摘要：“一題多解”對(duì)于合理梳理整合基礎(chǔ)知識(shí)、發(fā)散數(shù)學(xué)思維、提升變形能力以及優(yōu)化解題學(xué)習(xí)過(guò)程等具有高效的教學(xué)價(jià)值與策略應(yīng)用.本文結(jié)合解題實(shí)例，就“一題多解”應(yīng)用過(guò)程中的一些側(cè)重點(diǎn)加以剖析，旨在優(yōu)化解題教學(xué)與創(chuàng)新應(yīng)用，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題研究，針對(duì)性地指導(dǎo)解題學(xué)習(xí)．

關(guān)鍵詞：一題多解；解題教學(xué)；解題學(xué)習(xí)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程中，“一題多解”不僅是一種解題技巧，更是一種重要的思維方式.特別在數(shù)學(xué)解題教學(xué)與數(shù)學(xué)試卷講評(píng)等過(guò)程中，借助“一題多解”，要求學(xué)生在面對(duì)一個(gè)問(wèn)題時(shí)，能夠從不同的角度，運(yùn)用不同的知識(shí)和方法去思考和解答，這不僅有助于提高學(xué)生的解題能力，拓展數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容與思想方法，還能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展和創(chuàng)新能力的提升，是數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中一個(gè)非常重要的手段與應(yīng)用．

1發(fā)散思維，深入思考

“一題多解”能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.發(fā)散性思維是指從多個(gè)角度、多個(gè)方向去思考問(wèn)題，尋求多種答案的思維方式.在“一題多解”的過(guò)程中，學(xué)生需要不斷地嘗試和探索，從多個(gè)角度深入思考問(wèn)題，這有助于培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維.

數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題都需要從不同的角度去思考和理解，所以這種思維方式對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)非常重要.

例題^^（2024年福建省廈門市高三畢業(yè)班第四次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）&&記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若2cosC=3ba－ab，則B的取值范圍是．

方法1：化邊思維法．

依題，由2cosC=3ba－ab，結(jié)合余弦定理，可得2×a2+b2-c22ab=3b2-a2ab，整理可得2（a2－b2）=c2．

由△ABC是銳角三角形，可得a2+b2＞c2，則有a2+a2－12c2＞c2，則有c2a2＜43，解得ca＜

23．

結(jié)合余弦定理，可得cosB=a2+c2-b22ac=3c24ac=3c4a＜32，則有π6＜B＜π2．

所以B的取值范圍是π6，π2，故答案為π6，π2．

方法2：坐標(biāo)思維法．

依題，由2cosC=3ba－ab，結(jié)合余弦定理，可得2×a2+b2-c22ab=3b2-a2ab，整理可得a2－b2=12c2．

如圖1所示，以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A－c2，0，Bc2，0，設(shè)C（x，y），根據(jù)對(duì)稱性，不失一般性，不妨設(shè)點(diǎn)C位于x軸上方．

結(jié)合a2－b2=12c2，可得x－c22+y2－x+c22－y2=12c2，整理可得x=－14c，即點(diǎn)C位于直線CE：x=－14c上（不包括x軸上的點(diǎn)E）．

△ABC是銳角三角形，則點(diǎn)C位于直線CE上且在圓O的外側(cè)（這里圓O的直徑為AB，圓O與直線EC的交點(diǎn)為點(diǎn)D）．

結(jié)合平面幾何圖形，可得|AE|=14c，|BE|=34c，利用直角三角形的射影定理，可得|DE|=｜AE｜×｜BE｜=34c，則知tan∠DBA=｜DE｜｜BE｜=34c34c=33，則有∠DBA=π6．

△ABC是銳角三角形，數(shù)形結(jié)合可知π6＜B＜π2．

所以B的取值范圍是π6，π2，故答案為π6，π2．

方法3：極限思維法．

依題，由2cosC=3ba－ab，結(jié)合余弦定理，可得2×a2+b2-c22ab=3b2-a2ab，整理可得2（a2－b2）=c2．

當(dāng)c足夠小時(shí)，此時(shí)c→0，則有b→a，可知B→π2.

當(dāng)c足夠大時(shí)，結(jié)合△ABC是銳角三角形，可知C→π2，當(dāng)C=π2時(shí)，利用勾股定理有a2+b2=c2，與2（a2－b2）=c2聯(lián)立，可得a2=3b2，即a=3b，此時(shí)B=π6.

所以B的取值范圍是π6，π2，故答案為π6，π2．

點(diǎn)評(píng)：解決此類解三角形問(wèn)題時(shí)，可以從化邊思維法、坐標(biāo)思維法以及極限思維法等不同思維形式切入與應(yīng)用，給數(shù)學(xué)解題思維的發(fā)散與問(wèn)題思考的深入創(chuàng)造條件，也為問(wèn)題的突破與解決創(chuàng)造條件．

2提高能力，優(yōu)化速度

“一題多解”能夠提高學(xué)生的解題能力和速度.通過(guò)“一題多解”的訓(xùn)練，學(xué)生可以掌握更多的解題技巧和方法，從而提高他們的解題能力和速度.這對(duì)于學(xué)生在考試中取得好成績(jī)非常重要，因?yàn)閿?shù)學(xué)考試往往需要在有限的時(shí)間內(nèi)完成大量的題目.同時(shí)，“一題多解”還能讓學(xué)生更好地適應(yīng)不同難度的題目，提高他們應(yīng)對(duì)各種考試的能力．

例題^^［2024年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷］&&正三棱錐P-ABC和正三棱錐Q-ABC共底面ABC，這兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，點(diǎn)P和點(diǎn)Q在平面ABC的異側(cè)，這兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面ABC所成的角分別為α，β，則當(dāng)α+β最大時(shí)，tan（α+β）=（）.

A. －13B. －23C. －1D. －43

方法1：設(shè)參法．

依題，設(shè)外接球半徑為1，設(shè)底面△ABC的外接圓半徑為r，如圖2所示，則有BM=r，MN=r2，可得OM=1-r2．

所以tanα=PMMN=1+1-r2r2＞0，同理可得tanβ=1-1-r2r2＞0，則有tanαtanβ=1+1-r2r2·1-1-r2r2=4．

所以結(jié)合基本不等式，可得tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=tanα+tanβ-3≤2tanαtanβ-3=－43，當(dāng)且僅當(dāng)tanα=tanβ=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)α+β最大．

所以當(dāng)α+β最大時(shí)，tan（α+β）=－43，故選擇答案D．

方法2：特殊法．

借助圖形的對(duì)稱性可知，當(dāng)這兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面ABC所成的角α，β相等時(shí)，α+β最大．

此時(shí)底面△ABC的外接圓恰是外接球的大圓，不失一般性，設(shè)此時(shí)外接球半徑為1，則底面△ABC的外接圓半徑也為1，

則有tanα=112=2，結(jié)合α，β相等，所以tanα=tanβ=2，所以tan（α+β）=2tanα1-tan2α=－43，故選擇答案D．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于合理進(jìn)行設(shè)參，可借助底面△ABC的外接圓半徑的設(shè)置，也可借助底面三角形的外接圓的中心與外接球的球心之間的兩心距的設(shè)置，還可借助兩個(gè)正三棱錐的高的設(shè)置來(lái)達(dá)到目的，結(jié)合圖形的對(duì)稱性，合理挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵，依托問(wèn)題的特殊性，可以優(yōu)化解題速度．

3培養(yǎng)創(chuàng)新，勇于探索

“一題多解”還能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索欲望.在解題過(guò)程中，學(xué)生需要不斷地嘗試和探索新的方法和思路，這有助于激發(fā)他們的創(chuàng)新精神和探索欲望.這種創(chuàng)新精神和探索欲望對(duì)于學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展都非常重要，在未來(lái)的學(xué)習(xí)和工作中，他們需要不斷地面對(duì)新的挑戰(zhàn)和問(wèn)題，需要不斷地探索和創(chuàng)新.

例題設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=1，則x+x2+y2的最小值為（）.

A. 45B. 25

C. 1D. 1+23

方法1：幾何意義法．

依題，由非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=1，則知x+x2+y2的幾何意義為直線2x+y=1在第一象限（或x軸、y軸的正半軸上）的點(diǎn)P（x，y）到y(tǒng)軸的距離d與到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離|OP|的和的最小值

問(wèn)題．

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線2x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)為M（a，b），則有ba=12，

2×a2+b2=1，解得a=45，

b=25，即M45，25．

如圖3所示，由對(duì)稱性可得|OP|=|PM|，所以x+x2+y2的幾何意義為|PM|+d，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)PM⊥y軸時(shí)，該代數(shù)式的取值為最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=310，y=25時(shí)，x+x2+y2取得最小值為45，故選擇答案A．

方法2：判別式法．

依題，由非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=1，可得y=1－2x．

設(shè)t=x+x2+y2≥0，則有t=x+x2+（1-2x）2

，即5x2-4x+1=t－x．

兩邊平方并整理可得4x2+2（t－2）x+1－t2=0，根據(jù)題設(shè)知關(guān)于變量t的二次方程有實(shí)根，則有判別式Δ=4（t－2）2－16（1－t2）≥0，整理有5t2－4t≥0，解得t≥45或t≤0（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)x=310，y=25時(shí)等號(hào)成立．

所以x+x2+y2的最小值為45，故選擇答案A．

方法3：三角換元法．

依題，三角換元有x=rcosθ，y=rsinθ，其中r＞0，θ∈0，π2．

由非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=1，代入可得r·（2cosθ+sinθ）=1，即r=12cosθ+sinθ．

設(shè)t=x+x2+y2≥0，則有t=r（cosθ+1）=1+cosθ2cosθ+sinθ，整理可得1=tsinθ+（2t－1）cosθ．

結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式，可得tsinθ+（2t－1）cosθ=t2+（2t-1）2sin（θ+φ）≤t2+（2t-1）2，其中tanφ=2t-1t．

則有1≤t2+（2t-1）2，兩邊平方并整理可得5t2－4t≥0，解得t≥45或t≤0（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)x=310，y=25時(shí)等號(hào)成立．

所以x+x2+y2的最小值為45，故選擇答案A．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題，最為基本的方法是回歸平面解析幾何本質(zhì)，通過(guò)幾何意義法來(lái)分析與處理.

依托代數(shù)式的本質(zhì)利用函數(shù)與方程思維來(lái)處理，是處理此類問(wèn)題的“通性通法”，往往離不開函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用.抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理的換元處理，特別是三角換元解決，也是解決問(wèn)題的“巧技妙法”之一.

4團(tuán)隊(duì)合作，協(xié)作精神

“一題多解”還有助于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神.在解題過(guò)程中，學(xué)生可以與他人交流和討論，分享彼此的思路和方法，這有助于培養(yǎng)他們的團(tuán)隊(duì)合作精神.這種團(tuán)隊(duì)合作精神對(duì)于學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展同樣非常重要．?dāng)?shù)學(xué)中“一題多解”的重要性不言而喻，它不僅能夠幫助學(xué)生鞏固和拓展數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)發(fā)散性思維，提高解題能力和速度，還能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索欲望，培養(yǎng)他們的團(tuán)隊(duì)合作精神.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中教師適度合理地注重“一題多解”的訓(xùn)練，可以讓學(xué)生在解題過(guò)程中不斷地探索和創(chuàng)新，最終達(dá)到高效數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的．