摘要：本文以人教版八年級教科書中“課題學習選擇方案”為例，探討在“綜合與實踐”領域中，如何通過激活學生已有知識經(jīng)驗，探索問題解決的著力點，構建指向核心內(nèi)容的整體教學樣例，從而推動學生數(shù)學學科素養(yǎng)的發(fā)展.通過重點研究學生思維發(fā)展規(guī)律，從解決問題的心理機制中尋找對策，關注教學評價方式和效果，優(yōu)化教學策略和方法，可以實現(xiàn)關鍵能力的培育，并落實“雙減”精神．

關鍵詞：數(shù)學學科素養(yǎng)；關鍵能力；問題解決；思維發(fā)展規(guī)律

《中國高考評價體系》指出：“學科素養(yǎng)是指即將進入高等學校的學習者在面對生活實踐或?qū)W習探索問題情境時，能夠在正確的思想價值觀念指導下，合理運用科學的思維方法，有效整合學科相關知識，運用學科相關能力，高質(zhì)量地認識問題、分析問題、解決問題的綜合品質(zhì).”［1］以問題解決為導向的課題學習是培養(yǎng)學科素養(yǎng)的載體.人教版《義務教育教科書數(shù)學八年級下冊》中《一次函數(shù)》單元的“課題學習選擇方案”，以現(xiàn)實生活中的費用最少問題，讓學生體會數(shù)學在生活中的應用，經(jīng)歷從數(shù)學的角度觀察與分析、思考與表達、分析與解決問題的過程，發(fā)展應用意識.

課題學習和項目學習等新型教學方法，通常需要采用一種整體性的教學方法，精制教學理論，就是這樣一種方法，它對問題進行簡化，靠的是識別問題較簡單版本，而不是將其分解為系列小片段.筆者嘗試利用精致教學理論，基于問題的數(shù)學實質(zhì)，通過激活學生的已有知識經(jīng)驗，構建教學的著力點，在教學中獲得了良好效果．

1教學分析

1.1內(nèi)容分析

人教版《義務教育教科書數(shù)學八年級下冊》《一次函數(shù)》單元中“課題學習選擇方案”的總問題是選擇最省錢的方案問題，由以下兩個問題組成.［2］

（1）上網(wǎng)收費問題：下表給出A，B，C三種上寬帶網(wǎng)的收費方式．

選取哪種方式能節(jié)省上網(wǎng)費？

（2）租車問題：某學校計劃在總費用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師.現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下表.

這兩個問題的背景雖然不同，但其實質(zhì)是一致的，表面是研究不同方案的總費用最少，其實質(zhì)是比較大小，可以將“租車問題”轉(zhuǎn)化為“比較大小”的數(shù)學問題.對問題的感知和識別是構建思路的第一步，它幫助我們抓住問題的核心，并確定了解題的方向.接著就是思考如何解決“大小比較”，一般情況下，學生無法想到與該問題相關的解題經(jīng)驗，所以教學時教師要注意引導學生對已有相關知識和經(jīng)驗的調(diào)取.比較大小包括數(shù)的大小比較、量的比較，以及變量的大小比較等.在小學數(shù)學中，學生就已經(jīng)接觸到了比較大小的基礎知識.初中比較變量的大小，可以通過不等式或者建立一次函數(shù)模型來解決.用一次函數(shù)解決，主要利用函數(shù)的增減性，借助圖象來完成大小比較.圖象是對函數(shù)整體的表達，與通過解析式求值相比，更加直觀易懂.因此，識別問題并把握其實質(zhì)，是進行教學內(nèi)容結構化的起點，也是構建教學整體思路，促進學生學習經(jīng)驗結構化的基礎.遷移已有知識和經(jīng)驗來學習具有重要意義，它不僅是學生認知和解決新問題的基礎，還能夠幫助學生更快地理解新問題的性質(zhì)和特點，減少探索的時間和成本．

1.2素養(yǎng)分析

教材中兩個問題解決需要學生具備較多學科素養(yǎng)，具體如下（見表1）.

2教學設計

2.1上網(wǎng)收費問題：借助生活經(jīng)驗激活思路

從小學生一年級開始，比較大小就成為數(shù)學學習的基礎.隨著學習的深入，比較的對象從整數(shù)擴展到分數(shù)，涉及的量包括時間、長度、面積等，這些本質(zhì)上都是比較大小的問題.同時，小學數(shù)學中也學習了量之間的關系，如總價是單價與數(shù)量的乘積.網(wǎng)費方案選擇問題雖然復雜一些，其實質(zhì)仍然是總費用等于單價乘以時間，這與小學階段的數(shù)量關系學習一脈相承.雖然每個年級學習的數(shù)量關系表現(xiàn)形式不同，但其本質(zhì)始終如一．

例如，人教版《義務教育教科書數(shù)學八年級下冊》第79頁的練習中，呈現(xiàn)某一天北京與上海的氣溫隨時間變化的圖象（如圖1），通過觀察某一天北京與上海的氣溫隨時間變化的圖象，得到這一天內(nèi)，上海與北京何時氣溫相同，上海在哪段時間比北京氣溫高，在哪段時間比北京氣溫低．

圖1

筆者在課前讓學生重溫以上練習，通過氣溫的比較，喚醒學生比較大小經(jīng)驗基礎，感悟“圖象是函數(shù)的整體和直觀的表達”，借用圖形比較分段函數(shù)值的大小，體會圖象角度解決問題的優(yōu)點，為本課時“上網(wǎng)收費問題”的“費用大小比較”的研究方法打下知識基礎，做好方法遷移的準備，給學生做了一個思維的定向.

其實，類似氣溫的比較，學生生活經(jīng)驗也很豐富，這些經(jīng)驗同樣可以被巧妙地運用在教學中.例如，學生能夠觀察到十一二歲的女生身高往往突然超過男生，到了十五六歲，男生的身高又普遍超過女生，這樣的生活實例比比皆是.只要教師適當?shù)匾龑Ш图せ钸@些經(jīng)驗，學生便能夠自然而然地形成研究思路.筆者收集蘇科版教材，也有類似的引例.

引例根據(jù)如下某地學生平均身高變化圖，回答下列問題．

（1）哪個年齡段學生的身高增長較快？哪個年齡段學生的身高變化較緩？

（2）男、女生身高差異，哪個年齡段較小？哪個年齡段較大？

（3）為什么圖中男、女生身高的平均數(shù)曲線有兩個交叉點？你認為這符合青少年身體發(fā)育的特點嗎？

通過引用學生熟悉的身高變化（男女身高比較）和氣溫比較等生活經(jīng)驗，我們可以將分段函數(shù)的比較轉(zhuǎn)化為直觀的圖象理解，讓學生體會“圖象是函數(shù)的整體表達”.在后續(xù)研究上網(wǎng)收費問題時，學生可以自然地運用這種思路，通過圖象比較來判定函數(shù)值的大小.圖象展示的函數(shù)整體規(guī)律更易于把握，解析式則側重局部表達，需要具體求值才能進行比較，這相對復雜.因此，借助圖象，學生能夠獲得全局視角，更清晰地理解整個問題規(guī)律．

2.2租車問題：借助已有知識激活思路

租車問題提供數(shù)據(jù)較多，涉及的數(shù)量關系也較多，對于大部分學生存在困難，如何引導學生構建思路成為當前的教學研究需求.

不論是哪種類型的任務，在使用簡化條件法時都要做兩件事：一是確定任務最簡單的版本；二是基于整體性的概念，將簡化條件一個個去掉，產(chǎn)生一個個完整的、更加復雜的任務版本.根據(jù)精致教學理論，對于復雜的租車問題，教師需要識別出其較簡單的完整版本進行簡化，然后按照具體性遞增的方式，逐級設置問題.筆者梳理小學和初中相關教材內(nèi)容，進行結構化分析，整體教學思路是以舊引新，漸次精致．［3］

2.2.1溯源：定位思考的起點人教版《義務教育教科書數(shù)學四年級下冊》中有如下租車問題.［4］

實驗小學四年級同學到城郊開展踏青活動.大客車每輛可乘坐45人，租金360元/輛，中巴車每輛可乘坐22人，租金200元/輛.四年級共有師生224人，怎樣租車最省錢？最少需要多少錢？

通過對四年級師生的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)小學生解決此類問題的思考方式如下.

（1）計算每人乘坐大客車和中巴車的成本.

大客車：360÷ 45=8（元/人）.

中巴車：200÷ 22≈ 9.09（元/人）.

從成本上看，大客車每人費用更低．

（2）確定最省錢的租車方案.盡量多租大客車，因為大客車的單人成本更低.四年級共有224人，如果全部乘坐大客車，需要的車輛數(shù)為 224÷ 45≈ 4.98（輛）.由于不能租用部分車輛，我們需要考慮整數(shù)車輛．

（3）計算不同租車組合的費用.租用5輛大客車的費用為5×360=1800（元），但會有空座，因為5輛大客車可以載225人，超過了224人.租用4輛大客車和1輛中巴車的費用為4× 360+1× 200=1640（元），正好可以載224人（4輛大客車載180人，1輛中巴車載44人）．

（4）得出結論.

最省錢的租車方案是租用4輛大客車和1輛中巴車，總費用為1640元．

通過解決小學中的租車問題，學生學會了如何通過比較單價、計算總成本來做出最優(yōu)選擇，這種策略在解決更復雜的初中問題時仍然適用.

所以教師思考的問題就是怎么引導學生的思路，打開學生的思維，給學生一個比較寬泛思維空間.從方法引導上，面對更復雜的問題時，學生可能也會嘗試將其簡化，利用在小學階段學到的基本原理來找到解決方案．

2.2.2拆解：分析難點，鋪墊臺階

租車問題涉及主要因素與次要因素.要找到幾對數(shù)量關系中的核心變量，租車費用與甲乙車輛數(shù)相關是主要因素，甲乙車輛數(shù)又與乘客數(shù)相關，故乘客數(shù)是次要因素，對于學生而言有一定難度，直接實現(xiàn)思維水平要求較高.筆者采用拆解難點方式，通過設計三個有關聯(lián)的問題，為學生鋪墊三層臺階，讓他們拾級而上突破卡點．

問題1甲種客車每輛租金400元，乙種客車每輛租金280元，在總費用2300元的限額內(nèi)，若租7輛客車，可以有幾種租車方案？哪種方案費用最少？

【設計意圖】原租車問題中涉及的變量較多，學生對于處理多變量問題有一定困難，一方面前面課本練習題安排上也缺少相關此類問題的深入研究；另一方面學生對于找到“費用大小的主要因素與次要因素”經(jīng)驗也不足.故本問題是在原租車問題上做了從多變量到雙變量的調(diào)整，降低難度的同時，突出了影響租車費用的主要因素，為

問題2 做好鋪墊．

問題2某學校計劃在總費用2 300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師.現(xiàn)在甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下表.

教師引導學生思考，要最節(jié)省費用的租車方案，需要做什么？

（1）費用的構成要素及其關系.

總費用=租用甲車的費用+租用乙車的費用.

租用甲車的費用=租用甲車的數(shù)量×租金，租用乙車的費用=租用乙車的數(shù)量×租金.

（2）當租金確定的情況下，租車費用與甲、乙車輛數(shù)相關（主要因素），

費用是租用甲車的數(shù)量（或乙車數(shù)量）的函數(shù)．

（3）若車輛總數(shù)固定，甲、乙車輛數(shù)與乘客數(shù)相關，乘客數(shù)是次要因素，它決定了甲、乙車輛數(shù)．

【設計意圖】學生在問題1的分析與求解基礎上，能夠初步感知本題中費用隨租甲車數(shù)量的變化而變化，并把這兩個變量作為研究的對象，從而實現(xiàn)對問題的解決方案的整體感知.面對問題2，很自然會進行對比，發(fā)現(xiàn)與問題1的不同，未給出租客車的數(shù)量，同時在問題1的解決經(jīng)驗指引下進行分析，明確先確定租幾輛車，一旦租車總數(shù)確定后，就變成問題1，從而問題得以解決.這樣的活動設計做到有層次性地分散難點，先解決一個整體思路，再解決一個說不過去的點，然后整個問題解決思路就構建完成.教學設計的發(fā)力點是去思考怎樣塑造學生的思維空間，既給學生定向思路，還能讓他們盡量多地去自主思考，保有學習的主動性．

問題3甲種客車每輛租金400元，乙種客車每輛租金280元；甲種客車最大載客量45人，乙種客車最大載客量30人.在總費用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學生與8名教師集體外出參加活動，每輛汽車上至少有1名教師.可以有幾種租車方案？哪種方案費用最少？

【設計意圖】對于租車問題的研究，到問題2還不太夠，這是因為與上網(wǎng)費用方案選擇問題對照，租車問題的圖象只表現(xiàn)為一條完整的折線圖象，為了回應上網(wǎng)費用方案選擇問題，突出選擇方案問題借助函數(shù)圖象來解決問題，需涉及不同函數(shù)的大小比較問題，從這個角度設計問題3.問題3是在滿足問題2一樣的條件，只改變了租車總數(shù)從6變到8，就實現(xiàn)是三個函數(shù)間比較大小，問題的圖象在結構上與網(wǎng)費方案選擇問題一致.該問題學生就可以綜合網(wǎng)費方案選擇的經(jīng)驗，通過分析三個一次函數(shù)，求函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值得到答案．

2.3學以致用，點燃創(chuàng)新

問題解決不以訓練技巧為目標，而是以聯(lián)系實際，發(fā)展提出問題、分析問題、解決問題能力發(fā)展為目標，學生除了課堂上在教師的引導下經(jīng)歷費用構成要素分析、各要素的可變性分析、變量的確定、變量之間關系的確定及數(shù)量表示等過程，還需要在課后生活情境下的探索與實踐，這樣所學的知識與方法就“活了”，創(chuàng)新意識才能有機會萌芽．

因此，本課需安排實踐性作業(yè)，如“雙十一”，某公司需要購置若干臺空調(diào)，請調(diào)查市場上不同節(jié)能級別的空調(diào)的價格、耗電量，了解當?shù)氐碾娰M價格，運用數(shù)學知識進行分析，給公司提一個購買建議，并把你的調(diào)查分析及建議寫成書面報告形式.建議采用“項目式學習”方式組織學生進行小組合作學習方式解決問題，同時教師對學生的活動要提供一定的幫助與指導，設計評價量表，把實踐問題解決的過程和結果作為評價學生利用一次函數(shù)模型解決方案選擇問題的水平．

3教學啟示

數(shù)學學科素養(yǎng)培育的重點任務就是加強對數(shù)學課程內(nèi)容本質(zhì)的理解，研究學生認知規(guī)律，在此基礎上做好教學，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)，充分發(fā)揮數(shù)學學科的育人價值.問題解決整體思路就是激活知識經(jīng)驗的過程，它需要學生將那些零散的記憶和理解進行系統(tǒng)歸納和分析，從而在面對新的選擇方案時，能夠迅速調(diào)動這些信息.這種方法不僅促進了知識的結構化，也促進了方法的結構化，從而真正實現(xiàn)了大單元教學的整體性，在數(shù)學學科素養(yǎng)培育方面，做到學生能夠在不同情境下綜合利用所學知識和技能處理復雜任務的目標，培育學生“泛化”與“可遷移”的能力，與真實社會中所需的人才相匹配．

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書數(shù)學八年級下冊［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］黃淑欽.基于精致理論的導數(shù)單元教學設計［D］.福州：福建師范大學，2020.

［4］人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書數(shù)學四年級下冊［M］.北京：人民教育出版社，2022.

*基金項目：福建省教育科學規(guī)劃2023年教育考試招生重點專項課題“中考綜合改革背景下數(shù)學學科素養(yǎng)的培育研究”（項目編號：FJJYKS23-59）.