［ 摘 要 ］數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)，“四基”是發(fā)展這些核心素養(yǎng)的有效載體．在促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)研究與實(shí)踐中，需要教師樹(shù)牢整體教學(xué)觀念，即通過(guò)一節(jié)課或幾節(jié)課關(guān)注更大范圍（如一個(gè)單元、一個(gè)主題，甚至跨學(xué)科主題等）的教學(xué)，旨在突出教學(xué)內(nèi)容的整體性．研究者以“二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)”的教學(xué)實(shí)踐為例，探討如何以函數(shù)為主題開(kāi)展教學(xué)，并在課堂教學(xué)中抓住函數(shù)概念本質(zhì)，整體把握函數(shù)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和規(guī)律，注重內(nèi)容的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性．

［ 關(guān)鍵詞 ］整體教學(xué)觀念；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；二次函數(shù)

數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、實(shí)施素質(zhì)教育的功能．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性 ［1］ ．?dāng)?shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)，“四基”是發(fā)展這些核心素養(yǎng)的有效載體 ［2］ ．

在落實(shí)素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)研究與實(shí)踐中，有很多研究與探索，例如主題教學(xué)、單元教學(xué)、大概念教學(xué)以及深度學(xué)習(xí)，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是不提倡傳統(tǒng)的圍繞單一課時(shí)（即課時(shí)教學(xué)）展開(kāi)的零散教學(xué)，而是通過(guò)一節(jié)課或幾節(jié)課關(guān)注更大范圍（如一個(gè)單元、一個(gè)主題，甚至跨學(xué)科主題等）的教學(xué)，突出教學(xué)內(nèi)容的整體性，也就是整體教學(xué)觀念 ［3］ ．

如何整體把握教學(xué)內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)？筆者以“二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)”的教學(xué)為例，探討如何在課堂教學(xué)中抓住函數(shù)本質(zhì)，從整體上把握函數(shù)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，注重內(nèi)容的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性.下面，就以函數(shù)為主題展開(kāi)教學(xué)．

提出研究問(wèn)題，討論研究思路

二次函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)后研究的第二個(gè)具體函數(shù)．在教師對(duì)函數(shù)主題學(xué)習(xí)特點(diǎn)的整體把握下，學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)逐步積累了研究函數(shù)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，初步掌握了研究函數(shù)的一般方法．因此，二次函數(shù)的教學(xué)思路是由師生共同討論確定研究對(duì)象、研究?jī)?nèi)容，學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位自主展開(kāi)研究．

師：上節(jié)課我們從實(shí)際問(wèn)題中抽象出了一類(lèi)具體函數(shù) — —二次函數(shù)，你能舉一些現(xiàn)實(shí)生活中二次函數(shù)的例子嗎？

生 1：圓的面積 S是它的半徑 r的二次函數(shù)．

生2：用20米的柵欄圍成一個(gè) 矩形的小花園，小花園的面積y是 它的一邊長(zhǎng)x的二次函數(shù).

師：同學(xué)們舉的這些例子都非 常好，接下來(lái)，我們會(huì)特別關(guān)注在 這些問(wèn)題中變量之間的變化規(guī)律， 看它們有什么共性.這其實(shí)就是要 研究二次函數(shù)的什么呢？

經(jīng)過(guò)討論之后，學(xué)生漸漸打開(kāi)

了思路：自變量x的取值范圍、函 數(shù)值y的取值范圍、函數(shù)的圖象、 函數(shù)的增減性、兩個(gè)函數(shù)圖象的位 置關(guān)系（平移、旋轉(zhuǎn)等）、函數(shù)的應(yīng) 用……

師：我們學(xué)過(guò)了一次函數(shù)，那 時(shí)是怎么研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)的？

你有什么經(jīng)驗(yàn)？

生3：先畫(huà)一些特殊函數(shù)的圖象，再由圖象歸納性質(zhì)。

生4：也可以不畫(huà)圖，從解析 式直接分析它的圖象和性質(zhì).

師：同學(xué)們的想法都非常好. 有的同學(xué)提到先用描點(diǎn)法畫(huà)一些特 殊函數(shù)的圖象，由圖象歸納性質(zhì)， 這是我們之前常用的方法，數(shù)形結(jié) 合，非常直觀.此外，同學(xué)們還注 意到了從特殊到一般去歸納函數(shù)的 性質(zhì)，非常棒.有的同學(xué)提出也可 以不畫(huà)圖，從解析式直接分析它的 性質(zhì)，然后再用圖象去驗(yàn)證，這種 方法比較抽象，也非常棒.

師：今天，同學(xué)們以學(xué)習(xí)小組為 單位，商討選擇一種思路來(lái)自主研究 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，然后各小組 可以匯報(bào)和交流你們的研究成果.

小組合作學(xué)習(xí)，自主展開(kāi)研究

全班學(xué)生分成5個(gè)組，每組約6 人，學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位自主研 究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).教師進(jìn) 行課堂巡視觀察，根據(jù)各組研討情 況適度參與小組討論.通過(guò)這部分 內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步了解， 盡管研究對(duì)象在變，但研究數(shù)學(xué)概 念的基本思想方法不變，從而分階 段逐步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，體 現(xiàn)整體把握下的螺旋上升原則.

1.確定研究規(guī)劃路線(xiàn)圖

學(xué)生類(lèi)比一元二次方程的研究 經(jīng)驗(yàn)，制定二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 的研究規(guī)劃路線(xiàn)圖.

按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到 一般的順序，以“二次函數(shù)的圖象 和性質(zhì)”的研究規(guī)劃路線(xiàn)圖為路徑， 大約通過(guò)6節(jié)課完成二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究過(guò)程，每節(jié)課的研 究成果，都為后一節(jié)課的研究提供 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思路，同時(shí)根據(jù)研 究進(jìn)程微調(diào)研究路線(xiàn)圖.

在此過(guò)程中，學(xué)生可以充分感 受到配方法、圖象平移法等方法起 到的重要作用，不斷體會(huì)到數(shù)形結(jié) 合思想的作用，不斷領(lǐng)悟幾何直觀 的價(jià)值意義.學(xué)生在深入理解函數(shù) 的本質(zhì)，關(guān)注函數(shù)研究的一般方法 的過(guò)程中，逐漸形成簡(jiǎn)化的、本質(zhì) 的、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)更有支持意義的、 內(nèi)在邏輯性較強(qiáng)的函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)， 形成科學(xué)的思維習(xí)慣.

2.自主展開(kāi)研究活動(dòng)

這部分內(nèi)容以“獨(dú)立探究和小 組交流”的學(xué)習(xí)方式展開(kāi).學(xué)生們 借助以往學(xué)習(xí)函數(shù)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自主 研究新函數(shù)，即二次函數(shù).師生互 動(dòng)，生生互動(dòng)，課堂氛圍和諧愉快， 學(xué)生的思維深度參與，不斷碰撞， 研究熱情高漲.

大部分小組是從特殊函數(shù)入手， 畫(huà)出函數(shù)圖象，再抽象概括二次函 數(shù)的圖象特點(diǎn)和性質(zhì)，這說(shuō)明大部 分學(xué)生已經(jīng)可以比較熟練地自主研 究一個(gè)新函數(shù).有的小組思考得很 深，從函數(shù)解析式的特征入手，得 出猜想，然后畫(huà)出函數(shù)的示意圖， 驗(yàn)證猜想，再進(jìn)一步分析或概括出 函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合更加深入.

函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的直 觀載體，從圖象上可以觀察函數(shù)的 變化規(guī)律，整體上把握函數(shù)性質(zhì)， 但是難以深入局部和細(xì)節(jié).而通過(guò) 函數(shù)的解析式可以對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn) 行細(xì)微的“解讀”，但很抽象，不直 觀.教師在巡視指導(dǎo)過(guò)程中，若發(fā) 現(xiàn)學(xué)生在討論過(guò)程中出現(xiàn)了有價(jià)值 的問(wèn)題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入分析原因， 及時(shí)調(diào)整研究方向，以期抓住函數(shù) 的本質(zhì)特征.在小組自主開(kāi)展研究 的過(guò)程中，可使學(xué)生不斷地感受和深入理解“函數(shù)解析式和函數(shù)圖象” 的關(guān)系.

二次函數(shù)不同于一次函數(shù)，函 數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)從“一次”提升到 了“二次”，函數(shù)圖象的形態(tài)并不確 定.學(xué)生在使用描點(diǎn)法時(shí)，可能不 確定某點(diǎn)或某段上的函數(shù)值，不能 準(zhǔn)確地描述函數(shù)圖象的整體走勢(shì)， 此時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)解 析式，分析函數(shù)值，猜測(cè)圖象大致 的走勢(shì)，再利用幾何畫(huà)板、圖形計(jì) 算器等軟件或?qū)W具繪制函數(shù)圖象， 進(jìn)而驗(yàn)證猜想的正確性，研究函數(shù) 特征，回歸到解析式，“再認(rèn)識(shí)”函 數(shù)特征.

3.小組匯報(bào)研究成果

5個(gè)學(xué)習(xí)小組從“研究角度、 研究方法和研究成果”幾個(gè)方面進(jìn) 行匯報(bào)交流，有的小組還采用了思 維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn)匯報(bào)內(nèi)容，贏得 了同學(xué)們的一致稱(chēng)贊.

下面選取一部分小組匯報(bào)進(jìn)行說(shuō)明：

【研究對(duì)象：二次函數(shù)y=ax2（a≠0）】

小組1我們先取一些特殊的二 次函數(shù)畫(huà)圖，例如y=x2（a>0的函數(shù) 代表），y=-x2（a<0的函數(shù)代表）， 然后抽象概括性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)了一些比較

典型的函數(shù)特征：圖象有最低點(diǎn)或最 高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)可以得到函數(shù)的最小值和 最大值；圖象是對(duì)稱(chēng)的，是一個(gè)軸對(duì) 稱(chēng)圖形；一個(gè)圖象中包括下降和上升 兩個(gè)變化趨勢(shì)，因此二次函數(shù)的增減 性比一次函數(shù)要復(fù)雜些，需要分區(qū)域 說(shuō)明；圖象經(jīng)過(guò)的象限也和一次函數(shù) 不同；和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)竟然重合到了 一點(diǎn)（0，0）……

小組2我們研究了最一般的 二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象和 性質(zhì)，由于a不確定就沒(méi)有先畫(huà)圖， 而是從解析式出發(fā)分析了它的圖象 特點(diǎn)和一些性質(zhì)，邊分析邊畫(huà)了一些圖，驗(yàn)證了猜想，也發(fā)現(xiàn)了更多 的性質(zhì).

我們先關(guān)注了自變量x的取值 范圍是全體實(shí)數(shù)，而函數(shù)值y就有 點(diǎn)意思了.如果a>0時(shí)，x2具有非 負(fù)性，所以不論自變量x取什么值， 函數(shù)值y都是“大于等于零”的， 它的圖象就不會(huì)分布在第三象限和 第四象限；如果a<0時(shí)，函數(shù)值y 都是“小于等于零”的，它的圖象 就不會(huì)分布在第一象限和第二象限， 所以我們進(jìn)行了分類(lèi)，分a>0和a< 0兩類(lèi)情況進(jìn)行研究.

當(dāng)a>0時(shí)，在第一象限內(nèi)，由 于當(dāng)x>0時(shí)，由y=ax2（a>0）可 知，x越大，y越大，所以圖象應(yīng)該 是上升趨勢(shì).在第二象限內(nèi)，由于 x<0，由y=ax2（a>0）可知，x越 大，y越小，所以第二象限的圖象是 下降趨勢(shì)，從而得出了函數(shù)的增減 性.（當(dāng)a<0時(shí)的情況，具體匯報(bào) 過(guò)程略）

第1小組通過(guò)畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)了二 次函數(shù)圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形.后來(lái)我 們研究發(fā)現(xiàn)由解析式y(tǒng)=ax2（a≠0）

可知，如果點(diǎn)（m，n）在函數(shù)圖象 上，那么點(diǎn)（-m，n）也在函數(shù)圖 象上，從而進(jìn)一步證實(shí)了這個(gè)發(fā)現(xiàn).

【研究對(duì)象：二次函數(shù)y=ax2+ c（a≠0）】

小組3在探究過(guò)程中，我們對(duì) 系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，以二次函數(shù)y= x2+1和y=x2-2為代表進(jìn)行了研究. 結(jié)合上一節(jié)的研究經(jīng)驗(yàn)，確定的研究

角度是：自變量x的取值范圍、函數(shù) 值y的取值范圍、函數(shù)值y隨自變量x 的變化而變化的趨勢(shì)（增減性）、對(duì)稱(chēng) 性（軸對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)）、函數(shù)的最 值、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

在畫(huà)圖過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)了一

個(gè)有趣的現(xiàn)象：y=x2+1和y=x2- 2可以由y=x2上下平移得到對(duì)應(yīng)的 函數(shù)圖象，因?yàn)槭恰捌揭啤标P(guān)系，也就具有同樣的函數(shù)特征，而且這 個(gè)研究結(jié)論是可以推廣到一般情況 的.在老師的引導(dǎo)下，我們組從 “表格”“解析式”和“圖象”三個(gè) 方面驗(yàn)證和理解二次函數(shù)y=ax2+c （a#0）的圖象與y=ax2（a#0）的圖 象之間的平移關(guān)系，充分感受函數(shù) 圖象平移的原因.

因此，在后續(xù)的研究中，我們 的研究角度又多了一個(gè)：尋找與已 知函數(shù)之間的關(guān)系，如圖3.

學(xué)生在用描點(diǎn)法畫(huà)圖象時(shí)，先 分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，猜測(cè) 圖象大致的變化趨勢(shì)，再選取具有 代表性的點(diǎn).教學(xué)中，我注重培養(yǎng) 學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶骄繎B(tài)度，體會(huì)到描點(diǎn) 畫(huà)圖象的局限性.鼓勵(lì)學(xué)生借助幾 何畫(huà)板或圖形計(jì)算器畫(huà)精確的圖象， 得到函數(shù)特征.“式?jīng)Q定形，形再認(rèn) 識(shí)式”，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

隨著研究的深入，二次函數(shù)的解析式變得更加具有一般性，學(xué)生需要考慮的研究角度更多，研究?jī)?nèi)容更復(fù)雜．學(xué)生通過(guò)交流、猜想、畫(huà)圖、觀察、驗(yàn)證、概括等活動(dòng)過(guò)程，逐步理解研究函數(shù)的基本方法，進(jìn)一步學(xué)會(huì)特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的研究思路．

回顧研究過(guò)程，梳理研究方法

1.總結(jié)研究函數(shù)的基本方法

學(xué)生回顧研究過(guò)程，梳理研究方法，不僅對(duì)函數(shù)的基本研究方法更清楚了，對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)也更加深入了，這促使學(xué)生更好地理解知識(shí)本質(zhì)，打通函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，建構(gòu)起函數(shù)主題下比較清晰的知識(shí)脈絡(luò)，形成一般化的研究方法和認(rèn)識(shí)方法.

2.梳理研究函數(shù)的基本維度

通過(guò)回顧二次函數(shù)的研究流程，明確探究一個(gè)新函數(shù)特征的研究角度和維度．

（1）自變量x的取值范圍，函數(shù)值y的取值范圍；

（2）函數(shù)值y隨自變量x的變化 而變化的趨勢(shì)（增減性）；

（3）函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性（軸對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)）；

（4）函數(shù)的最值（函數(shù)圖象的最低點(diǎn)或最高點(diǎn)）；

（5）函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

（6）尋找與已知函數(shù)之間的 關(guān)系.

在對(duì)基本函數(shù)進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候， 除了關(guān)注相應(yīng)函數(shù)的性狀的研究之 外，還要引導(dǎo)學(xué)生感悟研究函數(shù)的 基本方法和研究函數(shù)問(wèn)題的維度， 很好地激發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)新函數(shù)、解決 新問(wèn)題的熱情和信心.

人們要認(rèn)識(shí)客觀事物的本質(zhì)，必須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，上升到理性認(rèn)識(shí)，通過(guò)思維活動(dòng)才能達(dá)到對(duì)事物內(nèi)部規(guī)律性的聯(lián)系及其本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．思維是人腦這個(gè)高度組織起來(lái)的物質(zhì)的機(jī)能，是對(duì)外部現(xiàn)實(shí)的能動(dòng)的反映 ［4］ ．從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)制定具有全面性、階段性和操作性的教學(xué)目標(biāo)，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和素養(yǎng)的螺旋式上升，展現(xiàn)給學(xué)生一個(gè)科學(xué)完整的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，讓學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈以及關(guān)于知識(shí)的“原創(chuàng)性”思考，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)建自己關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)體系、素養(yǎng)、“四基”和“四能”的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，形成系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的思維 ［4］ ．

在具體的教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，教師不應(yīng)拘泥于主題教學(xué)、單元教學(xué)或大概念教學(xué)等概念在學(xué)術(shù)上的嚴(yán)格界定，而應(yīng)將其作為實(shí)現(xiàn)整體把握教學(xué)的一種形式，突出它們?cè)趯?shí)現(xiàn)整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方面的特殊價(jià)值，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來(lái)源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，幫助學(xué)生建立起對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)，體會(huì)和感悟不同教學(xué)內(nèi)容背后具有一致性、可遷移性的數(shù)學(xué)思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng) ［5］ ．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2022 年版）［M］．北 京 ： 北 京 師 范 大 學(xué) 出 版 社 ，2022．

［2］ ［5］ 孫曉天，沈杰．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀［M］．北京：教育科學(xué)出版社，2022．

［3］劉曉玫．深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng) ［M］．北京：教育科學(xué)出版社，2019．

［4］溫寒江．思維的全面發(fā)展與中小學(xué)創(chuàng)新能力培養(yǎng)［M］．北京：教育科學(xué)出版社，2015．