摘 要：單元整體教學是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)、解決小學數(shù)學教學“碎片化”問題的重要教學手段。以“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元教學為例，教師可通過研讀課程標準和教材的編排體系，對單元教學內容進行溯源，從中提取數(shù)的運算的知識本質，凝練此類知識背后的大觀念，從而對單元教學內容進行整體把握；通過對單元教材內容進行整體分析和對學生的學情進行課前檢測，可以發(fā)現(xiàn)學生的認知起點和難點以及教材內容與學生認知之間的契合性；基于學生的學情思考單元整體教學，可以確定有利于促進學生發(fā)展的單元整體教學目標，并圍繞單元整體教學目標的達成合理整合教學內容，對單元教學內容進行整體籌劃，合理確定各課時教學目標和內容；最后借助關鍵課構建“數(shù)的運算”的基本模型。

關鍵詞：單元整體教學；小學數(shù)學；核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)；數(shù)的運算；計數(shù)單位；多位數(shù)乘一位數(shù)

中圖分類號：G62 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）25-0053-06

小學數(shù)學課堂教學長期存在“碎片化”現(xiàn)象：教學內容作為一種純粹的理論知識，看不到數(shù)學與學生現(xiàn)實生活的聯(lián)系，更談不上發(fā)現(xiàn)二者之間有趣、有用的聯(lián)結；課堂教學局限在一個個零星的知識點上，看不到知識的整體結構，也看不到教學的層次，不利于學生拓展自己的認知體系，形成數(shù)學核心素養(yǎng)。數(shù)學核心素養(yǎng)指的是“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”［1］5-6（簡稱“三會”）的核心素養(yǎng)，是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數(shù)學課標》）提出的課程教學基本導向。數(shù)學核心素養(yǎng)在不同階段有不同的表現(xiàn)，小學階段側重對經驗的感悟，具體可表現(xiàn)為數(shù)感、量感、符號意識、推理意識、運算能力、應用意識、創(chuàng)新意識等?！?022年版數(shù)學課標》為體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內在邏輯關系以及學習內容與核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)的關聯(lián)，十分重視單元整體教學，明確指出：“單元整體教學設計要整體分析數(shù)學內容本質和學生認知規(guī)律，合理整合教學內容，分析主題—單元—課時的數(shù)學知識和核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環(huán)節(jié)，整體設計，分步實施，促進學生對數(shù)學教學內容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)?！保?］86從碎片化的課時教學到體現(xiàn)整體性和關聯(lián)性的單元整體教學，《2022年版數(shù)學課標》對義務教育數(shù)學課程的課堂教學要求明顯提高了。下面筆者以人教版數(shù)學三年級上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)”為例，從單元教學內容整體分析、單元教材結構分析與學情檢測、單元教學內容合理整合和關鍵課時教學實踐四個方面探討單元整體視角下“數(shù)的運算”的教學思考與實踐。

一、單元教學內容的整體分析及內容本質的整體把握

對單元教學內容進行整體分析，旨在通過研讀課程標準和教材的編排體系，從中提取單元教學內容的知識本質，凝練單元教學的大觀念，對單元教學內容進行整體上的把握。大觀念是“知識背后的核心觀念、核心概念，是超越知識的知識，它們不僅能反映一系列相關知識的本質和共性，還能將這些知識串聯(lián)為一個結構化的整體”［2］。教育部基礎教育課程改革專家工作組成員張華教授認為：“對任何一門學科而言，均需選擇‘少而重要’的觀念即學科核心觀念，作為學生探究學科與世界的基本智力工具，并使每一個觀念與其他觀念建立盡可能多的聯(lián)系，由此形成‘觀念為本的課程內容’?！保?］單元整體視角下的數(shù)學教學，尤其需要凝練單元教學內容的大觀念。

從《2022年版數(shù)學課標》的角度研讀“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元教學內容，可知該教學內容屬于數(shù)與代數(shù)領域“數(shù)與運算”主題下整數(shù)的認識及其四則運算第二學段的教學內容。從人教版小學數(shù)學12冊教材對“數(shù)與運算”教學內容的整體編排（如圖1）來看，各學段之間的教學內容相互關聯(lián)、層層遞進、螺旋上升，構成數(shù)的認識和數(shù)的運算的知識體系及整體結構。由圖1可知，從“數(shù)的運算”角度縱觀“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元教學內容，可知該單元教學內容是建立在學生已經掌握了表內乘法知識之后的新的學習內aaDuFK5WcgO/Ix8JYn7WePwI+sCf74v18342ejkN7so=容；而在此之后，學生將逐步學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)等相對復雜的乘法運算，直至小數(shù)乘法、分數(shù)乘法的運算。

乘法是加法的簡便運算，要追溯乘法運算的知識本質，應回溯加法的意義。不管是乘法還是加法，本質上都是“相同計數(shù)單位個數(shù)的不斷累加”。再進一步追溯數(shù)的認識與數(shù)的運算的整體教學內容，其實都是以“計數(shù)單位”作為核心觀念來統(tǒng)領教學內容。因此，“計數(shù)單位”亦可作為“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元教學內容的大觀念。以表內乘法為基礎學習“多位數(shù)乘一位數(shù)”，關鍵是靈活運用轉化思想，基于計數(shù)單位將多位數(shù)進行合理拆分，即把多位數(shù)轉化為表內乘法進行計算，先轉化成每個數(shù)位上的計數(shù)單位與一位數(shù)相乘，再把乘得的結果相加，經歷先“分”后“合”的探究過程，體會“多位數(shù)乘一位數(shù)”的運算本質即相同計數(shù)單位個數(shù)的不斷累加，從中明白算理，之后學習使用豎式進行準確計算，體會十進位值制的意義及其簡潔性。

二、單元教材內容的結構分析及學情檢測

（一）單元教材內容的結構分析

口算是筆算的學習基礎，表內乘法是“多位數(shù)乘一位數(shù)”的學習基礎。因此，在“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元中，人教版教材為了減緩學生的認知坡度，為該單元依次編排了口算乘法、筆算乘法和解決問題三個部分的學習內容（如圖2）：始于整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）的口算；將重點落在筆算上，先從兩位數(shù)乘一位數(shù)的不進位到進位，再從兩位數(shù)乘一位數(shù)過渡到中間或末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)，難度遞增；解決問題部分，側重幫助學生更好地學習解決問題的方法和策略，包括估算的方法、歸一問題、歸總問題等。整體來看，乘法學習由口算到筆算，筆算學習由不進位到進位，把進位和連續(xù)進位放到后面實現(xiàn)橫向關聯(lián)。這樣的內容安排，可以有效減緩學生對算法的認知坡度，但容易割裂原本一體的算理與算法的學習。

（二）單元教學內容的學情前測

遵循學生認知規(guī)律實施單元整體教學，必須清晰地把握學生對學習內容的認知起點和難點，以便科學設計單元教學目標，順應學生的認知規(guī)律實施單元整體教學，幫助學生順利突破學習重難點。為了把握學生在“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元學習中的認知起點和難點，筆者在執(zhí)教本單元教學內容之前對本校三年級兩個班的96名學生進行了兩方面的學情前測。

一方面，檢測學生對算法的掌握和感悟。筆者共設計了6道計算題，包括整十整百數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)和三位數(shù)乘一位數(shù)，讓學生運用自己的方法算出結果。學生答題情況（如表1）顯示：整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的計算題如20×3、200×3，學生答題的正確率在98%以上；20×3、12×3這樣的兩位數(shù)乘一位數(shù)不進位的計算題，學生答題的正確率在91%以上；多位數(shù)乘一位數(shù)進位和連續(xù)進位的計算題如15×4、217×6，學生答題的正確率明顯降低。由此可見，筆算乘法（進位）是學生學習本單元知識的難點。進一步分析學生的答題過程，可以清楚地看到：學生學習本單元知識時，頭腦中并不是一片空白的。在學習了乘法口訣后，學生對乘法已經有了豐富的感性經驗，能夠根據(jù)乘法的意義將乘法轉化為加法后進行計算；能夠根據(jù)表內乘法的學習經驗，直接用口算方法計算整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的計算題。甚至還有一些學生因為有了筆算加法的經驗，開始嘗試用筆算乘法進行計算，但因為對筆算乘法的算理理解不清，且不同學生的認知能力存在個體差異，導致學生在進行乘法豎式計算時出現(xiàn)了不管滿幾十都進一或漏算某一個數(shù)位等錯誤。這說明，學生腦海中的“數(shù)位”概念尚且不夠清晰，對乘法運算本質的理解還不夠精準。

另一方面，檢測學生對算理的理解情況。檢測學生對算理的理解的題目及學生答題情況（如表2）顯示：對于兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算題，部分學生能借助以前的加法和乘法口訣學習經驗算出結果，有超過半數(shù)的學生能將兩位數(shù)乘一位數(shù)主動轉化成一位數(shù)乘一位數(shù)進行計算，但是大部分學生不能借助點子圖進行思考，不知道怎樣拆分點子圖，做不到圖與式的一一對應。也就是說，雖然大部分學生會算，但是對算理的理解是模糊的。因此，本單元的教學重點應放在教學筆算乘法上，讓學生充分感受“先分后合”的運算過程，從中感受數(shù)的乘法運算的通法，然后遷移經驗，理解算理、掌握算法，直至能夠靈活運用乘法運算的算理和算法解決問題。此外，還應讓學生充分感受計算方法的共性和差異，體會數(shù)的運算本質上的一致性，發(fā)展學生的推理意識和運算能力。推理意識、運算能力、應用意識和創(chuàng)新意識，都是本單元數(shù)學知識所關聯(lián)的核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)。

三、單元整體教學目標的確定及教學內容的合理整合

基于以上單元教材分析和學情檢測，為了避免算法與算理教學的人為割裂，切實發(fā)展學生的推理意識、運算能力、應用意識和創(chuàng)新意識，“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元教學必須讓學生從整體上把握乘法運算的本質，注重算理的探究和算法的掌握，讓算理和算法有效融通［4］。為此，筆者設定了4個單元教學目標。目標1，以單元大觀念“計數(shù)單位”為核心，以基礎知識“百以內數(shù)的意義”為基礎，嘗試直觀理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理；通過相關知識的遷移運用和學習經驗的喚醒，嘗試在新知向舊知轉化的過程中歸納“多位數(shù)乘一位數(shù)”口算和豎式計算的方法“先分后合”；溝通算理和算法，從中感悟計算道理和方法的一致性。目標2，在解決實際問題的過程中，感受估算的意義，會根據(jù)實際情況選擇估算策略。目標3，在知識和經驗遷移運用的過程中，不斷經歷將新知轉化為舊知的過程，打通新舊知識之間的聯(lián)系，發(fā)展推理意識和運算能力；經歷解決問題的過程，發(fā)展應用意識和創(chuàng)新意識。目標4，在知識和經驗遷移、轉化的過程中，逐步打通“多位數(shù)乘一位數(shù)”算理與算法之間的內在聯(lián)系，完善知識結構，滲透結構化思維和事物之間普遍聯(lián)系的觀念。

對照以上教學目標，筆者對“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元中的8個例題（口算乘法例1、例2和筆算乘法例1、例2、例3、例4、例5、例6）進行了解構與統(tǒng)整，決定打破教材原有的例題呈現(xiàn)順序，用4個課時實施單元整體教學（如下頁圖4）。第一課時是教學口算乘法的例1和例2，筆者將這節(jié)課定義為種子課。對于種子課教學，筆者在內容上進行了“加法”處理，增加了一道三位數(shù)乘一位數(shù)的不進位口算，旨在幫助學生順勢完成知識的遷移類推，鞏固統(tǒng)領整數(shù)乘法學習的“先分后合”方法，為接下來學習多位數(shù)乘一位數(shù)、多位數(shù)乘多位數(shù)的筆算乘法埋下學習方法的種子。第二課時是教學筆算乘法例1（不進位）和例2（一次進位）的整合課，在課時上進行了“減法”處理，這是筆算乘法的起始課，需要構建本單元乘法計算的基本模型，因此，筆者將這節(jié)課定義為本單元的關鍵課。第三課時是教學筆算乘法例3（連續(xù)進位），這是一節(jié)難點課和易錯課，所以單獨安排了一個課時對學生進行強化訓練。第四課時是學習與0有關的筆算乘法，因為有了前面的筆算經驗，所以筆者聚焦與0有關的乘法問題，把筆算乘法例4、例5、例6三個例題整合為一個課時進行教學：筆算乘法例4是與0相乘積是多少的問題，依據(jù)表內乘法知識遷移便可順利解決；例5是中間為0的三位數(shù)乘一位數(shù)（連續(xù)進位）；例6是末尾為0的乘法，通過口算整十整百數(shù)乘一位數(shù)的方法來遷移學習，打通二者之間的聯(lián)系，啟發(fā)學生創(chuàng)造簡便算法。

四、借助關鍵課構建筆算乘法的基本模型

關鍵課“多位數(shù)乘一位數(shù)（一次進位）”的主要教學目的是構建筆算乘法的基本模型。遵循學生認知規(guī)律，教師需要在整體把握教材的基礎上，把口算乘法（不進位）和筆算乘法（一次進位）進行有機地整合，適時拓展到多位數(shù)乘一位數(shù)筆算。在關鍵課教學中，教師需要利用類比、勾連的方法，打通口算方法與筆算豎式的關聯(lián)，溝通乘法豎式的算理和算法，使學生可以更加透徹地理解乘法豎式的運算順序及算理，從而構建出筆算乘法的基本模型。這節(jié)課的教學目標包括：在具體情境中理解和掌握多位數(shù)乘一位數(shù)（一次進位）筆算乘法的算理和算法，能正確進行計算［5］；經歷“滿十進一”算理的形成過程，并以此經驗為基礎理解“滿幾十進幾”的道理，感悟從未知到已知的轉化，逐步形成推理意識和運算能力；在探究算法的過程中，逐步提高自主探究、比較分析、合作交流的能力，感受數(shù)學的現(xiàn)實意義。教學重點是掌握筆算乘法進位的方法；教學難點是理解算理，打通不同算法之間的內在聯(lián)系，理解不管是口算乘法還是筆算乘法，都是基于計數(shù)單位將數(shù)拆解后利用乘法口訣進行運算，再將算得的結果相加，從而體會算法的一致性，提高運算能力。為了達成以上目標，教師可依次展開如下教學過程。

（一）對比勾連口算與筆算，溝通算理與算法

課堂上，教師出示任務一（如圖4），先讓學生嘗試用多種方法計算出結果，再讓學生匯報自己的計算結果及想法，暴露學生的認知差異和學習難點，找到教學的切入點。生1展示了用加法進行計算的方法，16+16+16=48；生2展示了用口算進行乘法計算的方法，10×3=30，6×3=18，30+18=48；生3和生4分別展示了列簡潔豎式和詳細豎式進行計算的方法（如圖5）。隨后教師啟發(fā)學生思考下面的問題：“同樣都是計算16×3，為什么大家用的方法不同卻都能算出同樣的結果呢？這幾種方法之間有什么內在的聯(lián)系呢？你們能在筆算過程中找到口算乘法每一步的計算過程嗎？”這些問題的提出，旨在引導學生學會溝通口算與筆算的聯(lián)系、橫式與豎式的聯(lián)系。學生按要求進行圈畫、勾連，將橫式和豎式中對應的每一步連接了起來（過程略），順利打通了筆算乘法和口算乘法的內在聯(lián)系。

通過對比口算與筆算橫式、筆算簡潔豎式、筆算詳細豎式，在筆算中找到口算的對應步驟、在筆算豎式中找到筆算橫式的每一步計算過程，學生逐漸感受到了口算和筆算的算理與算法的一致性。學生明白了筆算豎式只是口算的一種新的記錄形式，看起來好像方法不同，但其中的道理卻是一樣的：都用上了“先分后合”的方法，即把多位數(shù)乘一位數(shù)轉化成多個一位數(shù)乘法進行計算，就是拆分成幾個幾、幾個幾十以及它們的和的形式進行記錄，從而有效內化了對算理的理解。學生感悟到如下算理：無論是哪種方法，都能找到口算方法中的三步，先拆、再乘、后合；都是用一位數(shù)分別去乘兩位數(shù)的個位和十位，再把所得的積相加。

（二）直觀想象，理解“滿十進一”的算理

幾何直觀有助于人們把握問題的本質，明晰思維的路徑［1］8。在課堂上，教師出示任務二（如圖6），讓學生在小棒圖中“圈一圈、畫一畫”，“說明十位上的4是怎么得來的”“第4捆小棒在哪里，你們能把它畫出來嗎？”，希望利用“小棒”模型培養(yǎng)學生的幾何直觀，借助數(shù)形結合促進學生理解“滿十進一”的算理，進而突破“滿幾十進幾”的學習難點。

師：十位上的4是怎么得來的？你們畫出來的這一捆小棒在豎式中怎樣表示？

生：6×3=18，向十位進1，3+1=4。

師：第四捆小棒在哪里？

生：把18里面的10根小棒捆成一捆。

師：你們畫出來的這一捆小棒，在豎式當中，能用哪一個數(shù)表示？

生：用數(shù)字1來表示。

讓學生在小棒圖中圈一圈、畫一畫，再說一說，溝通小棒圖和豎式，數(shù)形結合，非常直觀。學生通過多元表征（動作表征、表象表征、語義表征、數(shù)學符號表征），充分理解了“滿十進一”的算理。

（三）遷移類推，理解“滿幾十進幾”“最多能進幾”的算理，構建乘法運算的基本模型

遷移類推是培養(yǎng)學生推理意識的重要方法。所謂遷移類推，就是引導學生運用已有的知識、經驗、思維、技能等去感知新的學習內容，感悟新的現(xiàn)象與規(guī)律，從中獲得新的啟發(fā)，促進學生的學習素養(yǎng)得到應有的積淀和發(fā)展的過程與方法［6］。受整數(shù)加法負遷移的影響，總有一些學生會頑固地以為，向前進位只能進一。為了打破這些學生的思維定式，教師可緊接“滿十進一”，呈現(xiàn)任務三（如圖7），讓學生仔細觀察對比任務三中的4道題有什么相同和不同的地方，遷移表內乘法知識。

師：乘法豎式中除了進一，還能進幾？

生：乘法豎式中除了能進一，還能進二，進三，進四……

師：最多能進幾？為什么？

生：最多能進八，因為乘法口訣最多是九九八十一。

師：所以在進行乘法計算時，哪一位上的數(shù)相乘的積，滿幾十要向前一位進幾。

對于“不管哪一位滿幾十，向前一位進幾”這一計算方法，三年級的小學生容易產生理解困擾。在通過小棒圖直觀理解了“滿十進一”后，教師緊接著出示幾個進位數(shù)字不同的典型豎式，讓學生在“做一做”中觀察對比、遷移類推，發(fā)現(xiàn)并總結規(guī)律，明確“滿幾十向前一位進幾”的算理，從而有效突破了本課教學的重難點，順利建立起筆算乘法的基本模型。

（四）拓展運用，鞏固筆算法乘法基本模型

在學生總結出兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法后，教師可出示生活中的實際問題（如表3），引導學生拓展運用筆算乘法的基本模型，并把教學重點放在“多位數(shù)”的“多”上。學生把計算結果板書到黑板上（如圖8）以后，教師讓學生觀察對比板書中的3道算式，找出它們的異同點。經歷了前面的結構化學習過程以后，學生順利解決了這個問題：相同點在于，它們都是先從個位起，用一位數(shù)乘多位數(shù)的每一位，再把積相加；不同點是進位不同。于是教師“乘勝追擊”，讓學生進一步思考“多位數(shù)乘一位數(shù)”中“多位數(shù)”的位數(shù)擴展以后的計算問題，“四位數(shù)乘一位數(shù)，五位數(shù)乘一位數(shù)，你們會算嗎？”，以此鞏固學生對算法的認識與理解，融通算理與算法。接下來，教師進一步總結歸納“多位數(shù)乘一位數(shù)”豎式計算的模型：不管幾位數(shù)乘一位數(shù)，都是“同一個結構”，都是運用“先分后合”的方法，從個位起，用一位數(shù)分別去乘多位數(shù)的每一位，再把所得的積相加；遇到哪一位滿幾十的，就向前一位進幾?？偨Y此法，旨在為學生今后學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)播下學習方法的種子。

綜上所述，站在課程標準所要求的單元整體教學的高度，以單元整體視角和結構化思維去思考“數(shù)的運算”的教與學，教師可以有效克服小學數(shù)學教學的“碎片化”現(xiàn)象，切實發(fā)展學生的推理意識和邏輯思維，從而促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。教師以整體思想統(tǒng)領教學，便于學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的基本結構，建構關于一類知識的知識體系，發(fā)現(xiàn)一類知識的數(shù)學本質以及隱藏在這些知識背后的大觀念；教師以結構化思維組織教與學的過程，合理整合單元教學內容，明確單元教學目標與課時目標之間的結構層次，可以有效提升學生的自主學習能力，使學生的數(shù)學核心素養(yǎng)得到潛移默化的滋養(yǎng)?；趩卧w視角實施“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元教學，有利于教師實現(xiàn)單元教學有結構地教、學生單元學習有關聯(lián)的學，同時有利于教師用單元教學關鍵課打通不進位和進位之間的本質聯(lián)系，加深學生對乘法運算本質的認識，并通過讓學生在比較中感悟聯(lián)系、在聯(lián)系中實現(xiàn)知識遷移，順利總結出“多位數(shù)乘一位數(shù)”筆算乘法的基本模型，從而為構建乘法學習整體脈絡打下認知基礎。

參考文獻

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（責編 白聰敏）

作者簡介：韋金梅，1982年生，廣西上林人，本科，高級教師，研究方向為小學數(shù)學教學。