摘要：新課標(biāo)指出數(shù)學(xué)建模是核心素養(yǎng)的重要組成部分，且基于新課標(biāo)的新教材將“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”設(shè)置為專題內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和生活問(wèn)題的能力.深度學(xué)習(xí)為構(gòu)建“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”專題教學(xué)課堂提供理論支撐，成為學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)知識(shí)規(guī)律和關(guān)聯(lián)的支點(diǎn)，也是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的根本路徑.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)；教學(xué)設(shè)計(jì)

目前，我國(guó)高中陸續(xù)開(kāi)展“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”教學(xué)，旨在通過(guò)多元化、多維度呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生學(xué)業(yè)水平，在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的同時(shí)，使學(xué)生從容應(yīng)對(duì)新高考.深度學(xué)習(xí)指向數(shù)學(xué)課程性質(zhì)和課程理念，旨在引導(dǎo)學(xué)生有計(jì)劃、有邏輯的學(xué)習(xí)，通過(guò)逐步探究數(shù)學(xué)知識(shí)，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的深層內(nèi)涵、性質(zhì)、規(guī)則，指向核心素養(yǎng)發(fā)展.本文旨在通過(guò)運(yùn)用深度學(xué)習(xí)思維以一道易拉罐設(shè)計(jì)的問(wèn)題為例，進(jìn)行“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”教學(xué)設(shè)計(jì)，驗(yàn)證深度學(xué)習(xí)模式對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展起到賦能作用.

1建模問(wèn)題提出

現(xiàn)在看見(jiàn)的易拉罐可以稱之為二代易拉罐，其材質(zhì)、形狀、制作工藝與一代易拉罐完全不同.一代易拉罐在20世紀(jì)初期產(chǎn)生，由罐底、罐身和罐蓋三個(gè)部分組成，材質(zhì)主要以馬口鐵皮為主.20世紀(jì)中葉，由于工業(yè)生產(chǎn)水平大幅度提升，易拉罐的制作工藝也迭代升級(jí)，易拉罐由罐身和罐蓋兩部分組成.又因化學(xué)材料的迅速發(fā)展，易拉罐制作材質(zhì)也隨之更換，主要材質(zhì)由鋁取代鐵.目前，有很多飲品由易拉罐盛裝，如飲料、啤酒、水等，易拉罐具有較好的保密性和防腐蝕性，也應(yīng)用于盛裝罐頭和乳制品.易拉罐外形美觀、輕巧，深受人們的喜愛(ài).易拉罐制作材料主要成分為鋁，生產(chǎn)成本較高.為節(jié)省易拉罐用料資金，易拉罐設(shè)計(jì)單位或生產(chǎn)單位注重優(yōu)化瓶身設(shè)計(jì)，通過(guò)改變瓶身的角度降低用料，實(shí)現(xiàn)降低用料成本目標(biāo).因此，在保證易拉罐容積不變的前提下，易拉罐形狀和尺寸設(shè)計(jì)成為減少用料的主要路徑.

2建模問(wèn)題分析

以可樂(lè)易拉罐為例，目前易拉罐形狀有兩種，即常規(guī)性和細(xì)長(zhǎng)型.雖然形狀不同，但是容積相同，均為330mL.形狀不同導(dǎo)致尺寸不同，所以易拉罐的用料成本也不相同.為了探究哪種易拉罐用料成本最少，可以針對(duì)問(wèn)題提出假設(shè).

（1）基本假設(shè).

假設(shè)一：易拉罐整體材質(zhì)相同、厚度相同.

假設(shè)二：易拉罐整體材質(zhì)的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于底和蓋的半徑，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于易拉罐的高度.

假設(shè)三：易拉罐底部和蓋部的接口處的厚度與蓋、底、身的厚度相同.

假設(shè)四：拉環(huán)與蓋重合，忽略不計(jì).

假設(shè)五：任何情況下易拉罐的體積和表面積不變.

易拉罐用料與表面積有關(guān).

根據(jù)建模問(wèn)題和基本假設(shè)，易拉罐可以抽象為空心圓柱（如圖1），所以只要明確圓柱的高（h）和底面半徑（r）即可.

（2）符號(hào)說(shuō)明.

“易拉罐設(shè)計(jì)”數(shù)學(xué)建模的符號(hào)說(shuō)明，如表1所示.

（3）模型建立.

一般情況下易拉罐的頂、底、體的材料厚度和材料密度數(shù)值為定值，通常用常數(shù)表示.根據(jù)圓柱體的體積公式，明確易拉罐的體積為

V＝πr2h.①

易拉罐罐頂（罐底）質(zhì)量為

m1＝ρπr2d.②

易拉罐展開(kāi)后可以看作長(zhǎng)方體，所以易拉罐的罐體質(zhì)量為

m2＝2ρπrhd.③

易拉罐總質(zhì)量由公式②③組成為

M＝ρd（2πrh＋2πr2）.④

d、ρ分別表示易拉罐材質(zhì)的厚度和密度.通過(guò)觀察公式④可知h和r是變量，所以易拉罐的總質(zhì)量與（2πrh＋2πr2）的取值范圍有關(guān)，（2πrh＋2πr2）數(shù)值越小，M值則越小，表示易拉罐的總質(zhì)量越小，所以可以得到關(guān)于易拉罐質(zhì)量的數(shù)學(xué)模型.［1］由于易拉罐的體積設(shè)定不變，所以V＝πr2h不變，只要求解未知數(shù)底面半徑r和高h(yuǎn)，即可求解出易拉罐的最小質(zhì)量.所以易拉罐質(zhì)量的數(shù)學(xué)模型為

S＝2πrh＋2πr2.⑤

3建模問(wèn)題求解

將公式①變形，得到πrh＝Vr，將其代入⑤，得

S（r）＝2πr2＋2Vr.⑥

對(duì)⑥進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)，得

S′（r）＝4πr－2Vr2.

令S′（r）＝0，求解r，得

r＝3V2π⑦

對(duì)

S′（r）＝4πr－2Vr2

進(jìn)行求導(dǎo)，得S″（r）＝4π＋4Vr3＞0，得出

S′（r）＝4πr－2Vr2

是單調(diào)增函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)S（r）的單調(diào)性表示如下.

當(dāng)0＜r＜3V2π時(shí)，S′（r）＜0，函數(shù)S（r）單調(diào)遞減；

當(dāng)r＞3V2π時(shí)，S′（r）＞0，函數(shù)S（r）單調(diào)遞增，則當(dāng)

r＝3V2π

時(shí)，S（r）取到最小值，S（r）min＝3·32πV2.將⑦代入公式①中得到

h＝Vπr2＝34Vπ.⑧

將⑧化簡(jiǎn)，并對(duì)比⑦，得

h＝2r.

由此可知，當(dāng)易拉罐的高度和罐頂直徑相等時(shí)，易拉罐的表面積最小，并且易拉罐用料最少，花費(fèi)的成本最少.

4改進(jìn)模型

常見(jiàn)易拉罐的高比直徑大，所以上述易拉罐數(shù)學(xué)模型需要優(yōu)化.

為方便數(shù)學(xué)模型構(gòu)建，假設(shè)二至假設(shè)五不變，假設(shè)一重新做出調(diào)整，即易拉罐的底部與頂部厚度相同，側(cè)壁厚度不同，且三者的材質(zhì)相同.由于假設(shè)一發(fā)生變化，其他假設(shè)沒(méi)有發(fā)生變化，所以在假設(shè)一的基礎(chǔ)上重新建立數(shù)學(xué)模型（用料最少）.［2］

關(guān)于易拉罐的相關(guān)數(shù)值假設(shè)如表2所示.

V易拉罐側(cè)面＝π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p），則m罐體＝m1，得

m1＝ρ［π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p）］.⑨

V易拉罐頂（罐底）＝πr2p，m罐頂（罐底）＝m2，得

m2＝ρπr2p.⑩

由于易拉罐總質(zhì)量等于頂、底、體的總質(zhì)量，所以M＝m1＋2m2，得

M＝ρ［π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p）＋2πr2p］.B11

通過(guò)觀察公式B11發(fā)現(xiàn)，當(dāng)π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p）＋2πr2p的數(shù)值越小，M的數(shù)值越小.所以可以得到易拉罐的總質(zhì)量數(shù)學(xué)模型，為

T＝π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p）＋2πr2p.B12

約束條件V易拉罐＝πr2h不變，求解出r和h，得到易拉罐最小表面積，此時(shí)易拉罐用料最少，成本最少.

由容積V＝πr2h，得

h＝Vπr2.B13

將公式B13代入公式B12中，得到T關(guān)于r的表達(dá)式，

T（r）＝π（r＋q）2Vπr2＋2p－V.

對(duì)表達(dá)式T（r）進(jìn)行一階求導(dǎo)，得T′（r）＝（r＋q）4πp－2qVr3.

令T′（r）＝0，得

r＝3qV2πp，r＝－q（舍去）.

對(duì)T′（r）再次進(jìn)行求導(dǎo)，得T″（r）＝4πp＋4qVr3＋6q2Vr4＞0.

當(dāng)0＜r＜3qV2πp時(shí)，T′（r）＞0，則T（r）單調(diào)遞減；當(dāng)

r＞3qV2πp時(shí)，T′（r）＞0，則T（r）單調(diào)遞增，則

當(dāng)r＝3qV2πp時(shí)，T（r）取到最小值，T（r）min＝π·

3qV2πp＋q2

34p2Vπq2＋2p－V.

將r＝3qV2πp代入公式B13，得h＝34p2Vπq2.

因此，當(dāng)hr＝2pq時(shí)，易拉罐的質(zhì)量可以得到最小值，同時(shí)易拉罐的表面積達(dá)到最小值，所以易拉罐的用料最少.

通過(guò)對(duì)若干易拉罐的各個(gè)部位進(jìn)行數(shù)值測(cè)量，可以得到一個(gè)均值數(shù)據(jù)，易拉罐的各項(xiàng)均值數(shù)據(jù)如表3所示.

通過(guò)觀察表3的各項(xiàng)均值數(shù)值發(fā)現(xiàn)，易拉罐的頂、底的厚度存在差異，但是數(shù)值差較小，為方便構(gòu)建易拉罐體積數(shù)學(xué)模型，所以假設(shè)易拉罐的底和蓋的厚度相同.為方便檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型，設(shè)定p＝0.278mm.

當(dāng)h≈2.5（2r）時(shí)，易拉罐的質(zhì)量最小，表面積也最小，用的耗材最少.330mL易拉罐尺寸如表4所示，并與理論值比較.

通過(guò)觀察表4發(fā)現(xiàn)，常規(guī)罐尺寸數(shù)值與數(shù)學(xué)模型數(shù)值具有較大的差異，細(xì)長(zhǎng)罐與數(shù)學(xué)模型數(shù)值差異較小，所以細(xì)長(zhǎng)罐的表面積較小，用的材料較少，成本較低.細(xì)長(zhǎng)罐的外形相較于常規(guī)罐更具美觀，但是細(xì)長(zhǎng)罐的缺點(diǎn)極為明顯.［3］細(xì)長(zhǎng)罐的中心較高，在運(yùn)輸過(guò)程中搖擺的程度較大，容易損壞，所以細(xì)長(zhǎng)罐不耐用，綜合產(chǎn)量較少.從理論的角度分析，細(xì)長(zhǎng)罐相較于常規(guī)管的成本較低，但是由于細(xì)長(zhǎng)罐本身所呈現(xiàn)的缺點(diǎn)，導(dǎo)致細(xì)長(zhǎng)罐在實(shí)際運(yùn)輸過(guò)程中破損率較高，消耗的運(yùn)輸成本提升.

5模型問(wèn)題討論

通過(guò)實(shí)際測(cè)量易拉罐實(shí)體的各項(xiàng)數(shù)值，發(fā)現(xiàn)易拉罐的頂和底的材料的厚度并不相同，并且易拉罐的實(shí)際形狀并不是圓柱體，是圓臺(tái)和圓柱體的組合體（如圖2）.根據(jù)易拉罐的實(shí)際物體形狀，可以進(jìn)一步提出假設(shè)：圖2中的易拉罐比圖1中的易拉罐的表面積要小，且運(yùn)用材料較少，成本較低.

通過(guò)觀察公式可知M值的大小與［π（r2＋n1）2p1＋π（r1＋n1）2q1＋π（2r2＋n1）n1h1＋π（r1＋r2＋n1）n1h2］有關(guān)，［π（r2＋n1）2p1＋π（r1＋n1）2q1＋π（2r2＋n1）n1h1＋π（r1＋r2＋n1）n1h2］越小，易拉罐的總質(zhì)量越小，易拉罐的表面積越小，所以易拉罐的用料就越小，成本越低.易拉罐的體積數(shù)學(xué)模型

為V＝πr22h1＋π（r21＋r1r2＋r22）h23

.當(dāng)易拉罐的體積數(shù)值不發(fā)生變化時(shí)，

求圓臺(tái)上、下底面半徑r1、r2及下部圓柱、上部圓臺(tái)高h(yuǎn)1、h2.

令G（r1，r2，h1，h2）＝π（r2＋n1）2p1＋π（r1＋n1）2q1＋π（2r2＋n1）n1h1＋π（r1＋r2＋n1）n1h2.

通過(guò)觀察上述模型可知，r1、r2、h1、h2是變化的量，易拉罐的體積是固定的量，G（r1，r2，h1，h2）是一個(gè)多元函數(shù).當(dāng)r1＝r2時(shí)，易拉罐整體變成了圓柱體.不難發(fā)現(xiàn)圓臺(tái)和圓柱融合體的易拉罐的表面積要小于圓柱體的表面積，所以形如圖2的易拉罐消耗的材料少，成本低.

6結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)模型需要經(jīng)歷建立、優(yōu)化、完善等過(guò)程，深度學(xué)習(xí)可以促進(jìn)學(xué)生在主體參與學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐漸優(yōu)化和完善數(shù)學(xué)模型.學(xué)生在深度學(xué)習(xí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型過(guò)程中，可以形成數(shù)學(xué)模型意識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際以問(wèn)題，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展起到重要推動(dòng)作用.數(shù)學(xué)模型活動(dòng)專題學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生綜合學(xué)習(xí)能力具有較高要求，教師要逐層引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握數(shù)學(xué)模型活動(dòng)學(xué)習(xí)方法和技巧，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力.

參考文獻(xiàn)

［1］戰(zhàn)景林.淺談基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.理科愛(ài)好者，2024（3）：28－30.

［2］羅羽.基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)——以數(shù)列教學(xué)為例［J］.廣西教育，2024（5）：76－79.

［3］黃麗生.深度學(xué)習(xí)指向的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)——以“如何調(diào)節(jié)藥的劑量和用藥間隔時(shí)間”為例［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2023（9）：54－58.