摘要：隨著新課改的出現(xiàn)，以高觀點(diǎn)來研究新高考試題已經(jīng)成為一個熱點(diǎn)課題.最近幾年來的部分高考試題的命制背景也體現(xiàn)了一些高觀點(diǎn).為此，本文以近幾年出現(xiàn)的高考試題和模擬題為例，說明其中體現(xiàn)的高觀點(diǎn)，提出了幾點(diǎn)教學(xué)上的建議．

關(guān)鍵詞：高觀點(diǎn)；高中數(shù)學(xué)；新高考試題

德國數(shù)學(xué)家克萊因（F.C.Klein）曾說：“一個數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是孤立的各門學(xué)問，而是一個有機(jī)的整體.”［1］數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)站在更高的視角來審視初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了簡單.一個稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解各種數(shù)學(xué)概念、方法及其發(fā)展與完善的過程以及教育演化的經(jīng)過，只有這樣，才能在初等數(shù)學(xué)的教育教學(xué)中“來去自如”．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得必需的“四基”和“四能”，在學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展六大核心素養(yǎng).［2］教師應(yīng)當(dāng)在高中階段就讓學(xué)生了解一些大學(xué)中的高觀點(diǎn)并為后續(xù)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.2024年1月的“九省聯(lián)考”數(shù)學(xué)試題，題量減少了但是難度加大了，第19題中出現(xiàn)了數(shù)論的題目，這啟發(fā)教師在日常教學(xué)中需要給高中學(xué)生講授一些大學(xué)數(shù)學(xué)的知識．

1以高觀點(diǎn)來研究高中數(shù)學(xué)的必要性

1.1符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

高觀點(diǎn)是以特殊性的初等數(shù)學(xué)知識經(jīng)由推廣和一般化發(fā)展為高等數(shù)學(xué)知識，又反過來經(jīng)由特殊化來指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究.知識始終有待于再考查、再檢驗、再證實，這樣才能使得學(xué)生的認(rèn)識不斷深化.只有在高觀點(diǎn)下運(yùn)用教學(xué)方法來組織數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，才能將復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以一種生動的、直觀的形象呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這樣就能使得學(xué)生更輕松地獲取和掌握知識．

1.2契合最近發(fā)展區(qū)理論

根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，教學(xué)應(yīng)當(dāng)走在學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的前面.教師為學(xué)生提供更高層次的知識，激發(fā)學(xué)生的發(fā)展?jié)撃芘c“利用高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)相契合.所以，基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握一些高等數(shù)學(xué)知識，增加學(xué)生的知識儲備.在有了這些同化新知識的上位觀念前提下，再去學(xué)習(xí)相應(yīng)的中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容.這樣能使新知識更為順利地納入到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而獲得良好的數(shù)學(xué)發(fā)展．

接下來本文以部分高考試題為例，具體來說明其中體現(xiàn)的高觀點(diǎn)視角．

2高觀點(diǎn)下的極值點(diǎn)偏移問題

極值點(diǎn)偏移問題是2021年新高考后開始成為熱點(diǎn)的題型，各種各樣的模擬卷中也出現(xiàn)了眾多類似題型.但是，有些模擬卷為了追求與眾不同，

創(chuàng)設(shè)的問題已經(jīng)遠(yuǎn)離了最原始的形式.那么有沒有能夠解決它的一個“通法”？實際上，通法也僅能判斷極值點(diǎn)偏移的一些充分條件，具體如下．

2.1泰勒公式

若函數(shù)f在點(diǎn)x0存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有f（x）=Tn（x）+o（（x-x0）n），即f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！ （x-x0）2+…+f（n）（x0）n！ ·（x-x0）n+o（（x-x0）n）．［3］

2.2極值點(diǎn)偏移的一個充分條件

結(jié)論：若連續(xù)光滑函數(shù)f（x）在某段開區(qū)間A上只有一個極大值點(diǎn)x=x0，使得在極值點(diǎn)左側(cè)單調(diào)增加，右側(cè)單調(diào)減少，且存在x1＜x0＜x2∈A，f（x1）=f（x2）.

（1）如果f（x）的全體奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)在極大值點(diǎn)x0 處非負(fù)（但不是全為0，下同），也即f（2k+1）（x0）≥0，k∈N，則恒有x1+x2＞x0.

（2）如果f（x）的全體奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)在極大值點(diǎn)x0 處非正（但不是全為0，下同），也即f（2k+1）（x0）≤0，k∈N，則恒有x1+x2＜x0．

注：如果x0是極小值點(diǎn)，那么結(jié)論變號即可，也就是x0是極小值點(diǎn)，若f（2k+1）（x0）≥0，k∈N，則恒有x1+x2＜x0．

證明：考慮G（x）=f（x）-f（2x0-x），在極值點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開可得

G（x）=2∞k=0f（2k+1）（x0）（2k+1）?。▁-x0）2k+1.

若f（2k+1）（x0）≥0，k∈N.取x=x1＜x0.則G（x1）＜0f（x1）＜f（2x0-x1），由于f（x1）=f（x2），那么f（x2）＜f（2x0-x1），又因為2x0-x1=x0+x0-x1＞x0，所以2x0-x1，x2都在x0右側(cè).根據(jù)f（x0）在x0右側(cè)單調(diào)遞減，于是可得x2＞2x0-x1，從而x1+x2＞x0.其他情況同理可證．

2.3標(biāo)準(zhǔn)形式的極值點(diǎn)偏移

例題^^&&（2016年新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點(diǎn)．

（1）求a的取值范圍.

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2．

解析：（1）略．

（2）f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）·（ex+2a），由（1）可知a＞0，故x0=1為f（x）的極小值點(diǎn).f（x0）=（x0+1）ex＞0，…，f（2k+1）（x0）=（x0+2k-1）ex＞0.由上述結(jié)論可知，x1+x2＜2．

評析：此題的第（2）問是標(biāo)準(zhǔn)的極值點(diǎn)偏移的常見形式x1+x2＞x0型，處理時只需要精確地求出奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)，并概括總結(jié)出其一般形式，并利用上述定理判斷出其正負(fù)號即可．

2.4x1x2＞x0形式的極值點(diǎn)偏移

例題已知函數(shù)f（x）=lnx+mx-3有兩個零點(diǎn).

（1）求m的取值范圍.

（2）設(shè)a，b為f（x）的兩個零點(diǎn)，證明：ab＞m2．

解析：（1）略．

（2） 兩邊同時取對數(shù)即證明lna+lnb＞2lnm.令lnx=t，則x=et.所以f（x）=lnx+mx-3有兩個零點(diǎn)a，bh（t）=t+met-3有兩個零點(diǎn)t1，t2，即證明t1+t2＞2lnm.設(shè)t0為h（t）=t+met-3的極值點(diǎn)，因為h′（t）=1-met，則t0=lnm.故h（t）在（0，lnm）單調(diào)遞減，在（lnm，+∞）單調(diào)遞增，所以t0為h（t）的極小值點(diǎn).又因為h′（t0）=0，h″′（t0）=-met0＜0，…，h（2k+1）（t0）=（-1）2k+1met0＜0，k∈N.所以由上述結(jié)論可知，t1+t2＞2lnm，故ab＞m2得證．

評析：此題的第（2）問是x1x2＞x0型，并不是極值點(diǎn)偏移的標(biāo)準(zhǔn)形式.但是不等號左邊是兩項相乘，不等號右邊是一個平方項，左右兩邊都相當(dāng)于二次式，處理時只需左右兩邊同時取對數(shù)，將其化為極值點(diǎn)偏移的標(biāo)準(zhǔn)形式即可．

2.5變形換元后的形式

例題^^&&

（2021年新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=x·（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性.

（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-a·lnb=a-b，證明：2＜1a+1b＜e.

解析：（1）略．

（2）由blna-alnb=a-b，兩邊同時除以ab

得lnaa-lnbb=1b-1a，即lna+1a=lnb+1b，即f1a=f1b.令1a=m，1b=n，即證m+n＞2.

由（1）可知，x0=1為f（x）的極大值點(diǎn).f（x0）=1x20＞0，…，f（2k+1）（x0）=（2k-1）！1x2k0＞0.由上述結(jié)論可知，m+n＞2．

評析：此題的第（2）問也不是標(biāo)準(zhǔn)的極值點(diǎn)偏移的形式，處理時可以觀察已知條件的形式結(jié)構(gòu)，進(jìn)行恒等變形.這樣就可以化為題目中已給的函數(shù)形式，然后換元將其化為極值點(diǎn)偏移的基本形式即可.但是第（2）問在處理右邊這個不等號時用上述的

結(jié)論并沒有將其解決，原因在于x=e并不是f（x）的極值點(diǎn)．

3高觀點(diǎn)下的導(dǎo)數(shù)證明問題

3.1拉格朗日中值定理

若函數(shù)f滿足如下條件：

（1）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（2）f在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，

則在（a，b）上至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.［3］

3.2利用拉格朗日中值定理證最值

例1^^&&（2009年遼寧高考）已知函數(shù)f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx，a＞1.

（1） 討論f（x）的單調(diào)性.

（2） 證明：若a＜5，則對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有f（x1）-f（x2）x1-x2＞-1.

解析：（1）略.

（2）要證f（x1）-f（x2）x1-x2＞-1，只需證f′（ξ）=ξ-a+a-1ξ＞-1，令g（ξ）=ξ2-（a-1）ξ+（a-1），則Δ=（a-1）2-4（a-1）=（a-1）（a-5），由于1＜a＜5，故Δ＜0，從而g（ξ）＞0恒成立，也即ξ2-aξ+（a-1）＞-ξ，又由拉格朗日中值定理，ξ∈（x1，x2），又因為x1，x2∈（0，+∞），所以ξ＞0，從而ξ2-aξ+（a-1）ξ＞-1，即f′（ξ）＞-1．

評析：這道題的第（2）問，用初等方法構(gòu)造g（x）=f（x）+x不易想到，而且g（x）導(dǎo)數(shù)的放縮也不容易想到.當(dāng)我們看到要證明f（b）-f（a）b-a＞λ或者f（b）-f（a）b-a＜λ時，要想到拉格朗日中值定理．

例2^^&& 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e-x．

（1）證明：f′（x）≥2.

（2）證明：對所有x≥0，都有f（x）≥ax，則a的取值范圍為（-∞，2］.

解析：（1）略.

（2）當(dāng)x=0時，對于任意的實數(shù)a，都有f（x）≥ax.當(dāng)x＞0時，問題轉(zhuǎn)化為a≤ex-e-xx對所有x＞0恒成立.令G（x）=ex-e-xx-0，由拉格朗日中值定理可知，存在一點(diǎn)ξ∈（0，x），使得f′（ξ）=f（x）-f（0）x-0，即G（x）=f′（ξ）=eξ+e-ξ.由于f″（ξ）=eξ-e-ξ＞f″（0）=0，故f′（ξ）在（0，x）上是增函數(shù).令x→0，得G（x）=f′（ξ）=eξ+e-ξ≥f′（0）=2，所以a的取值范圍為（-∞，2］.

評析：（1）如果用初等方法求解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-ax，再分a≤2和a＞2討論.其中當(dāng)a＞2時，又要去解方程g′（x）=0.這樣會有兩個缺點(diǎn)：一是為什么要以a≤2和a＞2討論;二是解方程g′（x）=0較為麻煩.如果用了拉格朗日中值定理求解，可以省去討論，避開麻煩．

（2）當(dāng)我們用分離參數(shù)構(gòu)造出f（x）x≥a或者f（x）x≤a，如果f（0）=0，那么即證f（x）-f（0）x-0≥a或者f（x）-f（0）x-0≤a，要想到用拉格朗日中值定理．

3.3利用拉格朗日中值定理證明不等式

例題^^&&（2006年四川卷）已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），對任意兩個不相等的正實數(shù)x1，x2，證明：當(dāng)a≤4時，｜f′（x1）-f′（x2）｜＞｜x1-x2｜.

解析：由f（x）=x2+2x+alnx得，f′（x）=2x-2x2+ax.令g（x）=f′（x），由拉格朗日中值定理可得存在ξ∈（x1，x2），有｜g（x1）-g（x2）｜=｜g′（ξ）（x1-x2）｜.下面只需要證明當(dāng)a≤4時，對任意的ξ＞0，g′（ξ）＞1，即證g′（ξ）=2+4ξ3-aξ2＞1，即證當(dāng)a≤4時，a＜ξ2+4ξ恒成立.這等價于證明ξ2+4ξ的最小值大于4.因為ξ2+4ξ=ξ2+2ξ+2ξ≥3·

3ξ2·2ξ·2ξ=334，當(dāng)且僅當(dāng)ξ=32時等號成立，又因為334＞4，故得證．

評析：這道題用初等方法證明過于冗長，而且技巧性過強(qiáng)，

很多學(xué)生想不到.用拉格朗日中值定理思路較為清晰、自然.這體現(xiàn)了高觀點(diǎn)的優(yōu)越性.無論是做選擇題、填空題看到｜f′（x1）-f′（x2）｜＞｜x1-x2｜，我們應(yīng)當(dāng)想到拉格朗日中值定理．

4高觀點(diǎn)下的不等式問題

結(jié)論：設(shè)A是實對稱矩陣，則必有正交矩陣P，使得PTAP=B，對應(yīng)的二次型為f=xTAx，作正交變換x=Py，則有f=yTPT APy=yTBy=λ1y21+λ2y22+…+λny2n，即得到了標(biāo)準(zhǔn)型．［4］

該結(jié)論的應(yīng)用特點(diǎn)是將高中含有交叉項的最一般的二次齊次式化為不含交叉項的二次齊次式.高中最常見的就是n=2時的特例．

例題^^&&（2022年新高考Ⅱ卷）若實數(shù)x，y滿足x2+y2-xy=1，則（）.

A. x+y≤1

B. x+y≥-2

C. x2+y2≤2

D. x2+y2≥1

解析：f=x2+y2-xy對應(yīng)的實對稱矩陣A=1-12

-121，由｜A-λE｜=1-λ-12

-121-λ=14（2λ-1）（2λ-3），得特征值為λ1=12，λ2=32.λ1所對應(yīng)的單位特征向量為α1=

22，22T，λ2所對應(yīng)的單位特征向量為α2=（-22，22）T.對應(yīng)的正交矩陣P=22-22

2222，經(jīng)過正交變換的標(biāo)準(zhǔn)型為f=12u2+12v2.記原來二次曲線對應(yīng)的是x-y坐標(biāo)軸，經(jīng)過正交變換后的坐標(biāo)軸為u-v坐標(biāo)軸.設(shè)e1=（1，0），e2=（0，1）為x-y坐標(biāo)軸下的單位正交向量，則對于u-v坐標(biāo)軸下的α1，α2則有α1=22e1+22

e2，α2=-22e1+22e2，則e1=22α1-22α2，e2=22α1+22α2，則x-y坐標(biāo)軸下的點(diǎn)（x，y）與u-v坐標(biāo)軸下的點(diǎn)（u，v）的關(guān)系為x=22u-22v，y=22u+22v.故x2+y2=u2+v2，xy=12（u2-v2），x2+y2-xy=12u2+32v2=1.故x+y=2u∈［-2，2］.故B正確，A錯誤.1=12u2+32v2≥12u2+12v2.從而u2+v2≤2.故C正確D錯誤．

綜上所述，選擇答案BC.

評析：對于一般含有交叉項的二次式的處理難點(diǎn)就在于交叉項，一般是通過把交叉項拿出來然后利用基本不等式.實際上對于含交叉項的問題可以通過正交變換將交叉項這個困難去掉，達(dá)到化繁為簡的目的．

5教學(xué)思考與建議

5.1將高觀點(diǎn)逐步滲透課堂

教師要以高等數(shù)學(xué)的視角看待中學(xué)數(shù)學(xué)，兼顧理論與實踐，從教與學(xué)兩個角度研究中學(xué)數(shù)學(xué)教材.教師應(yīng)有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)文化及多種教學(xué)手段和方法，達(dá)到課程的教學(xué)目標(biāo)，并做到與課程思政相結(jié)合，真正做到以學(xué)生為中心，將高等數(shù)學(xué)的知識融會貫通到課堂教學(xué)中去，提高學(xué)生的思維能力和對數(shù)學(xué)的興趣．

5.2教師應(yīng)該提升自己的專業(yè)修養(yǎng)

中學(xué)一線教師已經(jīng)闊別高校多年，對一些大學(xué)的知識有所遺忘.但是隨著新課改的提出，對教師專業(yè)性也有所要求，如果沒有知識的理論支撐，教師很難完成日常的教育教學(xué)工作.現(xiàn)如今的教材上都會涉及一些問題探討，很多都與高等數(shù)學(xué)有關(guān).因此，教師應(yīng)該秉持著終身學(xué)習(xí)的理念，重溫大學(xué)的基礎(chǔ)教材，提升自己的專業(yè)修養(yǎng).當(dāng)教師有足夠的高觀點(diǎn)后，可以在一些學(xué)習(xí)中逐步引導(dǎo)學(xué)生.例如，當(dāng)學(xué)完周期函數(shù)后可以問學(xué)生這樣一個問題，任何周期函數(shù)都有最小正周期嗎？學(xué)生可能一時想不到，但是教師可以用在函數(shù)的概念那一節(jié)中舉過的狄利克雷函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考．

5.3教學(xué)中應(yīng)教會學(xué)生最基本的原理

美國心理學(xué)家布魯納（J.S.Bruner）主張教學(xué)的最終目的在于促使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)即該學(xué)科的一般的、基本的原理.布魯納相信“把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面”會有利于記憶.教師在教育教學(xué)過程中應(yīng)該教會學(xué)生數(shù)學(xué)的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)知識“抽絲剝繭”．

5.4拓展一些校本課程

學(xué)校可以開展一些相關(guān)課程，按照課標(biāo)分類的高中數(shù)學(xué)模塊將高等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行組塊，從而進(jìn)行大單元教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．

參考文獻(xiàn)

［1］菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）算術(shù) 代數(shù) 分析［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2017．

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版 2020 年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析.上冊［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2010．

［4］張賢科，許甫華.高等代數(shù)學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004.