［ 摘 要 ］數(shù)學(xué)小論文寫作，沒有題材和內(nèi)容限制，只需要表達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真實(shí)感受.它為學(xué)生提供了反饋學(xué)情的新渠道，建構(gòu)知識的新媒介和思考問題的新動(dòng)力，有效提升核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)小論文寫作，也為教師提供了審視課堂的新視角.對教師而言，閱讀數(shù)學(xué)小論文，從學(xué)生的角度觀察課堂，收獲的是課堂最真實(shí)的反饋，將其運(yùn)用到課題研究中，則更加有的放矢，能顯著提高課題研究的成效.以此觀之，撰寫數(shù)學(xué)小論文真正發(fā)揮了以寫促思、教學(xué)相長的功效.

［ 關(guān)鍵詞 ］數(shù)學(xué)小論文；學(xué)生視角；趣動(dòng)數(shù)學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括以下三個(gè)方面，（1）會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界…（2）會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界…（3）會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界…”. ［1］ 確實(shí)，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，已經(jīng)成為教師的自覺行動(dòng).我們課題組的教師也進(jìn)行了一系列的探索和實(shí)踐，數(shù)學(xué)課堂中組織學(xué)生活動(dòng)，根據(jù)內(nèi)容選擇不同的教學(xué)形式，盡可能地調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)氛圍，教師也更多地關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程及教學(xué)效果，很多教師開始著手撰寫教學(xué)反思，對自己的課堂教學(xué)進(jìn)行審視和調(diào)整，這些努力都是值得鼓勵(lì)和認(rèn)可的.但是，作為教師的我們卻忽略了一個(gè)重要的視角 — —學(xué)生視角，我們所有的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)反思都是站在教師立場.其實(shí)，我們真正需要了解的是學(xué)生，他們在課堂上是否進(jìn)行了真思考，展開了真討論，獲得了真收獲，取得了真進(jìn)步.一言以蔽之，學(xué)生是否進(jìn)行了真學(xué)習(xí).

基于以上思考，我們課題組組織學(xué)生開展了“撰寫數(shù)學(xué)小論文”的實(shí)踐探索，從學(xué)生視角審視趣動(dòng)數(shù)學(xué)課堂.本文以三個(gè)課題的教學(xué)片段和對應(yīng)的數(shù)學(xué)小論文為例，談?wù)劷M織學(xué)生撰寫“數(shù)學(xué)小論文”的思考.

三角形的中位線

1.教學(xué)片段

教師：閱讀“三角形的中位線” 這個(gè)課題，你認(rèn)為什么是中位線？

學(xué)生1：處于中間位置的線.

教師：是中線嗎？

學(xué)生2：肯定和中線不同，因 為它們的名稱不同，但是都有一個(gè) “中”字，應(yīng)該是有一定的聯(lián)系.

學(xué)生3：從字面上看，“中”表 示中點(diǎn)，既然不是中線，又要突出 中間位置，那是否有兩個(gè)中點(diǎn)？

教師：是的，連接三角形兩邊 中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

2.數(shù)學(xué)小論文

今天，我們學(xué)了方差，公式很 復(fù)雜，很多同學(xué)都覺得記不住公式， 我類比“中位線”的理解，嘗試從 字面上看，“方”，應(yīng)該與平方有關(guān)， “差”，就是兩個(gè)數(shù)的差，一組數(shù)據(jù) 與哪個(gè)數(shù)的差呢？描述數(shù)據(jù)常用的 是平均數(shù)，所以是每個(gè)數(shù)與平均數(shù) 的差，這樣就得到每個(gè)數(shù)與平均數(shù) 的差的平方，那么得到了這n個(gè)平方數(shù)以后怎樣處理呢？那就再求它們的平均數(shù)，所以，“方差”可以理解成“差方的平均數(shù)”，這樣同學(xué)們就方便記憶公式了.

— —小劉

3.讀后反思

數(shù)學(xué)概念的命名并非憑空而來，均有它的實(shí)際背景和理論支撐.以上關(guān)于“中位線”的教學(xué)片段，隨著問題的層層深入，從字面意義，到概念的合理性，學(xué)生理解了中位線的定義，這樣的問題設(shè)計(jì)既便于學(xué)生理解概念的合理性，又加深了對概念的認(rèn)識和記憶，是直接給出概念所無法企及的.教師在課堂上的問題設(shè)置，為學(xué)生提供了思考問題的途徑和方法，小劉同學(xué)將這種方法進(jìn)行了很好的遷移，他找到了理解和記憶“方差”的角度，避免了死記硬背，后續(xù)很多同學(xué)采用了他的發(fā)現(xiàn)，用“差方的平均數(shù)”來記憶方差公式，取得了很好的效果，也有效地避免了遺忘.

一元一次方程解應(yīng)用題

1.教學(xué)片段

初一學(xué)生在列一元一次方程解 應(yīng)用題時(shí)，遇到這樣一個(gè)題：

一架飛機(jī)在兩個(gè)城市之間飛行， 順風(fēng)飛行需要5h，逆風(fēng)飛行需要 6.5h，已知風(fēng)速為30km/h，求兩個(gè) 城市之間的距離.

此題中，學(xué)生對于順風(fēng)與逆風(fēng) 的速度相差60km/h有點(diǎn)難以理解.

教師：我們可以設(shè)靜風(fēng)速度為 xkm/h，如果順風(fēng)飛行，則速度比靜 風(fēng)快，可以表示為（x+30）km/h，反 之，則表示為（x-30）km/h，它們兩 者的差就是60km/h.

學(xué)生（小許）：我們在學(xué)習(xí)數(shù)軸 時(shí)知道，數(shù)形結(jié)合可以使問題更直 觀，數(shù)軸上的數(shù)，右邊的數(shù)總比左 邊的數(shù)大，這里的比較大小是否也 可以借助數(shù)軸呢？把飛機(jī)的不同速

度用數(shù)軸上不同的點(diǎn)來表示，如果 飛機(jī)本來的速度在數(shù)軸上的“原點(diǎn)” 位置，那么順風(fēng)的速度則在數(shù)軸上 表示“+30”的點(diǎn)的位置，逆風(fēng)的速 度在數(shù)軸上表示“-30”的點(diǎn)的位 置，從數(shù)軸上看，兩者就是相差60.

教師：你的方法很好，想到了 借助數(shù)軸來比較大小，我們把這種 方法叫做“小許方法”.

2.數(shù)學(xué)小論文

2.數(shù)學(xué)小論文

今天數(shù)學(xué)課上，老師給了四道

式子讓我們計(jì)算：（x+3）（x+2），

（x+3）（x-2），（x-3）（x+2）和（x- 3）（x-2），用昨天所學(xué)多項(xiàng)式乘以 多項(xiàng)式的計(jì)算公式，便可輕松得出 結(jié)果，分別為x2+5x+6，x2+x- 6，x2-x-6，x2-5x+6.由此，我

們可以得到公式：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x+ab.可是，我在舉例 驗(yàn)證的過程中，遇到這樣一題： （x+2）（x-2），得到的結(jié)果是x2- 4，為什么結(jié)果只剩下兩項(xiàng)了呢？原 來類似（x+a）（x-a）的題目，寫 成x2+（a-a）x-a2的形式后，中 間含x的項(xiàng)都消去了.我又寫了幾道 類似的題目，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都是如此， 是兩個(gè)平方差，我把我的發(fā)現(xiàn)告訴 老師，老師說這就是下節(jié)課我們會 專門研究的重要公式——平方差 公式.

——小崔

3.讀后反思

作為以學(xué)為本的“趣動(dòng)數(shù)學(xué)” 課堂，我們重視教學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性 和趣味性，注重學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性 和主動(dòng)性，關(guān)注數(shù)學(xué)思維的靈動(dòng)性 和創(chuàng)造性.我們認(rèn)為，只有當(dāng)學(xué)生愿 意學(xué)、樂意學(xué)、享受學(xué)的時(shí)候，教 師的教才有意義和價(jià)值.所以，教師 應(yīng)盡可能地營造輕松愉悅的學(xué)習(xí)氛 圍，鼓勵(lì)學(xué)生多思考、勤探究，維 持學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在興趣.多給學(xué)生發(fā) 表觀點(diǎn)的機(jī)會，這里將學(xué)生通過獨(dú) 立思考得出的結(jié)論用他們的名字命名.這樣的教學(xué)策略，既是對他所得 結(jié)論的肯定，又是對他主動(dòng)思考的 鼓勵(lì).這種命名的榮耀，激勵(lì)著更多 的學(xué)生去思考、去發(fā)現(xiàn).從小崔同學(xué) 的文章中，我們可以清晰地看到他 探究的思維過程，他在得出規(guī)律后 并沒有盲目自信，而是自己嘗試再 舉其他特殊的例子進(jìn)行驗(yàn)證，才有 了平方差公式的發(fā)現(xiàn)，后續(xù)同學(xué)們 自發(fā)地把這個(gè)公式叫做“小崔公 式”.自主探究帶來的成就感是無與 倫比的，小崔在后續(xù)的文章中寫道 “這節(jié)數(shù)學(xué)課，我通過自己的觀察和 探索發(fā)現(xiàn)了兩條公式，看來數(shù)學(xué)并 不神秘，只要善于思考，我們也能 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘。”

實(shí)數(shù)

1.教學(xué)片段

教師：請求出面積為25的正方 形的邊長，并說明你是怎樣思考的？

學(xué)生1：這個(gè)正方形的邊長為 5，因?yàn)?2=25.

學(xué)生2：我認(rèn)為他說得不嚴(yán)謹(jǐn)， -5的平方也是25，本題是因?yàn)橐蟮?是正方形的邊長，所以才不考慮負(fù)數(shù).

教師：說得很好，我們把這里 的5稱為25的算術(shù)平方根，表示 為√/25=5.

教師：請問，面積為2的正方 形的邊長又是多少呢？

學(xué)生3：這個(gè)不存在啊，找不 到哪個(gè)數(shù)的平方等于2的.

學(xué)生4：存在，面積為2的正方 形一定存在，那么它的邊長也一定 存在.按照算術(shù)平方根的定義，它就 可以表示為√2.

教師：正確，之所以覺得不存 在，是因?yàn)樵谀壳八鶎W(xué)過數(shù)的范圍 內(nèi)找不到，其實(shí)它是一個(gè)無理數(shù).希 伯索斯在研究的過程中，發(fā)現(xiàn)了同學(xué)們面臨的同樣的問題，為此動(dòng)搖

了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，被沉入了大海.數(shù)學(xué)史上還有很多這樣感人的故事，例如著名的百牛定理、笛卡爾坐標(biāo)系等，感興趣的同學(xué)課后可以去深入研究.

2.數(shù)學(xué)小論文

數(shù)學(xué)神秘莫測，無理數(shù)的誕生背后有科學(xué)家為此獻(xiàn)身的壯烈故事，直角坐標(biāo)系則來自于病榻上的笛卡爾銳眼觀察和思考，老師在課上提到的百牛定理，到底又是怎樣一個(gè)神奇的定理呢？寒假，我終于有時(shí)間一探究竟.

原來百牛定理就是鼎鼎大名的勾股定理，是一個(gè)基本的幾何定理，它為什么還叫百牛定理呢？傳說，古希臘有個(gè)叫畢達(dá)哥拉斯的學(xué)者，他去參加一位富豪的聚會，富豪家的餐廳如同豪華的宮殿，地上鋪著正方形的大理石地磚，學(xué)者凝視著腳下排列規(guī)則的大理石地磚陷RMjBaOXtFSyQl3Rx7lIn+WB8NQ0/61x4+f3aXGcIWA0=入了沉思，甚至拿著畫筆選擇一塊瓷磚勾畫起來，由此，他發(fā)現(xiàn)了勾股定理，并殺了一百頭牛來紀(jì)念這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn).— —小俞

3.讀后反思

對于 2 的存在性，教師并非簡單直接地告訴學(xué)生，而是借助研究正方形的面積和邊長之間的關(guān)系，通過改變正方形面積的大小，讓學(xué)生首先認(rèn)可邊長的存在.再結(jié)合算術(shù)平方根的表示方法，發(fā)現(xiàn)有些正方形的邊長不能用學(xué)過的有理數(shù)來表示，進(jìn)而產(chǎn)生思維沖突.最后再穿插數(shù)學(xué)家的故事，讓他們了解，原來自己與數(shù)學(xué)家擁有相類似的探究過程和思維困惑，從而產(chǎn)生共鳴，消除對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏懼心理.更重要的是，數(shù)學(xué)史的合理滲透，讓他們領(lǐng)略到數(shù)學(xué)知識背后蘊(yùn)藏著的探究精神，進(jìn)而激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.正因?yàn)橛辛私處熯@樣的課堂演繹，才有了學(xué)生對勾股定理的自主探究.關(guān)于勾股定理，班級中有三位同學(xué)利用初一寒假進(jìn)行了資料查閱，撰寫了數(shù)學(xué)小論文.有理由相信，他們的心中已經(jīng)埋下了求知的火種，勾股定理已成為他們最期盼觸摸的數(shù)學(xué)知識了.

總體思考

1. 數(shù)學(xué)小論文的寫作，為學(xué)生提供了反饋學(xué)情的新渠道

學(xué)生反饋學(xué)情，常見的渠道首先是課后作業(yè).教師借助批改作業(yè)，看到學(xué)生的解答過程和結(jié)果是否正確，但是卻不能了解學(xué)生的錯(cuò)誤產(chǎn)生的深層原因.其次是回答問題，教師可以通過設(shè)置問題，了解學(xué)生的思維過程，但是卻不能關(guān)注到全體學(xué)生，也不方便在課堂上針對一個(gè)同學(xué)提系列問題.最后是課后輔導(dǎo)，教師可以在和學(xué)生交流的過程中，知道學(xué)生的問題所在，但是能夠關(guān)注到的學(xué)生畢竟有限，并且受時(shí)間限制，溝通不一定能夠深入進(jìn)行.數(shù)學(xué)小論文寫作則提供了一個(gè)新的渠道.學(xué)生有充足的時(shí)間進(jìn)行思考和寫作，可以借助文章描述清楚自己的觀點(diǎn)和思路.教師通過閱讀小論文，可以了解學(xué)生完整的思考過程及學(xué)習(xí)感悟，如果發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤，也能從文章的邏輯順序中找出錯(cuò)誤的根源；另外，可以實(shí)現(xiàn)和每個(gè)學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)對點(diǎn)溝通，實(shí)現(xiàn)對每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的清晰了解和把握.

2. 數(shù)學(xué)小論文的寫作，為學(xué)生提供了建構(gòu)知識的新媒介

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是對所學(xué)知識進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu).如何實(shí)現(xiàn)這樣的主動(dòng)建構(gòu)呢？最常見的做法是解答相應(yīng)習(xí)題，回答相關(guān)問題.數(shù)學(xué)小論文寫作，則提供了一個(gè)新媒介.由于我們的數(shù)學(xué)小論文題材不限，較多學(xué)生的數(shù)學(xué)小論文主題是方RMjBaOXtFSyQl3Rx7lIn+WB8NQ0/61x4+f3aXGcIWA0=法及題型的推廣和運(yùn)用，小施同學(xué)寫了 《因式分解注意事項(xiàng)手冊》，小陸同學(xué)寫了《猜想也能解決問題》，小蔡同學(xué)更是寫了幾何方法的系列文章，這樣的文章必然是對知識進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)的產(chǎn)物.

3. 數(shù)學(xué)小論文的寫作，為學(xué)生提供了思考問題的新動(dòng)力

“從理解數(shù)學(xué)到熱愛數(shù)學(xué)，從學(xué)會學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí)”［2］ 是我們課題組追求的目標(biāo)，我們倡導(dǎo)“趣動(dòng)數(shù)學(xué)”課堂，就是在努力改變教師的教學(xué)形式，調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，突出關(guān)注興趣、樂趣、志趣等情感因素，強(qiáng)調(diào)思維活動(dòng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位 . 而完成一篇優(yōu)秀的數(shù)學(xué)小論文，首先需要學(xué)生專注于課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容，其次需要進(jìn)行課后的認(rèn)真思考和及時(shí)歸納，這樣才能發(fā)現(xiàn)寫作的素材 . 而寫作的過程，又是一個(gè)知識梳理的過程，或回憶課堂流程，或回顧思維過程，或歸納各種題型等，這個(gè)過程也促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)課堂的再思考 . 優(yōu)秀的數(shù)學(xué)小論文受到肯定和獎(jiǎng)勵(lì)，又成為推動(dòng)學(xué)生積極思維的新一輪動(dòng)力，如此反復(fù)形成良性循環(huán)，學(xué)生的思維能力必然呈現(xiàn)螺旋式上升的良好態(tài)勢.

4. 數(shù)學(xué)小論文的寫作，為教師提供了反思教學(xué)的新視角

我們倡導(dǎo)“趣動(dòng)數(shù)學(xué)”，就是希望消除學(xué)生固有的對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏懼心理， 充滿興趣，積極活動(dòng)，主動(dòng)思維，投入探究。走出趣動(dòng)數(shù)學(xué)課堂，很多教師都會進(jìn)行教學(xué)反思，問題設(shè)計(jì)是否合理？例題選擇是否具有梯度？流程安排是否恰當(dāng)？以期調(diào)整自己的備課，希望自己的課堂更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和成長 . 數(shù)學(xué)小論文的寫作，為教師提供了教學(xué)反思的新視角 . 教師通過研讀小論文，從學(xué)生的角度來審視趣動(dòng)數(shù)學(xué)課堂 . 由于學(xué)生的主題涉及較廣，有對一節(jié)課的體會，有對一道題的解法總結(jié)，有對一個(gè)概念的剖析等，從他們的題材，教師可以看出他們對一節(jié)課的喜愛程度，例如，“加權(quán)平均數(shù)”一課， 教師將課題改為“今天我來當(dāng)老總”，很多同學(xué)寫了這節(jié)課的感受，說明這樣的課題改動(dòng)能夠激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣 . 又如，不少同學(xué)圍繞“截長補(bǔ)短”寫了論文，說明學(xué)生對這種方法的理解較為透徹，應(yīng)用也得心應(yīng)手 . 教師通過閱讀數(shù)學(xué)小論文來印證自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，根據(jù)小論文的反饋，對自己的課堂教學(xué)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整 . 將學(xué)生的數(shù)學(xué)小論文與教師的教學(xué)反思相結(jié)合，全方位立體式審視課堂，讓課堂教學(xué)真正為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù).

寫在最后

數(shù)學(xué)小論文寫作，作為我們課題組的一個(gè)教學(xué)實(shí)踐，取得了一些成果.小論文寫作激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，而積極主動(dòng)的思考又提升了論文的質(zhì)量，進(jìn)而得到老師和同學(xué)的認(rèn)可，這種成就感又激勵(lì)學(xué)生沉浸于下一輪思考中.學(xué)生在這樣的良性循環(huán)中，數(shù)學(xué)眼光更加敏銳，數(shù)學(xué)思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)語言更加精準(zhǔn)，更善于利用學(xué)科知識解決實(shí)際問題，核心素養(yǎng)得以提升.對教師而言，閱讀數(shù)學(xué)小論文，從學(xué)生的角度觀察課堂，收獲的是課堂最真實(shí)的反饋，將其運(yùn)用到課題研究中，則更加有的放矢，進(jìn)一步提高課題研究的成效.以此觀之，數(shù)學(xué)小論文寫作真正發(fā)揮了以寫促思、教學(xué)相長的功效.當(dāng)然，關(guān)于數(shù)學(xué)小論文寫作的研究，還有很長一段路要走，我們將不斷實(shí)踐、不斷探索，我們的研究一直在路上.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部 . 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2022 年版）［M］.北 京 ： 北 京 師 范 大 學(xué) 出 版 社 ，2022.

［2］茅雅琳．基于問題鏈的“趣動(dòng)數(shù)學(xué)課堂”教學(xué)設(shè)計(jì)及思考 ［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（32）：5-7．