摘" 要：

稀疏重構(gòu)類(lèi)算法在雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用一直是近年來(lái)的熱門(mén)，但由于稀疏重構(gòu)類(lèi)算法的局限性，在進(jìn)行目標(biāo)波達(dá)方向（direction of arrival， DOA）估計(jì)時(shí)受到原子間的互相影響，從而使多目標(biāo)測(cè)角精度降低。針對(duì)此問(wèn)題，提出一種基于信號(hào)分離迭代思想的松弛子空間追蹤算法。首先求出回波信號(hào)與歸一化后字典矩陣相關(guān)性最強(qiáng)的多個(gè)原子作為初步估計(jì)值，再利用初步估計(jì)的角度構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，反復(fù)估計(jì)直至代價(jià)函數(shù)收斂。仿真結(jié)果表明，所提算法減小了目標(biāo)個(gè)數(shù)和相位差的影響，提高了多目標(biāo)DOA估計(jì)的測(cè)角精度，同時(shí)相較于傳統(tǒng)的松弛算法減少了運(yùn)算量。

關(guān)鍵詞：

波達(dá)方向估計(jì); 稀疏重構(gòu); 子空間追蹤; 松弛算法

中圖分類(lèi)號(hào)：

TN 95

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.13

Multi-target DOA estimation method based on improved SP algorithm

CAO Ruoshi1，2， ZHAO Yongbo1，2，*， QIU Yucheng1，2

（1. National Key Laboratory of Radar Signal Processing， Xidian University， Xi’an 710071， China;

2. School of Electronic Engineering， Xidian University， Xi’an 710071， China）

Abstract：

The application of sparse reconstruction algorithms in radar target parameter estimation has been a hot topic in recent years. However， due to the limitations of sparse reconstruction algorithms， they are affected by the mutual influence between atoms when estimating the direction of arrival （DOA） of target waves， resulting in a decrease in the accuracy of multi-target angle measurement. To address this issue， a relaxation subspace tracking algorithm based on the idea of signal separation iteration is proposed. Firstly， the multiple atoms with the strongest correlation between the echo signal and the normalized dictionary matrix are calculated as the initial estimated values. Then， the initial estimated angles is used to construct the cost function， and estimate repeatedly until the cost function converges. The simulation results show that the proposed algorithm reduces the influence of the number of targets and phase difference， improves the angle measurement accuracy of multi-target DOA estimation， and reduces the computational complexity compared to traditional relaxation algorithms.

Keywords：

direction of arrival （DOA） estimation; sparse reconstruction; subspace pursuit; relaxation algorithm

0" 引" 言

信號(hào)的波達(dá)方向（direction of arrival， DOA）估計(jì)是對(duì)目標(biāo)或信號(hào)源進(jìn)行空間定位的主要手段，也是通信、雷達(dá)［12］、偵察和電子對(duì)抗等領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向。最大似然類(lèi)的DOA估計(jì)算法和基于子空間類(lèi)估計(jì)算法理論已較為成熟，但都有其局限性［3］。子空間類(lèi)方法在信噪比較低、樣本觀測(cè)值較少的條件下，其相關(guān)矩陣、信號(hào)子空間的求解受到影響，從而使此類(lèi)方法精度下降。同時(shí)，在相干信源的條件下，目標(biāo)之間存在相互影響，使得信號(hào)和噪聲子空間精度降低，從而使算法性能受到影響［4］。最大似然類(lèi)方法在信源個(gè)數(shù)已知、小樣本、低信噪比等場(chǎng)景下性能優(yōu)于子空間類(lèi)方法，但其計(jì)算量較高，部分簡(jiǎn)化方法以精度較高的DOA估計(jì)值為前提，實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)［5］。

近年來(lái)，稀疏信號(hào)重構(gòu)［67］和壓縮感知（compressed sensing， CS）技術(shù)的應(yīng)用獲得了信號(hào)處理領(lǐng)域的廣泛關(guān)注［812］。CS技術(shù)側(cè)重對(duì)觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)和稀疏信號(hào)的提取，稀疏重構(gòu)技術(shù)側(cè)重在算法層面對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)，CS理論是建立在稀疏重構(gòu)算法之上的。在雷達(dá)信號(hào)處理中，空域信號(hào)具有稀疏的特性，因此可以應(yīng)用稀疏重構(gòu)技術(shù)來(lái)進(jìn)行DOA估計(jì)。

貪婪算法是稀疏重構(gòu)算法里的一大類(lèi)，目前已經(jīng)提出了許多經(jīng)典貪婪算法［1319］，通過(guò)原子添加階段、刪除階段和終止準(zhǔn)則的不同將算法分成了不同類(lèi)型。文獻(xiàn)［20］提出了一種改進(jìn)的稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法，可以用更少重復(fù)次數(shù)的同時(shí)具有更精確的重建能力。文獻(xiàn)［21］提出了塊正交匹配追蹤有效恢復(fù)的新分析，能夠在有噪聲的情況下具有更好的恢復(fù)能力。面對(duì)信號(hào)矩陣在多次快拍之間具有的相關(guān)性問(wèn)題，文獻(xiàn)［22］提出了一種基于閾值和功能反饋的迭代多向量稀疏重構(gòu)算法，在自適應(yīng)和準(zhǔn)確性上有明顯優(yōu)勢(shì)。但由于貪婪算法結(jié)構(gòu)的限制，在進(jìn)行目標(biāo)DOA估計(jì)時(shí)存在單目標(biāo)精度較高，多目標(biāo)精度降低的問(wèn)題，現(xiàn)階段對(duì)多目標(biāo)估計(jì)精度問(wèn)題的研究較少。

子空間追蹤（subspace pursuit， SP）算法［23］在原子選擇和原子刪除中保留了每次迭代所估計(jì)的原子。當(dāng)同時(shí)估計(jì)多個(gè)原子時(shí)就受到了原子間的相互影響，從而使DOA估計(jì)精度降低。為了減小原子間的相互影響，提高多目標(biāo)測(cè)角精度，本文提出了一種基于信號(hào)分離迭代的松弛SP（relaxation SP， RSP）算法。首先構(gòu)建出空域的稀疏信號(hào)模型，之后引入信號(hào)分離迭代的思想，基于非線性均方誤差準(zhǔn)則構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，進(jìn)行反復(fù)迭代求解并分析計(jì)算復(fù)雜度，最后通過(guò)仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提算法在多目標(biāo)DOA估計(jì)中的有效性。

1" CS原理與信號(hào)模型

1.1" CS原理

Donoho等人提出了一種新型的數(shù)據(jù)采集框架CS［24］。CS理論指出，對(duì)于可壓縮信號(hào)或稀疏信號(hào)，可以通過(guò)求解一個(gè)非線性稀疏約束的優(yōu)化問(wèn)題，用遠(yuǎn)低于Nyquist采樣率要求的數(shù)據(jù)來(lái)實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)的精確重構(gòu)。

獲取稀疏度為K的向量x∈RN×1采用的等式為

y=Φx+δ（1）

式中：Φ∈RM×N表示測(cè)量矩陣;y∈RM×1表示測(cè)量值向量;δ∈RM×1表示測(cè)量中產(chǎn)生的噪聲。由于NM，對(duì)l0范數(shù)求解是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式（non-deterministic polynomial， NP）難問(wèn)題，無(wú)法直接進(jìn)行求解，可以將其轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)求解，優(yōu)化問(wèn)題可以描述為

min‖x‖1s.t. y=Φx（2）

式中：‖·‖1表示l1范數(shù)。稀疏恢復(fù)算法精確恢復(fù)出原始信號(hào)需要滿足兩個(gè)前提條件。第一個(gè)條件是原始信號(hào)在某一個(gè)域是稀疏的，即信號(hào)在該域中只有少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)存在幅值，其他點(diǎn)等于或趨近于零;另一個(gè)條件是Candes等人提出的約束等距條件（restricted isometry property， RIP）［25］，該條件為實(shí)現(xiàn)精確重構(gòu)的必要條件，主要內(nèi)容如下。

對(duì)于任意稀疏信號(hào)x滿足以下條件：

（1－δK）‖x‖22≤‖Φx‖22≤（1+δK）‖x‖22（3）

則稱(chēng)測(cè)量矩陣Φ滿足RIP，其中0lt;δKlt;1。之后研究者在此基礎(chǔ)上提出了相關(guān)性準(zhǔn)則 （mutual incoherence pro-perty， MIP）［26］，其中RIP等價(jià)條件為測(cè)量矩陣任意兩列不相關(guān)。

定義矩陣A的相關(guān)性為μ（A），μ（A）的取值為A中任意兩列之間歸一化內(nèi)積的最大值，μ（A）的表達(dá)式如下：

μ（A）=max1≤i≤j≤LA|AiAj|Ai2·Aj2（4）

式中：LA為矩陣A列長(zhǎng)。若μ（A）滿足Klt;1/μ（A），則矩陣A滿足K階RIP。滿足上述兩個(gè)條件后，稀疏恢復(fù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為對(duì)欠定方程組l1范數(shù)求解問(wèn)題。

目前，主要的稀疏重構(gòu)方法可劃分成四大類(lèi)： ① 凸優(yōu)化類(lèi)算法；② 貪婪追蹤算法；③ 基于貝葉斯框架的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化算法;④ 組合算法［27］。本文的研究屬于貪婪算法。

1.2" 空域信號(hào)模型

假設(shè)空間中存在K個(gè)目標(biāo)，目標(biāo)所在角度分別為θ=［θ1，θ2，…，θK］，在N個(gè)陣元組成的等距線陣上，陣元間距為d，發(fā)射信號(hào)波長(zhǎng)為λ，選取第一個(gè)陣元為參考陣元，取第一個(gè)陣元收到的回波信號(hào)為s（t），第n個(gè)陣元收到的回波信號(hào)相對(duì)參考陣元有一個(gè)延遲τn（n=0，1，2，…，N），則第n個(gè)陣元接收信號(hào)：

sn（t）=s（t－τn）=s（t）e－j2nπdsin θkλ（5）

為便于計(jì)算，本文將陣元間距設(shè)為半波長(zhǎng)，即d=λ/2。第i個(gè)目標(biāo)接收陣列導(dǎo)向矢量可以表示為

ai=［1，e－j2π·（dsin θi）/λ，…，e－j2π（N－1）·（dsin θi）/λ］（6）

等距線陣的陣列流型為

ADOA=11…1

e－j2πdλsin θ1e－j2πdλsin θ2…e－j2πdλsin θK

e－j2π（N－1）dλsin θ1e－j2π（N－1）dλsin θ2…e－j2π（N－1）dλsin θK（7）

則單次脈沖的回波信號(hào)空域采樣的矩陣形式可表示如下：

Yθ=ADOAS+Nnoise（8）

式中：S表示發(fā)射信號(hào)矩陣;Nnoise表示引入的噪聲分量。

在雷達(dá)空域探測(cè)的范圍內(nèi)，目標(biāo)存在一般是稀疏的，即只在少數(shù)區(qū)域內(nèi)存在目標(biāo)，這為稀疏重構(gòu)理論在DOA估計(jì)中的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。角度維上目標(biāo)在回波信號(hào)參數(shù)域的平面化如圖1所示。

傳統(tǒng)的陣列角度估計(jì)模型中，陣列流型的每一列對(duì)應(yīng)著空間中一個(gè)真實(shí)的回波信號(hào)。在稀疏恢復(fù)理論的基礎(chǔ)下，對(duì)整個(gè)角度域-90°～90°進(jìn)行等間隔劃分，將其劃分為P個(gè)角度，每一個(gè)角度都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)向矢量，每一個(gè)導(dǎo)向矢量可以表示為

φ（θp）=1， exp－j2πdλsin θp，…，

exp－j2π（N-1）dλsin θp， p=1，2，…，P（9）

將整個(gè)空間范圍內(nèi)的回波信號(hào)幅值組成了一個(gè)稀疏度為K的稀疏信號(hào)Xθ，即Xθ中存在K個(gè)非零元素。從而可以建立基于稀疏重構(gòu)的角度估計(jì)模型：

Yθ=AθXθ（10）

式中：Yθ表示某一時(shí)刻陣列的接收信號(hào)；Aθ=［φ（θ1），φ（θ2），…，φ（θp）］。構(gòu)建基于稀疏重構(gòu)的角度估計(jì)模型：

minXθ1s.t. Yθ－AθXθ2≤ζ（11）

式中：ζ表示估計(jì)值與真實(shí)值之間殘差的門(mén)限，將角度估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為范數(shù)模型從而可以進(jìn)行求解。

對(duì)于貪婪算法，式（11）稀疏重構(gòu)模型可以轉(zhuǎn)化為

minYθ－AθXθ22s.t. Xθ0≤K（12）

式中：‖·‖0表示l0范數(shù)，表示稀疏信號(hào)中非零元素的個(gè)數(shù)。隨著貪婪算法迭代次數(shù)的增加，恢復(fù)的稀疏信號(hào)Xθ的0范數(shù)從1開(kāi)始逐次遞增，直至滿足算法收斂準(zhǔn)則。

2" 基于信號(hào)分離迭代的RSP算法

2.1" SP算法

經(jīng)典的貪婪算法有兩個(gè)基本步驟：原子集選擇和系數(shù)更新。一般將重構(gòu)信號(hào)初始化為零向量x^0=0，同時(shí)初始化殘差為r0=y－Φx" ^0=y，支撐集為空集T" ^0=，每次迭代按照不同準(zhǔn)則來(lái)選擇原子更新支撐集，并更新估計(jì)信號(hào)x^k和殘差r^k，進(jìn)行迭代直至滿足條件退出循環(huán)。

SP重構(gòu)算法需要已知稀疏度K，在一次迭代中選出K個(gè)原子，通過(guò)反復(fù)的添加原子和刪除原子在一定程度上減小一次選多個(gè)原子的誤差。

SP重構(gòu)算法的具體步驟如算法1所示。其中，Φ=（ΦTΦ）-1ΦT 表示矩陣Φ的偽逆。

算法 1" SP重構(gòu)算法

輸入" 測(cè)量信號(hào)y，測(cè)量矩陣Φ，稀疏度K

初始化" 支撐集T^0={向量ΦTy中前K個(gè)最大元素的索引}，殘差r0=y－ΦT^0ΦT^0y，迭代次數(shù)k=1

步驟 1" T～k=T^k－1∪{向量ΦTrk－1中前K個(gè)量級(jí)最大元素索引}。

步驟 2" xp=ΦT～ky。

步驟 3" T^k={向量xp中前K個(gè)量級(jí)最大元素索引}。

步驟 4" rk=y－ΦT^kΦT^ky。

步驟 5" 若rk2gt;rk－12，令T^k=T^k－1并退出迭代;否則k=k+1進(jìn)入下一輪迭代。

輸出" 支撐集T^=T^k，估計(jì)信號(hào)x^∈RN，x^{1，2，…，N}-T^=0，且x^T^=ΦT^y。

SP算法每次迭代選擇K個(gè)原子，重構(gòu)速度較快，但是受到原子間的互相影響，估計(jì)精度會(huì)降低，在估計(jì)多目標(biāo)DOA角度時(shí)精度會(huì)下降。

2.2" RSP算法

SP算法在估計(jì)角度時(shí)受到多目標(biāo)間相互影響使精度降低。松弛算法［2830］是將目標(biāo)信息分離后再反復(fù)對(duì)其估計(jì)，適用于多目標(biāo)估計(jì)問(wèn)題，但是計(jì)算量較大。本文基于分離迭代思想來(lái)改進(jìn)SP算法，提出了RSP算法。在SP算法第一次循環(huán)粗略估計(jì)出K個(gè)目標(biāo)之后，利用分離迭代思想對(duì)粗略估計(jì)的角度值進(jìn)行驗(yàn)證修改，減小了目標(biāo)之間的相互影響，使其在精度提高的同時(shí)相對(duì)于松弛算法減少了計(jì)算量。

在非線性方差準(zhǔn)則下構(gòu)造一個(gè)與入射信號(hào)相關(guān)的代價(jià)函數(shù)：

F1［θ^，s^（n）］=∑Nn=1［y（n）－A^（θ）s^（n）］H［y（n）－A^（θ）s^（n）］（13）

式中：θ^=（θ^1，θ^2，…，θ^K）與s^=（s^1，s^2，…，s^k）分別為多目標(biāo)的角度估計(jì)值與波形估計(jì)值;F1為代價(jià)函數(shù)。隨著循環(huán)的進(jìn)行，F(xiàn)1會(huì)逐漸收斂于某一值，當(dāng)F1收斂時(shí)對(duì)應(yīng)的角度θ^即為目標(biāo)的角度估計(jì)值;在實(shí)際仿真過(guò)程中，認(rèn)為相鄰兩次代價(jià)函數(shù)之差不大于某一閾值則收斂。

ΔF≤ε（14）

ε閾值的選取既要確保代價(jià)函數(shù)F收斂，又不能使循環(huán)次數(shù)過(guò)多導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大，算法進(jìn)入死循環(huán)。根據(jù)文獻(xiàn)［31］與實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，本文仿真驗(yàn)證設(shè)置ε=10-3。

假設(shè)陣列接收數(shù)據(jù)包含K個(gè)信號(hào)，將除帶估計(jì)信號(hào)外的其他信號(hào)剝離出去，第k個(gè)信號(hào)可表示為

yk（n）=y（n）－∑Ki=1，i≠ka（θ^i）s^i（n）（15）

由式（12）可得第k個(gè)信號(hào)的代價(jià)函數(shù)：

F2［θk，sk（n）］=∑Nn=1［yk（n）－a（θ）sk（n）］H·

［yk（n）－a（θ）sk（n）］

根據(jù)非線性均方誤差準(zhǔn)則，將代價(jià)函數(shù)F2［θk，sk（n）］最小化得到目標(biāo)角度θk的估計(jì)值與波形信息sk。

sk（n）=aH（θk）yk（n）N|θk=θ^k（16）

θ^k=argminθk∑Nn=1 I－a（θk）aH（θk）N yk（n）2=

argmaxθk∑Nn=1|aH（θk）yk（n）|2（17）

用式（16）和式（17）來(lái)替換SP算法中步驟2和步驟1，同時(shí)每個(gè)加入原子集的角度都要在下一次循環(huán)中根據(jù)式（15）剝離出去，利用殘差信號(hào)來(lái)重新估計(jì)，循環(huán)更新每個(gè)角度，直到代價(jià)函數(shù)滿足收斂條件后結(jié)束循環(huán)。

根據(jù)上述原理，基于信號(hào)分離迭代的RSP算法流程圖如圖2所示。

RSP算法DOA估計(jì)的具體步驟如算法2所示。

算法 2" RSP算法DOA估計(jì)

輸入" 測(cè)量信號(hào)y，測(cè)量矩陣Φ，稀疏度K

步驟 1" 計(jì)算向量ΦTrk－1中前K個(gè)量級(jí)最大元素所對(duì)應(yīng)角度θ^0k，k=1，2，…，K，并根據(jù)式（16）求出對(duì)應(yīng)的波形信息s^0k（n），k=1，2，…，K。

步驟 2" 利用步驟1中得到的{θ^，s^（n）}0k，k≠1；根據(jù)式（15）得到y(tǒng)11（n），然后根據(jù)式（16）和式（17）求出θ^11，s^11（n）;接著利用{θ^，s^（n）}0k，k≠1，2與θ^11，s^11（n），根據(jù)式（15）得到y(tǒng)12（n）;然后根據(jù)式（16）和式（17）求出θ^12，s^12（n）;

重復(fù)這個(gè)過(guò)程得到{θ^，s^（n）}ck，k=1，2，…，K，計(jì)算代價(jià)函數(shù)F1。

步驟 3" 重復(fù)步驟2操作直至滿足收斂條件為止。

輸出" {θ^，s^（n）}k，k=1，2，…，K。

其中，θ^ck，s^ck（n）分別代表步驟2重復(fù)c次時(shí)，第k個(gè)目標(biāo)的角度估計(jì)值和波形估計(jì)信息。

在無(wú)噪聲條件下，對(duì)于滿足RIP的任意采樣矩陣，SP算法都能準(zhǔn)確恢復(fù)稀疏信號(hào)，當(dāng)測(cè)量不準(zhǔn)確或信號(hào)不完全稀疏時(shí)，重構(gòu)會(huì)受到影響［32］。本文所提RSP算法是在SP算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，降低了原子之間相關(guān)性對(duì)測(cè)角精度的影響，對(duì)于RIP要求的矩陣相關(guān)性有所降低。本文仿真選擇矩陣滿足RIP，可以準(zhǔn)確恢復(fù)稀疏信號(hào)。

2.3" 計(jì)算復(fù)雜度分析對(duì)比

基于信號(hào)分離迭代的RSP算法和SP算法每一次迭代中都有求角度和角度對(duì)應(yīng)的幅值兩個(gè)基本步驟。其中，求角度均為求回波信號(hào)y與字典矩陣Φ或a（θk）內(nèi)積最大值對(duì)應(yīng)的角度，計(jì)算量相同，下面來(lái)比較求角度對(duì)應(yīng)幅值步驟的計(jì)算量。

SP算法求角度對(duì)應(yīng)系數(shù)為求xp=（ΦTT～kΦT～k）－1ΦTT～ky最小二乘解的步驟。其中，ΦT～k為N×P維矩陣，y為N×1維向量，表達(dá)式ΦTT～kΦT～k有NP2次乘法和（N－1）P2次加法，計(jì)算量為（2NP2－P2）每秒浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)（floating point operations per second， FLOPS）;矩陣求逆運(yùn)算（ΦTT～kΦT～k）－1有4P3/3+2P/3次乘法和4P3/3－3P2/2+1P/6次加法，計(jì)算量為8P3/3－3P2/2+5P/6 FLOPS;矩陣（ΦTT～kΦT～k）－1與ΦTT～k相乘有NP2次乘法和NP2－NP次加法，計(jì)算量為（2NP2－NP）FLOPS;矩陣（ΦTT～kΦT～k）－1ΦTT～k與向量y相乘有NP次乘法和（N－1）P次加法，則求角度對(duì)應(yīng)系數(shù)計(jì)算量合計(jì)（8P3/3+4NP2－5P2/2+NP－1P/6）FLOPS。

基于分離迭代的RSP算法中求角度對(duì)應(yīng)幅值的公式為式（16）。式中，aH（θk）為N×P維向量，yk（n）為N×1維向量。式（16）中共進(jìn)行了PN次乘法運(yùn)算和P次除法運(yùn)算，計(jì)算量為（PN+P）FLOPS。

通過(guò)以上分析可以看出，本文所提算法改進(jìn)了SP算法每次迭代中矩陣求逆的過(guò)程，降低了計(jì)算量。

松弛算法估計(jì)多目標(biāo)時(shí)目標(biāo)個(gè)數(shù)是逐漸增加的，則K個(gè)目標(biāo)都被估計(jì)一輪至少需要迭代（1+K）K/2次。RSP算法是直接從K個(gè)目標(biāo)開(kāi)始估計(jì)，一輪至少需要迭代K次。因此，本文提出的RSP算法相對(duì)于松弛算法減少了迭代次數(shù)，降低了計(jì)算量。

3" 仿真結(jié)果及分析

本文中的仿真實(shí)驗(yàn)條件均為等距線陣，設(shè)置陣元數(shù)N為16，陣元間距為半波長(zhǎng)。為了驗(yàn)證與評(píng)估本文所提算法的多目標(biāo)測(cè)角精度和計(jì)算復(fù)雜度，實(shí)驗(yàn)同時(shí)執(zhí)行了SP算法、正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit， OMP）算法、松弛算法。本文選用均方根誤差（root mean square error， RMSE）作為DOA估計(jì)性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

RMSE=1KM∑Kk=1∑Mm=1［（θ^km－θk）2］（18）

式中：M為蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù);θ^km表示第m次實(shí)驗(yàn)中第k個(gè)目標(biāo)的估計(jì)值;θk為第k個(gè)目標(biāo)的真實(shí)值。角度搜索范圍為［－60°，60°］，網(wǎng)格間距為0.01°。

實(shí)驗(yàn) 1" 相干信源的測(cè)角性能。圖3和圖4給出了單次快拍目標(biāo)RMSE隨信噪比變化的關(guān)系。其中，圖3目標(biāo)數(shù)為2，角度為［0°，30°］;圖4目標(biāo)數(shù)為5，角度為［-40°，-30°，0°，30°，45°］，互為相干信源，M=100，信噪比為單個(gè)陣元信噪比。從圖3可以看出，本文所提算法在信噪比較低時(shí)與OMP、SP算法相近，在信噪比較高時(shí)測(cè)角精度有明顯改善。主要原因是OMP算法只有原子選擇沒(méi)有原子刪除過(guò)程，缺少對(duì)已選原子的更新驗(yàn)證;SP算法同時(shí)選擇多個(gè)原子，存在原子間的互相影響，每次更新后仍選擇多個(gè)原子，影響沒(méi)有消除;本文所提算法經(jīng)過(guò)原子反復(fù)刪除更新的過(guò)程，減弱了原子間的影響，提高了測(cè)角精度。同時(shí)，相比松弛算法每個(gè)目標(biāo)都要循環(huán)迭代的過(guò)程，不影響測(cè)角精度的同時(shí)減少了計(jì)算量。

對(duì)比圖3和圖4可以看出，OMP和SP算法測(cè)角精度受到目標(biāo)個(gè)數(shù)的影響，目標(biāo)個(gè)數(shù)增多時(shí)，曲線收斂邊界處的誤差增大，測(cè)角精度下降，本文所提算法曲線收斂值變化不大，測(cè)角精度沒(méi)有受到目標(biāo)個(gè)數(shù)影響。OMP算法由于測(cè)出原子后沒(méi)有再驗(yàn)證刪除不滿足條件原子的過(guò)程，精度受到影響。SP算法受影響較大的主要原因是每次迭代同時(shí)選擇多個(gè)原子，這個(gè)過(guò)程類(lèi)似于數(shù)字波束掃描測(cè)角，不同原子對(duì)應(yīng)的角度在方向圖中的增益不同，疊加過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生偏差。本文所提算法基于反復(fù)迭代的過(guò)程，對(duì)原子集反復(fù)選擇與更新，消除了這個(gè)偏差。當(dāng)信噪比較低時(shí)，多目標(biāo)仿真過(guò)程中存在所測(cè)角度與目標(biāo)不對(duì)應(yīng)的情況，會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成干擾。本實(shí)驗(yàn)仿真加入了約束條件，刪除了所測(cè)角度與目標(biāo)不匹配情況下的結(jié)果，因此低信噪比下的測(cè)角精度不參加對(duì)比。

實(shí)驗(yàn) 2" 非相干信源的測(cè)角性能。圖5給出了多次快拍下目標(biāo)RMSE隨信噪比變化的關(guān)系圖，目標(biāo)數(shù)為2，角度為［0°，30°］，M=100，快拍數(shù)為20，為非相干信源，信噪比為單個(gè)陣元多快拍積累后的信噪比。由于單次快拍時(shí)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)非相干信源，因此本實(shí)驗(yàn)采用多次快拍。從圖5可以看出，本文所提算法在多次快拍非相干信源條件下，相對(duì)于其他算法測(cè)角精度仍有所提高，但相較于圖3提高幅度有所下降。主要原因是OMP和SP算法沒(méi)有刪除原子的過(guò)程，存在原子間的相互影響，在相干信源的條件下影響較大，測(cè)角精度降低。本文所提算法經(jīng)過(guò)對(duì)原子的反復(fù)刪除重估，減弱了原子間的影響，在相干和非相干信源條件下都具有較好的測(cè)角精度。

實(shí)驗(yàn) 3" 目標(biāo)之間相位差的影響。圖6給出了RMSE隨目標(biāo)之間相位差變化的關(guān)系圖，目標(biāo)數(shù)為2，角度為［0°，30°］，信噪比為0 dB，M=100。從圖3中0 dB處可得該條件下，4種算法的測(cè)角精度近似相同，因此可以從圖6測(cè)角精度變化幅度來(lái)判斷算法受相位差的影響情況?？梢钥闯?，隨著目標(biāo)相位差的變化，RMSE成周期性變化，其中OMP和SP算法受到目標(biāo)相位差變化影響較大，本文所提算法和松弛算法受影響較小。主要原因是OMP和SP算法受到貪婪算法原子選擇更新過(guò)程的限制，精度受到相位變化影響。本文所提算法基于反復(fù)迭代過(guò)程，刪除了誤差較大的原子，受目標(biāo)之間相位差影響較小，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

實(shí)驗(yàn) 4" 運(yùn)算時(shí)間對(duì)比。圖7給出了各算法CPU運(yùn)算時(shí)間隨著陣元數(shù)目的變化關(guān)系，運(yùn)算時(shí)間是統(tǒng)計(jì)算法部分在計(jì)算機(jī)上的運(yùn)行時(shí)間。實(shí)現(xiàn)方式為編寫(xiě)4種算法的程序并在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行。本實(shí)驗(yàn)采用的計(jì)算機(jī)硬件配置為3.40 GHz主頻的英特爾處理器，內(nèi)存為8 GB。通過(guò)統(tǒng)計(jì)各個(gè)算法在計(jì)算機(jī)上的運(yùn)行時(shí)間來(lái)衡量不同算法的計(jì)算量。每一個(gè)樣本點(diǎn)設(shè)置M=1 000來(lái)消除計(jì)算機(jī)運(yùn)行隨機(jī)因素的影響。從圖7可以看出，所提算法相對(duì)于SP算法和松弛算法減小了計(jì)算量。主要原因是所提算法避開(kāi)了求最小二乘解中矩陣求逆的問(wèn)題，在迭代次數(shù)增加的同時(shí)減少了每次迭代的運(yùn)算量。相對(duì)于松弛算法從第一個(gè)目標(biāo)逐漸增加估計(jì)的過(guò)程，本文所提算法直接從目標(biāo)個(gè)數(shù)開(kāi)始循環(huán)迭代，減少了迭代次數(shù)，降低了運(yùn)算量。

4" 結(jié)" 論

針對(duì)SP算法在多目標(biāo)DOA估計(jì)中原子間相互影響使測(cè)角精度降低的問(wèn)題，本文基于分離迭代的思想提出了RSP算法。首先，基于非線性方差準(zhǔn)則構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，得到原子初步估計(jì)值;然后，對(duì)原子反復(fù)分離迭代直到代價(jià)函數(shù)收斂，并進(jìn)行了計(jì)算量分析;最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。本文所提算法在多目標(biāo)DOA估計(jì)中不受目標(biāo)個(gè)數(shù)的影響，提高了測(cè)角精度;減小了目標(biāo)之間相位差的影響，穩(wěn)定性較好;改進(jìn)了SP算法在最小二乘解中矩陣求逆的復(fù)雜運(yùn)算，減少了每次迭代的計(jì)算量，相對(duì)于松弛算法減少了迭代次數(shù)，提高了收斂速率。

參考文獻(xiàn)

［1］ CHENG Z Y， LIAO B. QoS-aware hybrid beamforming and DOA estimation in multi-carrier dual-function radar-communication systems［J］. IEEE Journal on Selected Areas in Communications， 2022， 40（6）： 18901905.

［2］ CHEN P， YANG Z H， CHEN Z M， et al. Reconfigurable intelligent surface aided sparse DOA estimation method with non-ULA［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2021， 28： 20232027.

［3］ ABRAMOVICH Y I， SPENCER N K， GOROKHOV A Y. GLRT-based threshold detection-estimation performance improvement and application to uniform circular antenna arrays［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2006， 55（1）： 2031.

［4］ 張有侖. 壓縮感知中的貪婪類(lèi)重構(gòu)算法研究［D］. 北京： 北京理工大學(xué)， 2016.

ZHANG Y L. Research on greedy reconstruction algorithms for compressed sensing［D］. Beijing： Beijing Institute of Technology，2016.

［5］ VIBERG M， OTTERSTEN B. Sensor array processing based on subspace fitting［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 1991， 39（5）： 11101121.

［6］ DONG J Y， LYU W T， ZHOU D， et al. Variational Bayesian and generalized approximate message passing-based sparse Bayesian learning model for image reconstruction［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2022， 29： 23282332.

［7］ ZHOU J H， ZHANG B， ZENG S N. Consensus sparsity： multi-context sparse image representation via L∞-induced matrix variate［J］. IEEE Trans.on Image Processing， 2022， 32： 603616.

［8］ PANHUBER R. Fast， efficient， and viable compressed sensing， low-rank， and robust principle component analysis algorithms for radar signal processing［J］. Remote Sensing， 2023， 15（8）： 2216.

［9］ LIU S Y， WANG S， SHI T X， et al. Photonics-assisted compressed sensing radar receiver for frequency domain non-sparse signal sampling based on dictionary learning［J］. Optics Letters， 2023， 48（3）： 767770.

［10］ YONG J W， LI K X， FENG Z J， et al. Research on photon-integrated interferometric remote sensing image reconstruction based on compressed sensing［J］. Remote Sensing， 2023， 15（9）：2478.

［11］ ZHAO Y B， LUO Z Q. Improved RIP-based bounds for gua-ranteed performance of two compressed sensing algorithms［J］. Science China Mathematics， 2023， 66（5）： 11231140.

［12］ LI Y Y， GAO L， HU S G， et al. Nonlocal low-rank plus deep denoising prior for robust image compressed sensing reconstruction［J］. Expert Systems with Applications， 2023， 228： 120456.

［13］ LEITE W S， DE-LAMARE R C. List-based OMP and an enhanced model for DOA estimation with nonuniform arrays［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems， 2021， 57（6）： 44574464.

［14］ DONOHO D L， TSAIG Y， DRORI I， et al. Sparse solution of underdetermined systems of linear equations by stagewise orthogonal matching pursuit［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2012， 58（2）： 10941121.

［15］ NEEDELL D， TROPP J A. CoSaMP： iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples［J］. Applied and Computational Harmonic Analysis， 2009， 26（3）： 301321.

［16］ LI Q， ZHAO S， ZHAO S C， et al. Logistic regression mat-ching pursuit algorithm for text classification［J］. Knowledge-Based Systems， 2023， 277（9）： 110761.

［17］ HUANG H L， MAKUR A. Backtracking-based matching pursuit method for sparse signal reconstruction［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2011， 18（7）： 391394.

［18］ KWON S， WANG J， SHIM B. Multipath matching pursuit［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2014， 60（5）： 29863001.

［19］ LIU L F， DU X P， CHENG L Z. Stable signal recovery via randomly enhanced adaptive subspace pursuit method［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2013， 20（8）： 823826.

［20］ LI Y J， CHEN W D. A correlation coefficient sparsity adaptive matching pursuit algorithm［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2023， 30： 190194.

［21］ LI H F， WEN J M. A new analysis for support recovery with block orthogonal matching pursuit［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2018， 26（2）： 247251.

［22］ HAN N N， LI S D， LU J. Orthogonal subspace based fast ite-rative thresholding algorithms for joint sparsity recovery［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2021， 28： 13201324.

［23］ DAI W， MILENKOVIC O. Subspace pursuit for compressive sensing signal reconstruction［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2009， 55（5）： 22302249.

［24］ DONOHO D L， ELAD M. Optimally sparse" representation in general （nonorthogonal） dictionaries via l′ minimization［J］. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2003， 100（5）： 21972202.

［25］ CANDES E J， TAO T. Decoding by linear programming［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2005， 51（12）： 42034215.

［26］ DONOHO D L， HUO X. Uncertainty principles and ideal atomic decomposition［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2001， 47（7）： 28452862.

［27］ 劉寅. 基于稀疏信號(hào)重構(gòu)的空間譜估計(jì)算法研究［D］. 西安： 西安電子科技大學(xué)， 2012.

LIU Y. Research on algorithms of spatial spectrum estimation based on sparse signal reconstruction［D］. Xi’an： Xidian University， 2012.

［28］ LI J， STOICA P. Efficient mixed-spectrum estimation with applications to target feature extraction［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 1996， 44（2）： 281295.

［29］ 邵朝， 保錚. RELAX算法的相關(guān)域分析［J］. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 1997， 24（2）： 164171.

SHAO C， BAO Z. An analysis of the RELAX algorithm in correlation domain［J］. Journal of Xidian University， 1997， 24（2）： 164171.

［30］ SCHENCK D， MESTRE X， PESAVENTO M. Probability of resolution of partially relaxed deterministic maximum likelihood： an asymptotic approach［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2020， 69： 852866.

［31］ LI J， ZHENG D M， STOICA P. Angle and waveform estimation via RELAX［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems， 1997， 33（3）： 10771087.

［32］ TROPP J A. Greed is good： algorithmic results for sparse approximation［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2004， 50（10）： 22312242.

作者簡(jiǎn)介

曹若石（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閴嚎s感知、陣列信號(hào)處理。

趙永波（1972—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理、自適應(yīng)信號(hào)處理、MIMO雷達(dá)、雷達(dá)信號(hào)參數(shù)估計(jì)。

邱雨鋮（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理。