng)用模型

1.分享交流，提煉方法

課件出示探究活動(dòng)要求：

一輛汽車1.5小時(shí)行105千米，4小時(shí)行多少千米？

1.讀一讀：題目中的已知條件和要解決的問題。

2.想一想：用哪個(gè)數(shù)量關(guān)系式解決問題，列式解答。

3.說一說：和同桌交流你的想法。

學(xué)生思考后分享交流。

師：從4小時(shí)共行多少千米開始想起，這叫從問題想起。

師生一起回顧剛才的解題過程，并提煉從問題想起分析數(shù)量關(guān)系的解題策略。

■

師：除了從問題想起，還可以從條件想起，誰能試著分析？

學(xué)生嘗試分析。

■

2.觀察對(duì)比，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系

課件出示：

一輛汽車每小時(shí)行70千米，4小時(shí)行多少千米？

一輛汽車1.5小時(shí)行105千米，4小時(shí)行多少千米？

師：這兩道題有什么相同和不同的地方？

學(xué)生觀察后全班交流。

師：在解決這個(gè)問題的時(shí)候，我們知道了“總數(shù)”就能求出——

生：每份數(shù)。

師：無論從哪里開始想，解決這類問題時(shí)，就是在研究誰與誰的關(guān)系？

生：“每份數(shù)”和“總數(shù)”之間的關(guān)系。

3.多樣方法，溝通聯(lián)系

師：這一題還能利用我們學(xué)過的什么知識(shí)來解答？你是怎么想到的？

學(xué)生思考后分享想法。

教師根據(jù)學(xué)生回答出示課件：

一輛汽車1.5小時(shí)行105千米，4小時(shí)行多少千米？

解：設(shè)4小時(shí)行x千米。

105∶1.5=x∶4

總數(shù)∶份數(shù)=總數(shù)∶份數(shù)

小結(jié)：原來六年級(jí)我們學(xué)習(xí)的正比例知識(shí)也是研究這個(gè)數(shù)量關(guān)系的，只不過呈現(xiàn)的形式不一樣。

4.回顧總結(jié)，梳理方法

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧前面的解題過程，梳理解決問題的一般方法。

（三）通解題之法，拓展模型

1.變化條件，靈活運(yùn)用

課件出示：

一批零件，李師傅每分鐘做80個(gè)，5分鐘可以完成。王師傅8分鐘完成，他每分鐘做了多少個(gè)零件？

（1）閱讀與理解：說一說題目中的已知條件和要解決的問題。

（2）分析與解答：利用樹狀圖分析數(shù)量關(guān)系，并列式解答。

（3）回顧與反思：從條件想起或從問題想起，重新思考解題過程，驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果。

學(xué)生根據(jù)探究要求完成問題，完成后匯報(bào)交流。

小結(jié)：原來利用反比例解決問題也和這個(gè)數(shù)量關(guān)系有關(guān)系。一切復(fù)雜源于簡(jiǎn)，找到了問題解決的源頭就會(huì)找到更好的解題方法。

2.綜合運(yùn)用，提升能力

課件出示探究要求：

六年級(jí)辦公室買進(jìn)一包A4紙，計(jì)劃每天用25張，可以用20天。

（1） ，實(shí)際可以用多少天？

要求：在橫線上加一個(gè)條件，變成兩步計(jì)算的問題。

（2） ，實(shí)際可以用多少天？

要求：在橫線上加一個(gè)條件，變成三步計(jì)算的問題。

（3）如果每張紙大約重5.3克，這包紙一共重多少千克？

先小組交流，再自主完成問題。

學(xué)生匯報(bào)交流想法。

師：從補(bǔ)充的信息中，你發(fā)現(xiàn)了什么？從兩步變?yōu)槿?，你有什么好方法？解決問題的步數(shù)不一樣，什么沒變？

小結(jié)：紙的原料之一就是樹木。習(xí)近平總書記說：“綠水青山就是金山銀山。”我們一定要養(yǎng)成節(jié)約用紙的習(xí)慣，造福未來。

（四）回顧總結(jié)，融會(huì)貫通

1.橫縱觀察，聚焦本質(zhì)

師：學(xué)習(xí)到這里，你找到用常見數(shù)量關(guān)系解決問題的方法了嗎？

生：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

師：對(duì)了。就是這個(gè)乘法數(shù)量關(guān)系。這節(jié)課我們從二年級(jí)的知識(shí)拉開序幕，從此你走過三年級(jí)、四年級(jí)、五年級(jí)，再回到六年級(jí)，你有了什么收獲？（課件展示課本相關(guān)內(nèi)容圖片）

2.反思提升，發(fā)展能力

小結(jié)：數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系緊密，用聯(lián)系的眼光學(xué)數(shù)學(xué)，會(huì)讓我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來越簡(jiǎn)單。希望大家在今后的復(fù)習(xí)中，能夠不斷前后聯(lián)系、不斷深入思考，悟出新的道理！

（作者單位：濟(jì)南市催馬小學(xué)）

編輯：常超波

作者簡(jiǎn)介：史家娟，現(xiàn)任濟(jì)南市催馬小學(xué)教學(xué)管理部副部長(zhǎng)，一級(jí)教師，執(zhí)教課例獲市中區(qū)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)、山東省優(yōu)課等，被評(píng)為市中區(qū)教學(xué)能手，市中區(qū)“經(jīng)緯三名工程”人選。