摘 要：建構(gòu)主義教學對激發(fā)學生主動學習和促進深層次認知發(fā)展具有重要作用.本文以“植樹問題”為例，探討建構(gòu)主義視域下培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學策略，并基于皮亞杰認知發(fā)展理論設(shè)計教學活動，旨在提升學生理解數(shù)學知識和解決數(shù)學問題的能力，為小學數(shù)學教育實踐提供理論和策略支持．

關(guān)鍵詞：建構(gòu)主義；數(shù)學核心素養(yǎng)；植樹問題

1 問題提出

建構(gòu)主義理論強調(diào)，知識是通過個體與環(huán)境的相互作用而建構(gòu)的，而非被動接受的結(jié)果.在數(shù)學教育中，建構(gòu)主義理論強調(diào)學生在學習過程中主動建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，通過同化和順應(yīng)達到認知平衡，從而促進深層次的理解和應(yīng)用.［1］這一理論為數(shù)學教學提供了新的視角和方法論指導．

植樹問題不僅是小學數(shù)學中的經(jīng)典問題，還具有豐富的數(shù)學建模和問題解決的潛力.通過對植樹問題的深入分析和教學設(shè)計，本文展示了該問題在培養(yǎng)學生數(shù)學思維、增強問題解決技巧和提升數(shù)學模型意識方面的重要性.植樹問題涉及數(shù)列、間隔和邊界等數(shù)學概念，通過解決這一問題，學生可以更好地理解這些抽象概念的實際應(yīng)用.植樹問題還鼓勵學生進行數(shù)學建模，從實際情境中抽象出數(shù)學問題，并通過邏輯推理和計算找到解決方案.為驗證建構(gòu)主義教學方法的有效性，本文設(shè)計教學活動，學生通過互動和合作學習，在解決植樹問題的過程中建構(gòu)知識，激發(fā)興趣，促進其對知識的深度理解和應(yīng)用．

2 建構(gòu)主義理論與數(shù)學核心素養(yǎng)

2.1 建構(gòu)主義理論介紹

建構(gòu)主義理論是現(xiàn)代教育心理學的重要組成部分，強調(diào)知識的建構(gòu)過程而非簡單的傳遞.該理論的核心概念包括圖式、同化、順應(yīng)和平衡［2］，這些概念共同解釋個體如何通過與環(huán)境的互動不斷調(diào)整和完善其認知結(jié)構(gòu).圖式是指個體在認知過程中形成的心理結(jié)構(gòu)，用以組織和解釋信息.圖式是動態(tài)的，隨著經(jīng)驗的積累不斷發(fā)展和變化.同化是指個體將新信息納入已有的圖式中，使其與現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)相一致.當新信息與現(xiàn)有圖式不符時，個體會通過順應(yīng)來調(diào)整或重建圖式，以適應(yīng)新的信息.平衡是指個體在同化和順應(yīng)之間達到的一種動態(tài)平衡狀態(tài).皮亞杰認為，認知發(fā)展是一個不斷尋求平衡的過程，通過解決認知沖突，個體的認知結(jié)構(gòu)得以不斷發(fā)展和完善．

反省抽象是建構(gòu)主義理論中的另一個關(guān)鍵概念，指的是對心理屬性的抽象，使得某些操作格式成為可能，并將這些操作格式整合到更復雜的格式中去.反省抽象包含兩個不可分割的方面：投射和重組.［3］投射是指將低層次抽取的內(nèi)容投射到更高層次上；重組則是在更高層次上對投射內(nèi)容進行心理上的重新組織和建構(gòu).投射的內(nèi)容決定了每次反省抽象的水平高低，在新的層面上對形式進行建構(gòu)則需要反省的介入.

反省抽象的過程不僅在心理發(fā)展中起到關(guān)鍵作用，在教育和學習中具有重要意義.通過反省抽象，學生能夠?qū)⒕唧w的學習內(nèi)容提升到更高的抽象層次，從而更好地理解和應(yīng)用知識.此過程強調(diào)了學習的動態(tài)性和連續(xù)性，表明知識的建構(gòu)是一個不斷深化和擴展的過程.［4］教師應(yīng)重視這一過程，通過設(shè)計適當?shù)慕虒W活動，促進學生的反省抽象能力的發(fā)展，使他們能夠在更高層次上進行思考和學習．

2.2 建構(gòu)主義視角下的數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)

已有學者在建構(gòu)主義視角下研究數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，并取得重要成果.張濤等研究建構(gòu)主義在小學數(shù)學教學中的應(yīng)用，特別是皮亞杰的發(fā)生認識論對數(shù)學教育的啟示，提出了反省抽象范疇的關(guān)系框架圖及其在數(shù)學教學中的應(yīng)用路徑，強調(diào)了過程教育、經(jīng)驗抽象與反省抽象的結(jié)合，思維發(fā)展的階段性和批判性思維能力的培養(yǎng).宋亞敏和晏莉娟通過文獻分析和教學實驗，探討建構(gòu)主義在數(shù)學概念教學中的應(yīng)用，得出建構(gòu)主義理論能夠提升學生對數(shù)學概念的理解，促進自主學習和創(chuàng)新能力的結(jié)論.結(jié)合小學數(shù)學的特點，應(yīng)用皮亞杰的建構(gòu)主義理論可以有效促進學生的數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展.教師先通過創(chuàng)設(shè)真實情境，如在教學“植樹問題”時帶領(lǐng)學生進行模擬情境的植樹活動，增強數(shù)感和應(yīng)用意識；然后引導學生自主探究，鼓勵學生通過小組討論和自主實驗，提出假設(shè)并進行驗證，培養(yǎng)學生推理意識和創(chuàng)新能力；接著教師通過引導學生進行多樣化的表達方式，如繪圖和模型制作，增強其幾何直觀和符號意識；最后教師引導學生通過反思與總結(jié)，幫助學生深化對數(shù)學概念的理解，培養(yǎng)其邏輯思維和模型意識.通過這些策略，教師在建構(gòu)主義的視域下，優(yōu)化數(shù)學教學，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展．

2.3 “植樹問題”中的數(shù)學核心素養(yǎng)

關(guān)于“植樹問題”的研究比較豐富.例如，黃萬耿以“植樹問題”教學為例，指出植樹問題不僅有助于滲透數(shù)學思維和方法，還能積累學生的活動經(jīng)驗.張衛(wèi)星通過生活化的例子和動手操作，幫助學生理解間隔數(shù)與植樹棵數(shù)之間的關(guān)系，強調(diào)了化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想在教學中的應(yīng)用.此外，還有研究探討了“植樹問題”的有效教學策略，認為其對于培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力具有積極作用.這些研究共同表明，“植樹問題”在小學數(shù)學教育中具有重要的教學價值和廣闊的研究空間．

“植樹問題”是小學數(shù)學中的經(jīng)典應(yīng)用題，涉及數(shù)感、符號意識、運算能力、幾何直觀、推理意識、模型意識和應(yīng)用意識等多項數(shù)學核心素養(yǎng)（見表1）.由于其具有直觀性和實際應(yīng)用價值，學生可以通過實際操作和繪制示意圖，直觀地理解樹木的排列和間隔，從而增強空間感知能力和邏輯思維能力.此外，“植樹問題”與實際生活密切相關(guān)，能夠激發(fā)學生的學習興趣和探究精神，幫助他們體會數(shù)學在日常生活中的應(yīng)用價值.因此，選擇“植樹問題”作為研究對象，不僅能夠驗證建構(gòu)主義教學模式的有效性，還能為小學數(shù)學教育提供實證依據(jù)，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的全面發(fā)展．

3 建構(gòu)主義視域下“植樹問題”教學活動案例

“植樹問題”的教學設(shè)計遵循建構(gòu)主義理論，通過五個階段系統(tǒng)引導，促進學生對植樹問題數(shù)學規(guī)律的深入理解，培養(yǎng)核心素養(yǎng).通過展示生活中植樹實例，激發(fā)學生興趣，激活已有知識圖式.在同化階段，解決簡單植樹問題，嘗試將新知識融入認知結(jié)構(gòu).在順應(yīng)階段，逐漸增加問題的復雜性，促使學生在適應(yīng)新情境的過程中，發(fā)展新的解題策略.在平衡階段，將新、舊知識整合，達到認知上的平衡.反思階段，學生回顧整個學習過程，進行反省抽象，思考和總結(jié)收獲．

3.1 圖式、同化、順應(yīng)和平衡在植樹問題中的應(yīng)用

3.1.1 圖式激活 探索數(shù)學的起點

本活動意在通過謎語和直觀的手勢，激活學生已有的圖式，為后續(xù)的數(shù)學概念學習打下基礎(chǔ).通過觀察手指間的“間隔”，學生能夠直觀地理解數(shù)學中的“間隔”概念，從而建立與植樹問題相關(guān)的認知聯(lián)系．

活動流程概括如下.

（1）引入謎語.教師先提出一個謎語：“五個兄弟，住在一起，名字不同，長短不齊.”這個謎語意在激發(fā)學生的好奇心，引導學生初步思考．

（2）學生猜測.學生根據(jù)謎語的描述進行猜測，通常會得出“手指”這一答案.這一互動環(huán)節(jié)不僅活躍課堂氣氛，也為引入數(shù)學概念做鋪墊．

（3）觀察手指.教師引導學生伸出右手，觀察手指和手指之間的空隙.在這一環(huán)節(jié)，學生能夠直觀地看到“間隔”，并理解其在數(shù)學中的含義．

（4）引入概念.列舉其他間隔的例子，生活中的“間隔”到處可見，你能舉幾個例子嗎？教師明確指出這些空隙在數(shù)學中被稱為“間隔”，并強調(diào)這一概念在解決植樹問題中的重要性.通過直觀的方式，學生能更容易地將數(shù)學概念與實際情境相聯(lián)系．

【設(shè)計意圖】在教師的引導下，學生激活了已有知識圖式，初步理解“間隔”概念.直觀體驗有助于學生更好地理解和應(yīng)用植樹問題的數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)觀察力和數(shù)學思維.學生能夠理解“間隔”這一數(shù)學概念，并將其與實際情境相聯(lián)系；在教師引導下，建立對植樹問題的基本認識；在活動中積極參與，展現(xiàn)對數(shù)學學習的興趣和熱情．

3.1.2 同化體驗 實踐中的發(fā)現(xiàn)之旅

本活動意在通過動手實踐，讓學生將新知識同化到自己的知識體系中.通過模擬植樹的過程，學生親身體驗和探索植樹問題中的數(shù)學規(guī)律，加深對間隔數(shù)與樹的棵數(shù)關(guān)系的理解.學生通過實際操作將新知識融入自己的知識體系中，實現(xiàn)知識的內(nèi)化.本活動重點培養(yǎng)學生解決問題的能力、動手實踐能力以及數(shù)學思維.通過實踐活動，學生將數(shù)學知識與實際情境相結(jié)合，增強應(yīng)用意識．

活動流程概括如下.

（1）布置任務(wù).教師向?qū)W生介紹活動任務(wù).現(xiàn)在，我們來模擬植樹的過程.每組有20厘米長的線段和足夠數(shù)量的小樹模型.

（2）動手操作.學生根據(jù)教師的指導，嘗試在20厘米長的線段上每隔5厘米種一棵樹.這一過程要求學生動手操作，實際擺放小樹模型．

（3）解決問題.學生在操作過程中嘗試解決問題“看看需要多少棵樹”.這一環(huán)節(jié)鼓勵學生通過實踐探索vMcoiOhjYSJd7cEhMDtGktG5FVTzLdSJiv734/6+WkE=，能考慮到不同植樹場景下，有不同的答案，探索植樹問題中的規(guī)律．

（4）記錄結(jié)果.學生記錄下發(fā)現(xiàn)和操作過程，為后續(xù)的討論提供支撐．

【設(shè)計意圖】通過動手實踐，學生將抽象的數(shù)學概念具體化，直觀感受數(shù)學知識在實際生活中的應(yīng)用．

3.1.3 順應(yīng)交流 合作中的共識形成

本活動意在通過小組討論和分享，促進學生之間的思想交流和知識共享.學生在交流中調(diào)整自己的觀點，實現(xiàn)新、舊知識之間的順應(yīng)，促進知識的內(nèi)化和應(yīng)用.本活動重點培養(yǎng)學生的合作交流能力、批判性思維和問題解決能力.通過小組合作，學生能夠在交流中提升認識，形成更全面的理解．

活動流程概括如下.

（1）小組討論.教師引導學生進入小組討論環(huán)節(jié)，即每組分享你們的發(fā)現(xiàn)，討論一下你們是如何得出結(jié)論的.學生在小組內(nèi)交流各自的發(fā)現(xiàn)和解題方法，互相傾聽和理解．

（2）調(diào)整觀點.在討論過程中，學生可能會遇到不同的觀點和方法.他們需要學會調(diào)整自己的思路，順應(yīng)團隊的共識，找到解決問題的最佳途徑．

（3）達成共識.通過小組內(nèi)的互動和討論，學生逐漸形成共識，明確植樹問題中間隔數(shù)與樹的棵數(shù)之間的關(guān)系．

【設(shè)計意圖】通過交流，學生深化對數(shù)學規(guī)律的理解，在合作中學會傾聽和尊重他人的觀點，并在交流中形成共識.學生能在小組討論中積極表達自己的觀點，學會傾聽和尊重他人；在討論中調(diào)整自己的觀點，找到解決問題的最佳方法．

3.1.4 平衡探究 規(guī)律發(fā)現(xiàn)的洞察時刻

本活動意在引導學生通過觀察和分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹的棵數(shù)之間的關(guān)系，實現(xiàn)新、舊知識的平衡，深化對植樹問題規(guī)律的理解，并培養(yǎng)數(shù)學思維和數(shù)據(jù)分析能力.本活動重點培養(yǎng)學生的數(shù)學思維、數(shù)據(jù)分析能力、批判性思維和問題解決能力．

活動流程概括如下.

（1）觀察數(shù)據(jù).教師帶領(lǐng)學生展示自己的發(fā)現(xiàn)，并引導全班一起觀察.學生展示他們在小組討論中得出的數(shù)據(jù)和結(jié)論．

（2）探索規(guī)律.教師提問“有沒有發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)和樹的棵數(shù)之間的關(guān)系”，學生觀察數(shù)據(jù)，嘗試總結(jié)規(guī)律，教師適時提供引導和支持．

（3）集體討論.學生在教師引導下，進行集體討論，共同探討間隔數(shù)與樹的棵數(shù)之間的關(guān)系.教師鼓勵學生提出自己的見解，并在必要時提示．

（4）總結(jié)規(guī)律.學生在討論的基礎(chǔ)上，嘗試總結(jié)規(guī)律，形成共識.教師幫助學生明確規(guī)律，并在黑板上或屏幕上展示規(guī)律的數(shù)學表達式（如圖1）.

【設(shè)計意圖】通過探究，學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，在教師的引導下，實現(xiàn)新舊知識之間的平衡.學生能夠通過觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹的棵數(shù)之間的關(guān)系；在教師的幫助下，理解植樹問題的數(shù)學規(guī)律．

3.1.5 反省抽象 知識內(nèi)化的深度思考

本活動意在通過反思和討論，促進學生將具體的數(shù)學操作抽象化，形成明確的數(shù)學規(guī)律.通過反思學習過程，學生實現(xiàn)從具體操作到抽象概念的轉(zhuǎn)變，促進知識的內(nèi)化和應(yīng)用.本活動重點培養(yǎng)學生的元認知能力、創(chuàng)新意識和批判性思維．

活動流程概括如下.

（1）回顧學習過程.教師提問“現(xiàn)在我們來回顧一下我們今天的學習過程”.學生思考并準備描述他們在學習過程中的體驗和發(fā)現(xiàn)．

（2）抽象數(shù)學規(guī)律.教師提問“你們是如何從具體的操作中抽象出數(shù)學規(guī)律的”.學生分享如何從植樹活動中抽象出間隔數(shù)與樹的棵數(shù)之間的關(guān)系．

（3）深入討論.教師鼓勵學生深入討論“這個過程對你們有什么啟發(fā)”.學生探討在抽象過程中的思考方式，以及他們?nèi)绾螌⒕唧w操作與數(shù)學規(guī)律聯(lián)系起來．

（4）總結(jié)與反思.教師幫助學生總結(jié)發(fā)現(xiàn)，并引導進行反思“你們認為這種從具體到抽象的思考方式對你們理解數(shù)學問題有什么幫助”.學生討論這種思考方式如何幫助他們更好地理解和解決其他數(shù)學問題．

【設(shè)計意圖】通過反省抽象，學生將具體的數(shù)學操作轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學規(guī)律，這對深入理解數(shù)學概念和解決復雜問題至關(guān)重要.學生能夠清晰地描述如何從具體操作中抽象出數(shù)學規(guī)律，認識到抽象思維在數(shù)學學習中的重要性，并將這種思維方式應(yīng)用到其他學習領(lǐng)域，學生在反思中提升元認知能力，形成更深層次的理解．

3.2 “平衡—去平衡—再平衡”下的問題探究

平衡既是一種狀態(tài)，也是一種過程，在皮亞杰的理論中，更強調(diào)其過程性的含義.當有機體適應(yīng)環(huán)境時，就達成某種暫時的平衡；當環(huán)境發(fā)生改變，有機體不再能夠適應(yīng)環(huán)境條件時，就會出現(xiàn)“去平衡化”.“去平衡化”會促使有機體做出必要的調(diào)整以恢復平衡.［5］“平衡—去平衡—再平衡”的過程最終指向個體對環(huán)境的“適應(yīng)”.在這個“平衡—去平衡—再平衡”的過程中，環(huán)境和有機體的內(nèi)部機制之間既有同化也有順化.正因為如此，這個過程才是建構(gòu)性的．

學生在學習植樹問題初期，能夠利用已有的知識和經(jīng)驗解決問題，這時他們處于一種暫時的平衡狀態(tài).當問題的復雜性增加，學生原有的認知結(jié)構(gòu)不足以應(yīng)對新的挑戰(zhàn)時，就會出現(xiàn)“去平衡化”.這種“去平衡化”促使學生進行認知調(diào)整，嘗試新的解題策略和方法，以恢復平衡.在這個過程中，學生不斷地同化新知識，將其融入已有的認知結(jié)構(gòu)，同時也在順應(yīng)新的情境，發(fā)展新的認知策略.通過小組討論和教師引導，學生逐漸整合新、舊知識，達到新的認知平衡.在反思階段，學生回顧整個學習過程，進行反省抽象，進一步鞏固和深化所學知識.這種動態(tài)的平衡過程不僅促進了學生對植樹問題數(shù)學規(guī)律的深入理解，還培養(yǎng)了他們的數(shù)學思維能力、問題解決能力和創(chuàng)新意識，體現(xiàn)了建構(gòu)主義教學模式的有效性．

植樹問題的數(shù)學模型通過數(shù)形結(jié)合和一一對應(yīng)的方法來建立.

（1）根據(jù)總長度（L）和間隔長度（d），求間隔數(shù)（m），得到公式m＝Ld.

（2）抽象三種植樹模型.

①兩端都種樹：在一條長度為（L）的直線上，每隔（d）米種一棵樹，兩端都種樹.此時，樹的棵數(shù)（n）與間隔數(shù)（m）的關(guān)系為

n＝m+1.

②只種一端：在一條長度為（L）的直線上，每隔（d）米種一棵樹，只在一端種樹.此時，樹的棵數(shù)（n）與間隔數(shù)（m）的關(guān)系為

n＝m.

③兩端都不種樹：在一條長度為（L）的直線上，每隔（d）米種一棵樹，兩端都不種樹.此時，樹的棵數(shù)（n）與間隔數(shù)（m）的關(guān)系為

n＝m-1.

（3）學會常規(guī)題，會解變式題.

常規(guī)題通常直接涉及樹的棵數(shù)與間隔數(shù)的基本關(guān)系，題目條件明確，計算步驟相對簡單．

變式題在常規(guī)題的基礎(chǔ)上進行一定的變化，可能涉及更多的條件或需要更復雜的推理和計算．

①已知條件改變.

例如，公園小路一側(cè)有一排椅子，從起點到終點一共有50把椅子，每兩把椅子之間相距8米.這條小路長多少米？

在常規(guī)問題中，已知總長度和間隔長度，求不同情境下的植樹棵數(shù)，而在變式問題中，學生先要分析從起點到終點，對應(yīng)植樹問題中的兩端都種樹的情境，50把椅子對應(yīng)50棵樹，所以應(yīng)先根據(jù)關(guān)系式“間隔數(shù)+1＝棵數(shù)”變形，求出間隔數(shù)，再根據(jù)“間隔數(shù)×間隔長度＝總長度”求出小路長度.這要求學生具備更靈活的思維以及對植樹問題核心知識的深刻把握．

②間隔類型改變（見表2）.

【設(shè)計意圖】學生從常規(guī)植樹問題到變式問題的過程中，思維會進行具體到抽象、單一到多樣、簡單到復雜的轉(zhuǎn)變.這些變化幫助學生培養(yǎng)邏輯推理和抽象思維能力，并理解數(shù)學在實際生活中的廣泛應(yīng)用．

4 建構(gòu)主義理論對數(shù)學教學的啟示

在數(shù)學教育中，教師的角色不僅是知識的傳授者，更是學生認知發(fā)展的引導者.踐行建構(gòu)主義理論為數(shù)學教學帶來的幾點啟示.

（1）情境創(chuàng)設(shè)可以被視為一種橋梁，將抽象的數(shù)學概念與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系.情境創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵在于關(guān)聯(lián)生活實際.教師應(yīng)從學生的日常生活中尋找教學素材，將數(shù)學問題置于實際背景中，通過解決實際問題，使學生更深層次理解運算道理和計算方法.明確的目標、實踐性學習、自主探究對于有效的學習至關(guān)重要.每一次教學活動都應(yīng)有明確的目標，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)緊密結(jié)合數(shù)學學習主題和核心知識內(nèi)容；實踐性的學習方式有助于加深對知識的理解，使抽象的數(shù)學概念變得更具體；自主探究鼓勵學生提出問題、分析數(shù)據(jù)、驗證假設(shè)，培養(yǎng)學生的批判性思維能力，使他們審視問題、評估證據(jù)，并形成獨立的判斷．［6］

（2）在數(shù)學教學中，教師應(yīng)注重引導學生從具體的數(shù)學操作中抽象出數(shù)學規(guī)律，促進學生從直觀理解向抽象思維的轉(zhuǎn)變，加深對數(shù)學概念的深入理解.反省抽象的培養(yǎng)是數(shù)學教學的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它幫助學生形成更為系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系.［7］通過引導，學生能掌握數(shù)學知識，并培養(yǎng)他們批判性思維和解決問題的能力.教師在這一過程中應(yīng)扮演重要角色，注重學生在反省抽象過程中的情感體驗，幫助其建立自信心.通過不斷的反思和總結(jié)，學生逐步形成自己的數(shù)學思維模式．

（3）教師應(yīng)引導學生經(jīng)歷“平衡—去平衡—再平衡”的認知發(fā)展過程，這是學生認知發(fā)展的核心，也是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的關(guān)鍵.通過動態(tài)平衡的實現(xiàn)，學生在面對新的學習挑戰(zhàn)時，能夠通過不斷調(diào)整和完善自己的認知結(jié)構(gòu)來適應(yīng)變化，這有助于學生在學習過程中保持積極的心態(tài)和高效的學習狀態(tài).教師在此過程中應(yīng)扮演引導者和支持者的角色，提供及時的反饋與教學支持，鼓勵學生進行自我反思.此外，教師還應(yīng)注重培養(yǎng)學生的元認知能力，使之自覺監(jiān)控和調(diào)節(jié)自己的學習過程，幫助其在心理上獲得成長，形成積極的學習態(tài)度和終身學習的能力．

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