摘 要：學(xué)生在有邏輯地表達(dá)以及探索解決數(shù)學(xué)問題時，必須運(yùn)用批判性思維.數(shù)學(xué)批判性思維能力的培養(yǎng)要以數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，學(xué)生不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)中結(jié)論的正確與否，而且要關(guān)注結(jié)論得出的原因.學(xué)生要以批判性的思維去思考數(shù)學(xué)，去把握數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)，從而真正做到數(shù)學(xué)答案合乎邏輯、嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確且合理.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；邏輯思維；批判性思維

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)具有獨(dú)立思考的能力.在課程的學(xué)習(xí)以及教師的教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維得到鍛煉以及發(fā)展，數(shù)學(xué)批判性思維在數(shù)學(xué)邏輯思維的基礎(chǔ)上得到了升華，這也體現(xiàn)了思維水平的進(jìn)一步發(fā)展.學(xué)生具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)與現(xiàn)實(shí)世界的知識相結(jié)合，他們不只是掌握書本上的數(shù)學(xué)知識，更重要的是思維能力的培養(yǎng).隨著21世紀(jì)信息技術(shù)不斷發(fā)展進(jìn)步，新時代的學(xué)生應(yīng)該具有探索事物本原的基本素養(yǎng)，以批判性的視角去看待問題，進(jìn)而綜合運(yùn)用知識解決實(shí)際問題.本文旨在分析數(shù)學(xué)批判性思維的價值，并提出培養(yǎng)批判性思維的策略，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供助力.1 數(shù)學(xué)批判性思維的基本闡述批判性思維是心理學(xué)術(shù)語，是指通過一定的評價思維，進(jìn)而改善思維，是合理的反思性思維.批判性思維的萌芽來自古希臘哲學(xué)家蘇格拉底（Socrates）對批判性思維的實(shí)踐，進(jìn)而被眾多學(xué)者如柏拉圖（Plato）、亞里士多德（Aristotle）等繼承發(fā)展，從而透過表面，看清內(nèi)在本質(zhì).雖然說批判性思維由來已久，但是并未有系統(tǒng)的闡述.在20世紀(jì)中葉，國外心理學(xué)界對此給出了定義，但概念的界定仍然有分歧，一種觀點(diǎn)認(rèn)為批判性思維是一種能力；另一種觀點(diǎn)認(rèn)為批判性思維是一種思維過程，但二者都有一個共識，即批判性思維是有目的性及自我調(diào)節(jié)的判斷.

在我國，對于批判性思維的認(rèn)識，不同的哲學(xué)流派或者心理學(xué)派以不同的角度探索、研究、闡述過，因此各有不同的側(cè)重點(diǎn)，并不矛盾.例如，從個體角度看，批判性思維就是一種個體存在的能力；從認(rèn)知角度來看，批判性思維就是一種認(rèn)知過程.國內(nèi)外研究者們基本達(dá)成的一致觀點(diǎn)是批判性思維包含三個維度：批判性思維知識、批判性思維技能、批判性思維傾向.［1］

數(shù)學(xué)批判性思維是批判性思維所涵蓋的一部分，二者之間是包含關(guān)系，是批判性思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn).關(guān)成志教授研究論述了數(shù)學(xué)思維具有批判性品質(zhì)的觀點(diǎn).［2］在此基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)特級教師孫聯(lián)榮提出了數(shù)學(xué)教育維度的批判性思維的定義.［3］數(shù)學(xué)批判性思維是指對已有數(shù)學(xué)表述和論證提出自己的見解，敢于質(zhì)疑，獨(dú)立思考，不輕信，不盲從.反映到學(xué)生身上來說就是學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己和他人認(rèn)知方面的錯誤認(rèn)識以及不足，獨(dú)立思考，與教師討論，并加以完善總結(jié)，唯“知識”，但不唯“教師”.

按照批判性思維所涵蓋的三個維度，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)批判性思維也應(yīng)當(dāng)涵蓋三個維度：數(shù)學(xué)批判性思維知識、數(shù)學(xué)批判性思維技能、數(shù)學(xué)批判性思維傾向.［4］如圖1所示，三個維度有機(jī)結(jié)合，共同發(fā)揮著作用.

數(shù)學(xué)批判性思維知識包括以下三點(diǎn)：①數(shù)學(xué)批判陳述性知識.它是指在描述數(shù)學(xué)批判性思維的特點(diǎn)以及關(guān)系時，起到描述作用的知識.如對已有的數(shù)學(xué)命題或結(jié)論的批判性描述，是外顯表達(dá)的第一步.它所代表的是“是什么”的問題.②數(shù)學(xué)批判程序性知識.它是指關(guān)于數(shù)學(xué)批判性思維的帶有完整操作步驟的知識.如對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行辨別差異、比較、分析.它所代表的是“做什么”和“怎么做”的問題.③數(shù)學(xué)批判元認(rèn)知知識.它是指對數(shù)學(xué)批判性思維知識認(rèn)識的知識，以及認(rèn)識主體對自身知識認(rèn)識的知識.如自己對數(shù)學(xué)知識的掌握情況以及薄弱情況的了解，哪些是清晰明確的，哪些是模糊不清的.

數(shù)學(xué)批判性思維技能包括以下七點(diǎn)：①觀察理解能力，即對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行觀察，以及對數(shù)學(xué)命題結(jié)論的外在理解.②分析思考能力，即有邏輯地對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析，獨(dú)立地進(jìn)行思考，富有內(nèi)涵的邏輯論斷，進(jìn)而分析出正確結(jié)論.③判斷評價能力，即對數(shù)學(xué)問題，有根據(jù)地進(jìn)行判斷，在思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思，根據(jù)具體問題進(jìn)行評價，判斷其是否正確，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中不足.④假設(shè)推理能力，即在判斷評價的基礎(chǔ)上，運(yùn)用頭腦中已有的數(shù)學(xué)知識和技能，進(jìn)行歸納、演繹，進(jìn)而提出自己的假設(shè)，正確地進(jìn)行推理.⑤證實(shí)推導(dǎo)能力，即整體的框架已經(jīng)顯現(xiàn)，當(dāng)前這一環(huán)節(jié)在于將已經(jīng)假設(shè)推理出的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用有邏輯的方式方法進(jìn)行反復(fù)驗(yàn)證推導(dǎo)，進(jìn)而形成一個完整的邏輯閉環(huán).⑥驗(yàn)證監(jiān)控能力，即以數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行驗(yàn)證新提出的假設(shè)正確與否，亦即對整個系列過程進(jìn)行證明，在此之上，還對其進(jìn)行整體的環(huán)節(jié)進(jìn)行監(jiān)控，為的是使整個過程更加合理、準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)，沒有遺漏.⑦反思總結(jié)能力，即對整體的把握，需要進(jìn)行綜合的復(fù)盤，一方面，在原有的問題上，對數(shù)學(xué)知識的綜合把握；另一方面，在后續(xù)問題上，不斷探索完善，進(jìn)而進(jìn)行創(chuàng)新.綜上所述，各個技能并非獨(dú)立于數(shù)學(xué)批判性思維之外，而是各個技能之間相互協(xié)調(diào)、多元化形式作用的結(jié)果，而且它們也并不是單一存在的，之間也還存在著聯(lián)系，是以所學(xué)的數(shù)學(xué)知識作為其核心，各種技能相互協(xié)調(diào)聯(lián)系的總和.其中分析思考、判斷評價、提出質(zhì)疑，是數(shù)學(xué)批判性思維體現(xiàn)的核心，直接影響著數(shù)學(xué)批判性思維的產(chǎn)生.此外，這些技能并非按照以上的順序進(jìn)行下去的，而是構(gòu)成數(shù)學(xué)批判性思維的一系列要素.

批判性思維傾向是指有意識地進(jìn)行評判的心理準(zhǔn)備狀態(tài)、意愿和情感，是一種根據(jù)心理狀態(tài)而產(chǎn)生的能動性思想.［5］對于數(shù)學(xué)批判性思維傾向，筆者認(rèn)為是運(yùn)用數(shù)學(xué)的整體思維去能動性地評判數(shù)學(xué)問題的意向.數(shù)學(xué)批判性思維傾向主要包括以下五點(diǎn)：①思想的求真性，即對數(shù)學(xué)知識存在著一種執(zhí)著的精神，探求數(shù)學(xué)真理與知識，不人云亦云，冷靜求真，唯“真理”，不唯“教師”.②思想的開放性，即在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，對某一數(shù)學(xué)知識，出現(xiàn)了不同的看法時，采取寬容的處理方式，積極討論，防止出現(xiàn)偏見的可能.③求知與好奇心，即個體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，所產(chǎn)生的自我內(nèi)驅(qū)力，促進(jìn)其求知好奇的進(jìn)一步發(fā)展，也就是好奇心的產(chǎn)生，驅(qū)使個體自我探索，發(fā)現(xiàn)新問題，做出更進(jìn)一步的嘗試.④公正性的思考，即數(shù)學(xué)中更應(yīng)該注重這種公正性的思考形式.錯誤或者是不同數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的討論，尤其需要這種公正性的思考，只有這樣才更能迸發(fā)出批判性的討論，從而完善思維過程.⑤情感的發(fā)展，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所蘊(yùn)含的情感發(fā)展之一是自信心.自信是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中以及在日常生活中進(jìn)行良好互動時必須具備的一種態(tài)度.良好的自信心不僅為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供動力，而且還有助于塑造學(xué)生的良好品格.2 數(shù)學(xué)批判性思維的價值數(shù)學(xué)批判性思維是正確的反思性思維方式，其核心在于選擇認(rèn)識到數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的知識是什么，為什么這樣，怎么才能成為這樣.這樣的思維，首先要通過提出數(shù)學(xué)問題，清晰明確地表達(dá)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，其次要利用自己頭腦中原有的數(shù)學(xué)知識儲備來分析數(shù)學(xué)問題，最后從各種數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中發(fā)現(xiàn)不同，敢于質(zhì)疑否定，因此自信在此過程中也尤為重要.學(xué)生要勇于堅(jiān)持自己的觀點(diǎn)，不斷驗(yàn)證假設(shè)猜想，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題，得出結(jié)論.數(shù)學(xué)的某些問題需要反復(fù)的論證討論，才能辨?zhèn)吻笳?，達(dá)到數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)哪康?

2.1 數(shù)學(xué)批判性思維可以提升提出數(shù)學(xué)問題的能力

提出數(shù)學(xué)問題是解決一切數(shù)學(xué)問題的前提條件，只有敢于提出不同的問題，才能有數(shù)學(xué)問題的后續(xù)發(fā)展.學(xué)生一旦具備了數(shù)學(xué)批判性思維，并能夠合理地進(jìn)行運(yùn)用，那么在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的思考時，就能夠快速地發(fā)現(xiàn)其中的問題，并能夠提出富有建設(shè)性意義的意見和看法.例如，試證明無理數(shù)加上無理數(shù)，還是無理數(shù)，并寫出證明過程.如果這一道數(shù)學(xué)證明題擺在學(xué)生面前，在進(jìn)行提問時，學(xué)生首先會想到的是什么呢？大部分學(xué)生會在看到題目的第一眼，首先進(jìn)行思考，認(rèn)為這是一道證明題，應(yīng)該按照常規(guī)的步驟進(jìn)行證明，于是邏輯混亂地對題目進(jìn)行嘗試解答，為了使結(jié)論看起來更“像”結(jié)論，盲目給它找出一個合理的“解釋”，不敢去質(zhì)疑題目是有問題的.如部分學(xué)生認(rèn)為無限不循環(huán)小數(shù)加無限不循環(huán)小數(shù)還是無限不循環(huán)小數(shù)，所以上述結(jié)論成立.但是殊不知，這道題的本身就是有問題的.但還是會有一部分的學(xué)生，能夠大膽地舉出反例，進(jìn)行質(zhì)疑，這說明這部分的學(xué)生初步具備了數(shù)學(xué)批判性的思維，進(jìn)而外顯地進(jìn)行了表達(dá)，提出了這個數(shù)學(xué)問題.由此可見，數(shù)學(xué)批判性思維能讓學(xué)生更擅于以自己的思維去評價知識真?zhèn)危M(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)批判性思維的提升.

2.2 數(shù)學(xué)批判性思維可以提升分析數(shù)學(xué)問題的能力

分析數(shù)學(xué)問題的能力主要表現(xiàn)在能夠分析、推理、辯證性討論、交流數(shù)學(xué)知識和技能，其中最重要的環(huán)節(jié)在于辯證性地交流討論.分析數(shù)學(xué)問題時所必備的思維情感就是數(shù)學(xué)批判性思維的自信心.

在分析數(shù)學(xué)問題中，自信心的重要性體現(xiàn)在以下三個方面.

（1）數(shù)學(xué)問題分析過程中的自信心建立.

（2）數(shù)學(xué)問題分析過程中的自信心表達(dá).

（3）數(shù)學(xué)問題分析過程中的自信心保持.

以下面這一道題目為例.判斷命題真假并證明你的結(jié)論.對于一切自然數(shù)n，1≤n≤19，n2-n+11都是質(zhì)數(shù).學(xué)生提交的答卷中呈現(xiàn)兩種結(jié)果.

一部分學(xué)生認(rèn)為是真命題，證明結(jié)果如下.

當(dāng)n=1時，12-1+11=11，結(jié)果為質(zhì)數(shù)，命題成立.

當(dāng)n=2時，22-2+11=13，結(jié)果為質(zhì)數(shù)，命題成立.

當(dāng)n=3時，32-3+11=17，結(jié)果為質(zhì)數(shù)，命題成立.

……

同理，當(dāng)n=19時，192-19+11=353，結(jié)果仍為質(zhì)數(shù)，則命題成立.

另一部分學(xué)生認(rèn)為是假命題，證明結(jié)果如下.

當(dāng)n=11時，112-11+11=121，121不是質(zhì)數(shù)，是假命題.

從這樣的一道題目的解答過程中，我們能夠了解到，在面對一道題的時候，分析的整個過程，離不開批判性思維的思考以及自信心的整體運(yùn)用，不能拘泥刻板地以一種思考形式去分析多種問題.

2.3 數(shù)學(xué)批判性思維可以提升解決數(shù)學(xué)問題的能力

解決數(shù)學(xué)問題的能力主要表現(xiàn)在兩方面：一方面，在清晰表達(dá)觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)頭腦中原有的認(rèn)知去解決問題，從各種觀點(diǎn)中發(fā)現(xiàn)不同，反思性思考，質(zhì)疑式提問，在現(xiàn)有問題的前提下得出富有建設(shè)性意義的結(jié)論；另一方面，在抑制數(shù)學(xué)問題解決中思維定式的遷移.思維定式的遷移是指將頭腦中原有的固定習(xí)慣或者方法應(yīng)用到新問題解決上，以達(dá)到快速解決問題的目的.因此數(shù)學(xué)批判性思維在問題解決中尤為重要.因?yàn)橛兴季S定式的存在，學(xué)生很難改變原有的思維方式，不能夠另辟蹊徑，從不同角度去解決問題，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程中，批判性思維水平高的學(xué)生，則具有良好的思路，更善于從正、反兩個方面去評判，更能多角度地排除思維定式遷移的干擾.3 數(shù)學(xué)批判性思維的培養(yǎng)從數(shù)學(xué)教育角度研究數(shù)學(xué)批判性思維的培養(yǎng)是尤為重要的.在培養(yǎng)學(xué)生96V0JiD2wz+QWULvRn3N/Q==數(shù)學(xué)批判性思維的時候，教師應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)和教育兩個角度來看，這樣有助于教師將批判性思維的生成機(jī)制，運(yùn)用到實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中.數(shù)學(xué)批判性思維的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在以下幾個方面中.

3.1 夯實(shí)“四基”

整個數(shù)學(xué)大廈的框架是由基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公理構(gòu)成的，是數(shù)學(xué)批判性思維的起點(diǎn)，也是最終數(shù)學(xué)批判性思維的落腳點(diǎn).只有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，才能夠穩(wěn)固地支撐數(shù)學(xué)的發(fā)展.在數(shù)學(xué)批判性思維的形成過程中，有各種各樣的方式方法，不同的方式方法適用于不同的條件，而且也適用于不同的思維主體.基本思想在其中也發(fā)揮著重要的作用，數(shù)學(xué)批判性思維中蘊(yùn)含著反思性的思考.在數(shù)學(xué)中對于數(shù)學(xué)條件的分析以及整體思考，教師往往以常規(guī)的思維去分析，但是這種思想往往會在過程中遇到阻礙，如果教師能夠用好數(shù)學(xué)中的基本思想，就能開拓思路逆向推導(dǎo)還原，進(jìn)而解決問題.學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)也尤為重要，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)來源于日常數(shù)學(xué)活動，但高于日常數(shù)學(xué)活動，它有目標(biāo)、有內(nèi)容、有思維.數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)如果與生活相互貼近，那么將會超越數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，這是一種理性認(rèn)識升華的過程.

3.2 提升“四能”

發(fā)現(xiàn)問題的能力是基礎(chǔ)，提出問題的能力是關(guān)鍵，分析問題的能力是核心，解決問題的能力是目標(biāo).數(shù)學(xué)批判性思維蘊(yùn)含在整個問題解決的過程中，各個環(huán)節(jié)之間互相聯(lián)系、協(xié)調(diào)發(fā)展，共同組成了整個問題解決的過程.有意識地進(jìn)行提升能力的訓(xùn)練，對于數(shù)學(xué)批判性思維發(fā)展有著十分重要的意義.根據(jù)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展規(guī)律，特別是一些關(guān)鍵或者薄弱的環(huán)節(jié)，有意識地、有針對性地進(jìn)行訓(xùn)練，以便數(shù)學(xué)批判性思維的整體提升，克服一切外界因素的阻礙，從而達(dá)到最終的目的.學(xué)生可以通過在不同的環(huán)境中體驗(yàn)解決問題的過程，有效地發(fā)揮自己的能力，也可以經(jīng)常練習(xí)數(shù)學(xué)批判性思維能力來發(fā)展和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).參考文獻(xiàn)

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