摘要：復(fù)習(xí)課作為教學(xué)體系中不可或缺的環(huán)節(jié)，在鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題能力方面發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的精心優(yōu)化，學(xué)生得以運(yùn)用數(shù)學(xué)視角洞察現(xiàn)實(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯思考現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)課；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)類型；數(shù)學(xué)教學(xué)法

本文以初中數(shù)學(xué)中的“圓”作為研究核心，深入探討各類復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)及執(zhí)行方法，以期為教師提供了初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的指引和實(shí)用性建議.同時(shí)，本文也關(guān)注復(fù)習(xí)課對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的深遠(yuǎn)影響.初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不僅有助于學(xué)生構(gòu)建全面的知識(shí)體系，提升其學(xué)習(xí)能力，還有助于學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維方法的掌握，拓寬知識(shí)深度與廣度，培育學(xué)生的核心素養(yǎng).本文提出的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)策略，旨在能夠協(xié)助師生共同提升復(fù)習(xí)課的效率，以實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)課的最大教學(xué)效益.

1“圓”的拓展深化型復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

由美國(guó)教育心理學(xué)家加涅（R. M. Gagne）的“信息加工”原理可知，在“再教”過(guò)程中，教師所教授的內(nèi)容主要是面向已學(xué)會(huì)并已掌握基本要領(lǐng)的學(xué)生.這一階段的學(xué)生要對(duì)已學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行再思考，加深對(duì)知識(shí)的理解.具有深度和擴(kuò)展性的復(fù)習(xí)課恰恰可以滿足這種需要，它通過(guò)深入剖析已學(xué)知識(shí)，在拓寬視野的同時(shí)，進(jìn)一步鞏固和深化對(duì)原有知識(shí)的理解.

“圓”的拓展深化型復(fù)習(xí)課旨在對(duì)章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行更深層次的探討與開(kāi)發(fā)，這些拓展性的知識(shí)不僅能有效訓(xùn)練學(xué)生的思維方式，還能夠協(xié)助學(xué)生深化對(duì)教材的理解，達(dá)到“溫故而知新”的教學(xué)效果.［1］學(xué)生對(duì)“圓”相關(guān)概念的理解構(gòu)成了本課程的學(xué)習(xí)基石，同時(shí)，學(xué)生對(duì)“變式”思考方式的理解，是學(xué)生在教學(xué)實(shí)踐中所遇到的一個(gè)重要問(wèn)題.在這一節(jié)課程中，最大的困難就是怎樣對(duì)假設(shè)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶剿髋c證明.學(xué)生必須能夠清楚合理地表述整個(gè)論證的過(guò)程.因此，這節(jié)課的教學(xué)關(guān)鍵是要讓學(xué)生對(duì)推理的真實(shí)性產(chǎn)生濃厚的興趣，讓他們以猜測(cè)為依據(jù)，進(jìn)行推理，掌握推理方法，并學(xué)會(huì)用文字來(lái)表述推理過(guò)程，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)探索的理性魅力.

2“圓”的拓展“變式”教學(xué)策略

教師能夠運(yùn)用“多樣化”策略，緊扣“演變”這一核心，建構(gòu)問(wèn)題情境，引領(lǐng)學(xué)生深入體驗(yàn)“假設(shè)、檢驗(yàn)、總結(jié)”這一嚴(yán)密邏輯推理的歷程.

2.1溫故而知新

師：請(qǐng)各位同學(xué)共同探討以下題目.

如圖1所示，直線AB、CD、BC分別在點(diǎn)E、G、F與⊙O相切，且AB∥CD，假設(shè)OB的長(zhǎng)度為6厘米，OC的長(zhǎng)度為8厘米，那么BE與CG的總長(zhǎng)度是多少？

師：本題所依托的核心概念是哪些？

現(xiàn)在請(qǐng)大家跟隨我一同復(fù)習(xí)切線長(zhǎng)定理的詳細(xì)內(nèi)容.

教師展示切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角，即PA=PB，∠BPO=∠APO（如圖2）.

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)過(guò)程對(duì)于鞏固學(xué)習(xí)效果至關(guān)重要，它不僅幫助學(xué)生加深對(duì)已有知識(shí)的記憶，同時(shí)也為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)奠定牢固基礎(chǔ).

2.2假定檢驗(yàn)

問(wèn)題1大家來(lái)討論一下，關(guān)于切線長(zhǎng)定理所反映的幾何元素之間的空間聯(lián)系是什么？

問(wèn)題2這道題主要研究的是哪些點(diǎn)與圓周的相對(duì)位置關(guān)系？

問(wèn)題3這兩條線在相互間表現(xiàn)出什么樣的空間關(guān)系？

師：切線長(zhǎng)定理就是反映出兩條線在圓周上的相對(duì)位置.除此情形外，還有沒(méi)有其他兩條切線和圓周的幾何聯(lián)系？讓我們一起來(lái)想一想，盡量歸納出各種情況.

教師讓學(xué)生自己動(dòng)手做題，畫出對(duì)應(yīng)的圖形.

教師可以提出一些問(wèn)題來(lái)指導(dǎo)，如“在這一課中，我們不但學(xué)習(xí)了線和圓周之間的距離，還探索了它們之間的相互影響.我們先前研究的問(wèn)題，即切線長(zhǎng)定理中的交點(diǎn)與圓周的位置關(guān)系如何？在其他情形中，位置的關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化”.

教師通過(guò)小組合作的方式，讓學(xué)生在小組內(nèi)互相交流.在這個(gè)過(guò)程中，教師要關(guān)注學(xué)生

的繪畫進(jìn)度，并針對(duì)有問(wèn)題的學(xué)生進(jìn)行一對(duì)一的指導(dǎo).在學(xué)生完成探究后，教師將學(xué)生的探究結(jié)果用投影儀進(jìn)行展示（如圖3）.

筆者依據(jù)建構(gòu)主義理論，基于學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方式進(jìn)行課程設(shè)置.該課程倡導(dǎo)以問(wèn)題為中心，通過(guò)對(duì)關(guān)鍵問(wèn)題的提取來(lái)激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立探究.［2］在對(duì)點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系有初步認(rèn)識(shí)之后，采取問(wèn)題導(dǎo)向法，逐步引導(dǎo)學(xué)生去探索，去設(shè)想.

問(wèn)題4根據(jù)交點(diǎn)和圓周之間的關(guān)系，可以把它們劃分成哪些類別？

【設(shè)計(jì)意圖】

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸類研究，并將其應(yīng)用到對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸類分析的過(guò)程中，這在數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解中起到了至關(guān)重要的作用.

同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)不同的直線段進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)直線段與直線段有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

探究一：兩個(gè)在圓周內(nèi)相交的線段之間有什么關(guān)系.

師生活動(dòng)：教師帶領(lǐng)學(xué)生一起研究圖4中PA、PB、PC、PD這四條線段存在什么比例關(guān)系.

教學(xué)互動(dòng)：在完成圖4結(jié)論的探討之后，激發(fā)學(xué)生探究圖5中的線段是否也遵循相同比例定律的興趣.

假定該定律成立，教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行證明.教師挑選兩位學(xué)生在黑板上展示證明過(guò)程，同時(shí)要求其他學(xué)生在練習(xí)本上完成證明（證明過(guò)程中可參考圖6中的輔助線畫法）.

教師歸納：根據(jù)探究結(jié)果，我們可以總結(jié)出這樣一個(gè)定理，即當(dāng)圓內(nèi)兩條線段相交時(shí)，交點(diǎn)將這兩條線段分割成的各部分長(zhǎng)度乘積是相等的.

探究二：探討交點(diǎn)位于圓外的三種情形，其中一種即切線長(zhǎng)定理，將其排除在外，重點(diǎn)分析剩余兩種情形中線段之間的關(guān)系.

教學(xué)互動(dòng)：師生共同探討，先識(shí)別圖中的元素（如圖7），然后深入分析它們之間的比例關(guān)系，并進(jìn)行相應(yīng)的證明.

教師挑選一位學(xué)生上臺(tái)展示其解題步驟并予以講解，其余學(xué)生則在數(shù)學(xué)練習(xí)本上完成證明（輔助線的繪制方式如圖8所示）.

教學(xué)評(píng)價(jià)：教師對(duì)該學(xué)生的證明邏輯、書寫過(guò)程以及字跡整潔度進(jìn)行具體評(píng)價(jià)，并在必要時(shí)給予鼓勵(lì)或表?yè)P(yáng).

教學(xué)歸納：從圓周外部一點(diǎn)引出切線和割線，切線長(zhǎng)度為

該點(diǎn)至割線與圓交點(diǎn)的兩段線長(zhǎng)

比例的中項(xiàng).這一結(jié)論涉及切線和割線，因此被稱為切割線定理.

接下來(lái)，教師指導(dǎo)學(xué)生探討交點(diǎn)位于圓外的另一種情形（如圖9）.

學(xué)生參照多媒體上展示的圖形，嘗試獨(dú)立證明.教師邀請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)展示其解題步驟并進(jìn)行講解，其他學(xué)生則在練習(xí)本上完成證明過(guò)程（輔助線的繪制方式如圖10所示）.

教學(xué)環(huán)節(jié)：教師先對(duì)學(xué)生的證明步驟和書寫格式進(jìn)行點(diǎn)評(píng).接著，教師概括指出，當(dāng)兩條直線均與圓有交點(diǎn)時(shí)，這兩條直線可視作圓的割線，并詳細(xì)講解割線定理，即從圓外一點(diǎn)引出兩條割線，該點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)所形成的線段長(zhǎng)度乘積是相等的.

教學(xué)環(huán)節(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注第三種情況，即交點(diǎn)位于圓周上，這是圓周角的情況.由于本單元已對(duì)圓周角的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了學(xué)習(xí)，故此部分不再贅述.

【設(shè)計(jì)意圖】有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不能只靠死記硬背，還要靠思維、動(dòng)手、自主探索.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該具有探索性、思考性，在教學(xué)中，教師要充分考慮數(shù)學(xué)知識(shí)本身的特性，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)膯l(fā)與指導(dǎo)，激發(fā)他們主動(dòng)探究欲.［3］在對(duì)定理進(jìn)行探索的過(guò)程中，學(xué)生也是在進(jìn)行類比思考，利用結(jié)構(gòu)相似度來(lái)進(jìn)行推理，這樣可以找到各種數(shù)學(xué)知識(shí)的共通點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率.

2.3實(shí)踐鞏固

運(yùn)用圓的知識(shí)，來(lái)解決下面的例題.

例1由圖11可知，圓內(nèi)一條弦CD與直徑AB以30度的角度相交，AB被分成2厘米、5厘米的兩部分，那么這條弦的弦心距離是多少？

例2如圖12所示，半圓O中AB＝9，兩弦AC、BD交于點(diǎn)E，弦CD＝7，那么DE的長(zhǎng)度是多少？

例3如圖13所示，PT與⊙O切于點(diǎn)T，PA交⊙O于點(diǎn)A和B，并與CT相交于點(diǎn)D，CD＝2，AD＝4，那么PB的長(zhǎng)度是多少？

例4如圖14所示，設(shè)P在四邊形ABCD邊AB的延長(zhǎng)線上，DP與AC、BC交于點(diǎn)E、F，EG與過(guò)B、F、P三點(diǎn)的圓相切，G是切點(diǎn)，證明：EG＝DE.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生解決這些題是對(duì)新知識(shí)的延伸探索，對(duì)所學(xué)的綜合運(yùn)用.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題練習(xí)能使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，形成解題技能，對(duì)學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，掌握數(shù)學(xué)思想與技能有重要作用.

2.4教學(xué)歸納總結(jié)

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧探究過(guò)程，共同梳理歸納所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法，鼓勵(lì)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)過(guò)程中自主地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能.

3結(jié)語(yǔ)

在進(jìn)行了實(shí)踐后，筆者對(duì)其效果進(jìn)行了測(cè)試和分析.結(jié)果表明，實(shí)行分級(jí)復(fù)習(xí)可以明顯地提高學(xué)生的積極性，有利于學(xué)生掌握基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，充分顯示了其重要意義，使復(fù)習(xí)課程向高質(zhì)量發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

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