［ 摘 要 ］壓軸題的命制需要從知識結(jié)構(gòu)、試題樣態(tài)、素養(yǎng)考查要求等維度對試題進行反復(fù)重構(gòu)與優(yōu)化，同時又要對學(xué)情做深刻剖析，關(guān)注試題的學(xué)業(yè)水平要求與選拔要求雙功能，讓壓軸題成為有效題，最大限度地發(fā)揮試題的導(dǎo)向功能和育人價值.

［ 關(guān)鍵詞 ］命題構(gòu)思；命制過程；命制理念；命題反思

每個地區(qū)每一年的九年級壓軸題成為學(xué)子關(guān)注的重點，去年開始浙江省舟山市定海區(qū)首先呈現(xiàn)以“圓”為背景的綜合題為壓軸題，2023年浙江省杭州、寧波、溫州等地的中考題大膽嘗試讓“圓”成為壓軸題，筆者有幸參加了一次數(shù)學(xué)試題命制的全過程，歷經(jīng)反復(fù)推演論證、現(xiàn)將壓軸題的創(chuàng)作過程與思考和各位同行交流.

命題構(gòu)思

初中階段學(xué)習(xí)的幾何圖形主要有三角形、四邊形、圓，與前兩者不同，圓是曲線圖形，并且是天然的軸對稱圖形，試題中圖形的呈現(xiàn)既要考查學(xué)生的綜合能力，更要讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)之美，基于這樣的考量，本次考試壓軸題是以圓為背景的幾何綜合題.與此同時，學(xué)業(yè)水平檢測卷基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》要求，適當(dāng)滲透《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）相關(guān)理念和導(dǎo)向，命題組對整道試題制定了如下要求：（1） 從知識的維度來說既要有垂徑定理、圓周角定理等核心知識，又要在問題解決中融合相似三角形等幾何建模重要方法；（2） 試題呈現(xiàn)樣式需要打破純粹幾何推理證明的樣態(tài)，讓學(xué)生在解題過程中經(jīng)歷一次有意義的數(shù)學(xué)探究活動；（3） 試題的素材選擇不宜劍走偏鋒，圖形的選擇應(yīng)來自學(xué)生親切、熟悉的教材，引導(dǎo)教師致力教材資源的開發(fā)，正確領(lǐng)會教材資源的意圖和定位；（4） 問題的解決需要經(jīng)歷從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)思想方法在問題解決中的價值與意義；（5） 試題的立意應(yīng)著眼于學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，因此要基于新課標(biāo)課程內(nèi)容中的實例，立足于考查學(xué)生幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng).

命制理念

1.立足基礎(chǔ)，考查素養(yǎng)

根據(jù)近幾年的地市自主命題思路，幾何壓軸題已然成為趨勢，因此圖形背景的選擇尤為關(guān)鍵，相較于三角形與四邊形，圓具有幾大優(yōu)勢：第一，圓是一個天然的軸對稱圖形，無論從圖形還是結(jié)論上看都呈對稱之美，讓學(xué)生有美的享受；第二，圓是初中階段學(xué)習(xí)的唯一曲線幾何圖形，相較于直線型圖形，曲線型圖形的難度略大，效仿杭州、UTyKIXLCZWTjt0taaHXggmdzSfnIATBb1Nu/a3Iv0JA=寧波等地的歷年中考壓軸題，圓已成為主流趨勢；第三，從推理方法而言圓中結(jié)論的證明需要綜合法的應(yīng)用，需要學(xué)生以全局眼光梳理主線，解決問題.因此，命題之初，命題組一致決定梳理圓的知識主線（如圖1）.

根據(jù)知識梳理，大致確定垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理以及圓的內(nèi)接四邊形為必要考查內(nèi)容，同時基于新課標(biāo)對學(xué)業(yè)質(zhì)量的解讀，確定了以下幾個核心素養(yǎng)考查要求：（1） 能運用幾何圖形的基本性質(zhì)進行推理證明；（2） 進一步增強幾何直觀、空間觀念；（3） 能從具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)表達(dá)式，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題并提出（或轉(zhuǎn)化為）數(shù)學(xué)問題；（4） 感悟數(shù)學(xué)的價值，能夠從問題解決的過程中獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，形成批判質(zhì)疑的科學(xué)精神，具備一定的創(chuàng)新意識.

2.梳理教材，確定研究方向

壓軸題的命制需要對素材圖形進行重構(gòu)，需要改變圖形或增加圖形結(jié)構(gòu)進行研究.但筆者在以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有部分幾何壓軸題圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，或者問題不集中，甚至整道試題毫無邏輯可言，這一類問題的產(chǎn)生往往是對教材知識體系尚未形成整體認(rèn)識所導(dǎo)致的，從而在命制壓軸題的過程中缺乏研究問題的方向.在教學(xué)中，單元整體教學(xué)以知識的相互關(guān)聯(lián)性、整體性與學(xué)習(xí)者的參與性為原則，倡導(dǎo)情境式的、案例式的內(nèi)在驅(qū)動教學(xué)方式.基于教學(xué)評一致性原則，教學(xué)的理念也應(yīng)該在命題時有所體現(xiàn)，因此，命題組決定回顧教材，從單元整體角度挖 掘 教 材 的 內(nèi) 部 知 識 體 系（如圖2）.

通過梳理發(fā)現(xiàn)，浙教版圓的章節(jié)內(nèi)容編排具有一定的邏輯性，垂徑定理、圓心角定理可視為研究圓上兩點，圓周角定理可視為研究圓上三點，圓的內(nèi)接四邊形可視為研究圓上四點，正多邊形可視為研究圓上N個點，最后的切線可視為研究圓外的點.按照教材編排的邏輯體系，命題組確定研究內(nèi)容的核心為先研究圓上的點，再研究圓外的點，通過連線的形式重構(gòu)新的幾何圖形并展開探究，最終命題組通過梳理教材的內(nèi)容，確定了命題中圖形的研究方向.

3.建構(gòu)方法，環(huán)環(huán)緊扣

壓軸題試題的重要價值是引導(dǎo)教學(xué)，基于教學(xué)評一致性的原則，試題的呈現(xiàn)樣態(tài)會決定教師在課堂中的行為方式，其中壓軸題的樣態(tài)更是對教學(xué)有舉足輕重的影響 . 因此，命題組在設(shè)計之初就積極思考試題的呈現(xiàn)樣態(tài).命題組認(rèn)為，解題本身就是一個探究的過程，在解題過程中學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、類比、聯(lián)想、演繹等思考方式，通過探究學(xué)習(xí)可使學(xué)生獲得知識的深層理解，培養(yǎng)科學(xué)的態(tài)度和習(xí)慣，形成實事求是、精益求精、客觀公正、敢于創(chuàng)新的精神.因此，命題組商議以數(shù)學(xué)探究活動作為問題解決的主線，建構(gòu)合理的問題探究路徑，設(shè)置有梯度的問題，環(huán)環(huán)緊扣，讓學(xué)生在解題中體驗一次有深度的學(xué)習(xí)過程.

試題原型

基于對命題思路、命題理念的把握，壓軸題確定以圓為背景的幾何題后，素材的選擇成為當(dāng)務(wù)之急，而教材是教師教和學(xué)生學(xué)的重要載體，對教學(xué)起著積極的導(dǎo)向作用，因此確定浙教版數(shù)學(xué)教材九上 114頁單元“目標(biāo)與評定”第15題為原始素材.

此題是一個簡單的圓的綜合題，但簡約而不簡單，看似普通的證明卻包括了圓的垂徑定理、圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形定理等綜合知識，完全能夠做到知識全覆蓋 . 因此，命題組決定將其確定為原始圖形，后續(xù)的試題編排圍繞此圖形展開.

命制歷程

試題分為三個小題，力爭做到低起點、高立意，問題設(shè)置做到層層遞進，最后的問題解決既依托前兩個小題的結(jié)論，又有分類討論思想滲透在問題解決過程中，考查圓的基本性質(zhì)及相似三角形等相關(guān)內(nèi)容.

【終稿分析】 針對第三稿中存在的問題，通過連線構(gòu)造新的三角形的方式考查分類討論思想在綜合題中的運用，知識點無縫銜接前一問函數(shù)表達(dá)式的獲得，連接自然順暢.為了增加試題難度，尋找△CAG與△BFG這組新的相似三角形來獲得新的數(shù)量關(guān)系求解 BG.整道試題以教材為背景，以探究式學(xué)習(xí)為問題解決的主線，環(huán)環(huán)緊扣，呼應(yīng)命題之初的命題構(gòu)思與理念.縱觀整道試題，有以下幾個亮點與各位同仁分享：

（1）根植教材，正面導(dǎo)向教學(xué)

通過對浙教版數(shù)學(xué)教材九上的挖掘，引導(dǎo)學(xué)生進行變式、探究與思考，引導(dǎo)教師致力于教材資源價值的開發(fā)，正確領(lǐng)會教材資源的意圖和定位.植根教材，促進教學(xué)評一致性，也促進“雙減”政策在課堂教學(xué)和日常學(xué)習(xí)中的有效落地.

（2）標(biāo)立意，關(guān)注核心素養(yǎng)

通過設(shè)置探究式問題情境，讓學(xué)生體驗從計算—猜想—驗證—應(yīng)用的過程，在解題中沉浸式體驗問題解決的一般步驟，豐富學(xué)生情感體驗.同時通過對新課標(biāo)的深入解讀，理解動點問題的實質(zhì)為研究幾何問題中變量之間的關(guān)系，從而引入用函數(shù)刻畫現(xiàn)實問題的依據(jù)，這樣拓展應(yīng)用的第2問的設(shè)置順理成章.最后一問的設(shè)置融合初中階段重要的分類討論思想，既實現(xiàn)試題的分層選拔功能，又實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想在問題解決中的重要意義.也正是因為這些試題從“枯燥”到“靈動”，從“解題”到“探究”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美.

（3）立足基礎(chǔ)，考查關(guān)鍵能力

試題立足數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、核心概念考查時，重視對過程與思維、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)思想方法的考查.圓的核心知識為垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理、圓的內(nèi)接四邊形，這些知識都在試題中一一體現(xiàn)，并且又規(guī)避了浙教版老教材中切割線定理的使用，在立足于考查基礎(chǔ)性關(guān)鍵能力的同時又實現(xiàn)了試題的公平性.試題的立意希望引導(dǎo)教師在教學(xué)中強化對基本概念、基本性質(zhì)和定理的理解，發(fā)展學(xué)生的基本運算、推理等關(guān)鍵能力，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗，促進核心素養(yǎng)形成.

（4）建模應(yīng)用，指向綜合能力

試題通過設(shè)置拓展應(yīng)用第 2 問重視運用數(shù)學(xué)必備知識、思想方法及數(shù)學(xué)模型解決實際問題，發(fā)揮數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的學(xué)科特點，考查了學(xué)生對現(xiàn)實問題的分析和解決、信息的獲取與處理、數(shù)學(xué)建模等綜合能力，讓學(xué)生體驗現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)知識分析解決實際問題的過程，學(xué)會用函數(shù)刻畫現(xiàn)實世界，發(fā)展模型觀念，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用.

命題反思

1.保持教學(xué)評價一致性

新課標(biāo)明確指出：“學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生在完成課程階段性學(xué)習(xí)后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)，反映核心素養(yǎng)要求.”“數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)業(yè)水平考試命題及評價的依據(jù)，同時對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動、教師的教學(xué)活動、教材的編寫等具有重要的指導(dǎo)作用.”因此試題在命制中應(yīng)充分考慮評價的重要意義，舍棄以知識內(nèi)容為主線的考查方式，引導(dǎo)學(xué)生放棄數(shù)學(xué)解題的機械性和模式化，從而在命題理念中確定以問題探究式學(xué)習(xí)為試題主線，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運用、實踐探索活動的經(jīng)驗積累，初步形成自我反思的意識，既考查考生的知識，又考查他們的能力，引導(dǎo)考生的思維向綜合、立體、創(chuàng)造性的方向發(fā)展.通過這樣的設(shè)置把教材賦予的立德樹人的教育價值在試題中一一體現(xiàn)與落實，既實現(xiàn)試題從“枯燥”到“靈動” ，從“解題”到“探究”的轉(zhuǎn)變，又能保持教學(xué)與評價的高度一致性，引導(dǎo)教學(xué)評價高效、一致、有序發(fā)展.

2.把握研究過程整體性

學(xué)生體驗學(xué)業(yè)水平試題的過程既是對三年學(xué)習(xí)歷程的一次檢驗，同時也是初中三年最重要的一次體驗深度學(xué)習(xí)的過程.因此試題允許出現(xiàn)超越具體知識和技能，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略.試題中對圖形結(jié)構(gòu)的補全、擴充應(yīng)具有邏輯性，需從單元整體建構(gòu)圖形，引導(dǎo)學(xué)生注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同層次進行理解.因此本試題依據(jù)研究圓的邏輯規(guī)律，指向核心為研究圓上與圓外的點，實現(xiàn)從內(nèi)到外的整體架構(gòu)，讓學(xué)生比較完整地經(jīng)歷問題研究的框架，積累豐富的研究經(jīng)驗，從而在系統(tǒng)全局的高度認(rèn)識知識之間的關(guān)聯(lián)性，對于研究過程的整體性把握有助于學(xué)生在今后高中學(xué)習(xí)階段實現(xiàn)從局部到整體的飛躍.

3.凸顯素養(yǎng)指向重要性

試題編制時既應(yīng)關(guān)注課標(biāo)的考試要求，以及對不同發(fā)展水平學(xué)生的區(qū)分，又注重從知識立意轉(zhuǎn)向素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)變.新課標(biāo)指出：“幾何直觀主要是指運用圖形描述和分析問題的意識與習(xí)慣.”“幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑 .” 因此本試題在數(shù)易其稿中問題的設(shè)置都高度指向這一原則，無論是分類討論線段的求值，還是利用推理畫圖的過程，甚至動點問題中感知變量關(guān)系，從而獲得函數(shù)表達(dá)式的過程都是基于對幾何直觀的考查 . 當(dāng)然在系列問題中推理能力、創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)都通過不同的設(shè)問方式予以呈現(xiàn)，在考查過程中不僅是一次枯燥的解題過程，更是學(xué)生的各項數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn).在試題中讓學(xué)生經(jīng)歷一個完整的從“枯燥”到“靈動”，從“解題”到“探究”的學(xué)習(xí)過程是我們命題者所追求的目標(biāo)，也是我們期待通過學(xué)業(yè)水平試題選拔 “會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的數(shù)學(xué)人才的重要途徑，真正實現(xiàn)試題在立德樹人中的育人價值與導(dǎo)向.