第3章 數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度

領(lǐng)" 銜" 人：鄧昌濱（正高級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省鄧昌濱網(wǎng)絡(luò)名師工作室

“數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度”屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域中的“統(tǒng)計(jì)”部分。初中與“統(tǒng)計(jì)”有關(guān)的內(nèi)容分別為八（下）“數(shù)據(jù)的收集、整理、描述”、九（上）“數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度”和九（下）“概率與統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”。本章主要介紹了刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，以及刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量——極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，以此掌握數(shù)據(jù)分析（如圖1）的方法，從而能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單處理并作出評(píng)判。

分析數(shù)據(jù)，用數(shù)據(jù)說(shuō)話

生活離不開(kāi)數(shù)據(jù)。一般地，我們常用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)表示數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，用極差和方差表示數(shù)據(jù)的離散程度。這些數(shù)可以幫助我們從不同角度更加全面地認(rèn)識(shí)生活中的數(shù)據(jù)，掌握處理數(shù)據(jù)的方法，從而能對(duì)研究對(duì)象做出合理的推斷和預(yù)測(cè)。

在小學(xué)階段，我們主要從動(dòng)態(tài)的生活情境中，經(jīng)歷、體驗(yàn)簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)過(guò)程，學(xué)會(huì)了收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，并會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表直觀形象地描述數(shù)據(jù)。初中階段，我們會(huì)在已有數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，分析其蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而獲取需要的信息，為做出決策提供依據(jù)。到了高中階段，我們還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集和整理的方法、直觀圖表的表示方法、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征的刻畫(huà)方法等，感悟在實(shí)際生活中進(jìn)行科學(xué)決策的必要性和可能性。

集中趨勢(shì)與離散程度

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，其大小不僅受一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)值大小的影響，而且受這組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)值出現(xiàn)的頻數(shù)的影響，即“權(quán)”的差異的影響。中位數(shù)是唯一的，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則數(shù)據(jù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕泻?，中間的那個(gè)數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)是偶數(shù)個(gè)，則數(shù)據(jù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕泻螅虚g兩個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“中等水平”，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來(lái)描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適。眾數(shù)不一定唯一，它反映一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”，其大小只與部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)。

方差是表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的統(tǒng)計(jì)量。方差越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定。當(dāng)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時(shí)，它們的波動(dòng)大小可以通過(guò)畫(huà)圖觀察得到。如何引入方差呢？為什么用方差來(lái)刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度相對(duì)合理呢？這是本章的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

在學(xué)習(xí)方差的過(guò)程中，我們通過(guò)觀察折線統(tǒng)計(jì)圖，可以直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)（離散）程度。當(dāng)數(shù)據(jù)的大小比較接近時(shí)，我們通過(guò)觀察很難直接判斷，這時(shí)就需要引入一個(gè)類似于平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)量來(lái)分析數(shù)據(jù)。通過(guò)計(jì)算最大值和最小值的差，我們發(fā)現(xiàn)它們能夠刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度，于是試著引入極差，發(fā)現(xiàn)極差雖能刻畫(huà)數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍，但不能刻畫(huà)每個(gè)數(shù)據(jù)的離散情況。我們又通過(guò)計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差，發(fā)現(xiàn)它能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)相對(duì)平均水平的偏離情況，但偏差之和經(jīng)過(guò)正負(fù)抵消后為“0”，直接“求和”并不能反映這組數(shù)據(jù)的離散程度。這時(shí)，我們找到解決這個(gè)問(wèn)題的兩種方法。方法一：先求偏差的絕對(duì)值，再求和；方法二：先求偏差的平方，再求和。這樣，通過(guò)分別計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這兩種方法都能刻畫(huà)這組數(shù)據(jù)的離散程度，但偏差平方的和相對(duì)更好一些。最后，通過(guò)計(jì)算波動(dòng)相同而個(gè)數(shù)不同的兩組數(shù)據(jù)的偏差平方和，我們發(fā)現(xiàn)其結(jié)果還受數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響，從而探究出用偏差平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的方法，進(jìn)而引入方差的概念。

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級(jí)中學(xué)）