摘" 要：

為探究可偏轉(zhuǎn)尾翼對小型超空泡航行體運動狀態(tài)的影響，建立了具備尾翼控制功能的小型超空泡航行體非線性動力學(xué)模型，對航行體動力學(xué)系統(tǒng)進行仿真計算，根據(jù)Lyapunov指數(shù)譜和相軌圖對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行判定，運用非線性動力學(xué)方法，對不同尾翼反饋增益下的穩(wěn)定系統(tǒng)、周期振蕩系統(tǒng)以及混沌系統(tǒng)進行分析，得到了速度衰減情況下無動力小型超空泡航行體保持穩(wěn)定運動的反饋增益參數(shù)區(qū)間，結(jié)果表明，無動力小型超空泡航行體可以通過調(diào)整尾翼的反饋增益參數(shù)進行姿態(tài)控制并實現(xiàn)穩(wěn)定運動。

關(guān)鍵詞：

超空泡航行體; 尾翼控制; 非線性動力學(xué); 穩(wěn)定性

中圖分類號：

U 661.3

文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.27

Motion stability analysis of fin-controlled small supercavitating vehicle

YAN Ping1， LI Chaochang1，2，*

（1. College of Ordnance Engineering， Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China;

2. Technology Center， Wuhan Marine Machinery Plant Company Limited， Wuhan 430084， China）

Abstract：

In order to explore the influence of deflectable fin on the motion state of small supercavitating vehicle， a nonlinear dynamic model of small supercavitating vehicle with fin-controlled function is established. The dynamic system of the vehicle is calculated， and the stability of the system is judged by Lyapunov exponent spectrum and phase-orbit diagram. The stable system， periodic oscillation system， and chaotic system with different fin feedback gain are analyzed by nonlinear dynamic analysis method， and the feedback gain parameter interval of small non-power supercavitating vehicle maintaining stable motion under velocity attenuation is obtained. The results show that the unpowered small supercavitating vehicle can control its attitude and achieve stable motion by adjusting the feedback gain parameters of the fin.

Keywords：

supercavitating vehicle; fin-controlled; nonlinear dynamics; stability

0" 引" 言

超空泡射彈這類無動力小型超空泡航行體在水中運動時，大部分彈體處于空泡中，彈體所受摩擦阻力將大幅減小，可使其水下射程得到增加［13］。超空泡航行體在300～1 000 m/s航速下的運動穩(wěn)定模式主要是尾拍穩(wěn)定形式［4］，但由于水介質(zhì)的作用，超空泡航行體在尾拍時不斷受到較大強度的沖擊［57］，從而導(dǎo)致航行體難以維持長時間穩(wěn)定運動［89］。

針對超空泡航行體水中運動的水動力和系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，國內(nèi)外學(xué)者做了較多工作。Mokhtarzadeh［10］研究了不同空泡形態(tài)對航行器運動穩(wěn)定性的影響，通過對不同空化器航行器運動狀態(tài)進行計算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：空化器為圓盤狀的超空泡航行器最不容易失穩(wěn)。Nguyen等［1112］提出空泡延遲的物理基礎(chǔ)和航行體浸沒深度表達式，對延時非穩(wěn)態(tài)滑行系統(tǒng)進行了分析和仿真，結(jié)果表明：對于一定的空泡數(shù)，延時效應(yīng)是穩(wěn)定的。

Dzielski等［13］建立了包含非線性滑行力和尾翼控制的超空泡航行體動力學(xué)模型，計算發(fā)現(xiàn)：通過施加尾翼控制，可以實現(xiàn)超空泡航行體動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。Bai等［14］基于超空泡航行體簡化動力學(xué)模型，研究了時延超空泡航行體系統(tǒng)隨系統(tǒng)參數(shù)變化的非線性動力學(xué)行為，提出穩(wěn)定軌跡的控制策略，通過分析同參數(shù)值和初始條件下超空泡航行體的局部和全局穩(wěn)定性，對超空泡航行體系統(tǒng)的分岔、偏離行為和倍周期過程進行了討論，證明了通過選擇適當?shù)目刂茀?shù)可以對系統(tǒng)進行控制。Zhen等［15］基于水下縱向平面基本動力學(xué)方程，建立了高速超空泡魚雷的基準非線性動力學(xué)模型，分析了作用在空化器和鰭上的水動力和尾翼上的滑行力，計算了高速超空泡魚雷的具體參數(shù)，通過仿真分析了其縱向運動的穩(wěn)定性。Phuc等［1618］針對超空泡航行體對抗載荷變化、非線性滑行力和外部擾動問題，分析描述了系統(tǒng)呈現(xiàn)出的分岔行為，使用自適應(yīng)分數(shù)階滑?？刂破?，實現(xiàn)了外部擾動條件下超空泡航行體的有效控制，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了受控航行體的穩(wěn)定性。Han等［19］針對高速超空泡航行體時滯特性、刨削力的非線性、型腔半徑攝動和參數(shù)不確定性問題，建立了時滯線性變參數(shù)模型，設(shè)計了具有抗干擾性能的魯棒預(yù)測控制器，利用記憶狀態(tài)反饋解決了空化半徑攝動、控制約束、航行體參數(shù)不確定性和外部擾動等問題，仿真結(jié)果表明：該控制器對外部參數(shù)的擾動具有很強的魯棒性。Li等［20］針對超空泡航行體動力學(xué)系統(tǒng)多變量耦合的非線性問題，建立了一種不完全包封超空泡航行體的控制系統(tǒng)和動力學(xué)模型，通過數(shù)值仿真驗證了該控制方法的有效性。Shi等［21］應(yīng)用Lyapunov指數(shù)定量分析了非線性三自由度和五自由度航行體平面運動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用Lyapunov指數(shù)揭示和解釋了二自由度模型和高自由度模型的不同特征，驗證了用Lyapunov指數(shù)分析高自由度航行體模型穩(wěn)定性的可行性，補充完善了現(xiàn)有的定量分析結(jié)論。Zhao等［2223］針對超空泡航行體穩(wěn)定性差和強非線性動力學(xué)特性，提出一種滑?？刂破鳎捎眠吔缁？刂?，估計非線性滑行力的邊界，應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性定理證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，標稱不確定時滯系統(tǒng)跟蹤性能的仿真評估驗證了該控制方法的有效性。呂一品等［2426］針對超空泡航行體水中運動穩(wěn)定性問題，使用Lyapunov指數(shù)譜判定準則，對不同參數(shù)下的超空泡航行體動力學(xué)特性進行了計算與分析，采用相軌圖描述了航行體運動系統(tǒng)的瞬態(tài)混沌、穩(wěn)態(tài)周期等特殊運動狀態(tài)，分析了航行體水中運動的系統(tǒng)狀態(tài)隨參數(shù)的變化規(guī)律。

本文在小型超空泡航行體尾部添加可偏轉(zhuǎn)尾翼，建立具備尾翼控制功能的航行體動力學(xué)系統(tǒng)，通過選擇合適的反饋增益參數(shù)，可改善無動力小型超空泡航行體的水中運動穩(wěn)定性，進而增加航行體的有效射程。

1" 航行體非線性動力學(xué)模型

1.1" 超空泡航行體幾何模型

具備尾翼控制功能的小型超空泡航行體幾何模型如圖1所示。航行體總長度為L，其結(jié)構(gòu)由截錐段和圓柱段組成，二者通過螺紋連接;截錐段長度為L/3，頂部為圓盤形空化器，半徑為Rn;航行體為不銹鋼材料，半徑為R，長度為2L/3，重心距離頭部為17L/28。

對于超空泡航行體，其運動狀態(tài)需要考慮縱平面中的俯仰運動和水平面的偏航運動，因此設(shè)計了兩對尾翼進行航行體的姿態(tài)調(diào)整，采用雙通道控制方式，圖2為航行體尾部截面示意圖。

圖2中航行體為對稱分布，內(nèi)圓為航行體圓柱部分截面，外圓為空泡截面，四片尾翼與圓柱體相連，橫向分布的一對尾翼控制航行體的俯仰運動，縱向分布的一對尾翼控制航行體的偏航運動。俯仰、偏航和滾轉(zhuǎn)通道的穩(wěn)定性分析方法具有相似性，限于篇幅，本文僅針對航行體俯仰通道的運動穩(wěn)定性進行分析。

1.2" 超空泡航行體尾翼流體動力

尾翼受到的流體動力與尾翼浸水深度有關(guān)，將尾翼浸水深度與尾翼總長度的比值稱為尾翼效率，記為n，尾翼效率的計算公式［27］如下：

n=2Rc－R－R2c－Δ22（Rc－R）（1）

Δ=z+h1+h2－z－Lθ（2）

式中：Rc為空泡截面半徑;z為空化器中心的深度；R為航行體圓柱部分的半徑。

|z+h1+h2－z－Lθ|≥R2c－R2（3）

當航行體正好處于空泡內(nèi)部中心位置時，尾翼有1/2浸水，如圖2所示，此時尾翼效率n=0.5［28］。

尾翼的流體動力計算公式［10］如下：

Ffin=－n12πρR2nV2cxαf（4）

式中：Rn為空化器半徑；cx為陽力系數(shù)；ρ為流體密度；V為航行體與流體的相對運動速度；αf表示航行體速度方向與尾翼平面之間的夾角，其計算公式為

αf=wV+qLV+δe（5）

將式（1）代入式（4）中可以得到尾翼流體動力的計算公式：

Ffin=－12πρR2nV2cxαf2R2c－R－R2c－Δ22（Rc－R）（6）

1.3" 超空泡航行體縱平面運動模型

為建立合適的超空泡航行體縱平面運動模型，給出以下假設(shè)［2931］：

（1） 航行體為剛體且質(zhì)量不變，外形為回轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu);

（2） 不考慮地球曲率及地球自轉(zhuǎn)對航行體的運動軌跡的影響，將地面坐標系近似看做慣性坐標系;

（3） 不考慮隨機擾動因素對航行體運動的影響，將流體域看做理想流體域;

（4） 航行體水下水平發(fā)射，初始彈道傾角為零。

根據(jù)空泡模型和航行體流體動力模型，給出超空泡航行體縱平面運動模型：假設(shè)航行體前進速度V恒定，坐標系原點位于頂部空化器截面中心處，X軸方向沿航行體軸線由尾部指向頂部，Z軸方向垂直于X軸向下。模型的4個狀態(tài)參量分別為縱向位置（深度）z、縱向運動速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q;縱向運動速度w的方向與Z軸方向一致，垂直于航行體軸線。尾翼控制下的超空泡航行體縱平面運動模型如圖3所示。圖中Ffin為尾翼流體動力，F(xiàn)planing為滑行力，F(xiàn)gravity為航行體重力，F(xiàn)cavitator為空化器阻力。

supercavitating vehicle

參考Dzielski和Kurdila［13］的模型，建立具備尾翼控制功能的超空泡航行體縱平面運動的數(shù)學(xué)模型如下：

z·（t）

w·（t）

θ·（t）

q·（t）=01－V0

0a220a24

0001

0a420a44z（t）

w（t）

θ（t）

q（t）+

0

b21

0

b41δe+0

c2

0

0+0

d2

0

d4Fplaning（7）

式中：

a22=CVTm－1－nLS+1736nL

a24=VTSC－nm+79－VTC－nm+17361736L2

a42=CVTm1736－11n36

a44=－11CVTnL36m

b21=CV2Tnm－ST+17L36

b41=－11CV2Tn36m

c2=g

d2=Tm－17L36+SL

d4=11T36m

S=1160R2+133L2405

T=17S/9－289L2/1 296

C=0.5Cx0（1+σ）2RnR2

δe為尾翼偏轉(zhuǎn)角，尾翼控制律分別設(shè)置為δe=kzz、δe=kθθ和δe=kqq;kz為航行體縱向位置z（深度）的反饋增益參數(shù);kθ為俯仰角θ的反饋增益參數(shù);kq為俯仰角速度q的反饋增益參數(shù)，頂部空化器為固定圓盤空化器，不可偏轉(zhuǎn)。

本文中超空泡航行體模型相關(guān)參數(shù)的取值如表1所示。

2" 航行體非線性動力學(xué)仿真

令尾翼控制律分別為δe=kzz、δe=kθθ和δe=kqq，基于式（7）對航行體的運動過程進行計算，對不同的反饋增益參數(shù)和空化數(shù)下的系統(tǒng)，使用Lyapunov指數(shù)譜判定標準進行系統(tǒng)狀態(tài)判定，分析超空泡航行體的運動穩(wěn)定性。

2.1" Lyapunov指數(shù)譜判定標準

Lyapunov指數(shù)表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對于一個n維空間而言，其切空間的每一個分量都有一個Lyapunov指數(shù)，將這些Lyapunov指數(shù)按從大到小的順序排列起來，構(gòu)成的集合就稱為Lyapunov指數(shù)譜{L1，L2，…，Ln}。對于超空泡航行體水中運動過程而言，其動力學(xué)方程是四維的，包括縱向位置z、縱向運動速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q，因此得到系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜為{L1，L2，L3，L4}，這里L1gt;L2gt;L3gt;L4。

對于系統(tǒng)可能出現(xiàn)的非線性物理現(xiàn)象，采用如下方法進行判定［26］：

（1） 當L1gt;L2gt;0、L3=0、L4lt;0且L1+L2+L4lt;0時，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài);

（2） 當L1gt;0、L2=0、L3lt;L4lt;0且L1+L2+L4lt;0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);

（3） 當L1=0、L2lt;L3lt;L4lt;0，系統(tǒng)以周期軌道運行;

（4） 當L1=0、L2=0、L3lt;L4lt;0，系統(tǒng)以準周期軌道運行;

（5） 當L1lt;L2lt;L3lt;L4lt;0，系統(tǒng)的運動趨于一個有界點，處于穩(wěn)定運動狀態(tài)。

2.2" 反饋增益下的穩(wěn)定系統(tǒng)

基于式（7）所示的超空泡航行體運動模型，對航行體運動過程進行仿真計算。主要參數(shù)設(shè)置如下：航行體初始運動參數(shù)［zwθq］=［0000］，計算時間為2.5 s，計算時間步長Δt=0.000 1 s。

當尾翼控制律為δe=kzz時對航行體動力學(xué)模型進行計算，結(jié)果表明：當空化數(shù)σ=0.001 1、kz∈［30，59］時，超空泡航行體的動力學(xué)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

以kz=40、σ=0.001 1為例，對穩(wěn)定系統(tǒng)的相軌圖和Lyapunov指數(shù)譜進行計算，相關(guān)計算結(jié)果如圖4所示。

圖4（a）為kz=40，σ=0.001 1時，航行體運動的非線性動力學(xué)系統(tǒng)在w－θ平面上的投影。航行體的縱向運動速度w和俯仰角θ被吸引到平衡點上，重力的影響可以被尾翼的控制增益抵消，航行體可以達到穩(wěn)定運動狀態(tài)。圖4（b）為航行體運動系統(tǒng)隨時間的Lyapunov指數(shù)譜，在t=2.5 s時，由大到小的Lyapunov指數(shù)分別為L1=-25.69、L2=-29.36、L3=-121.29、L4=-467.95，所有Lyapunov指數(shù)均小于零，因此系統(tǒng)在kz=40，σ=0.001 1時是穩(wěn)定的。

圖5為kz=40，σ=0.001 1時的航行體尾部流體動力特性。圖5（a）為航行體尾部浸沒深度h隨時間變化曲線。航行體剛開始運動時，尾部浸沒深度在正負小范圍內(nèi)振蕩變化，在尾翼控制律的作用下很快趨于穩(wěn)定，在t=0.133 s時，航行體尾部的浸沒深度變?yōu)?，表明尾部圓柱體完全包裹在空泡內(nèi)部，部分浸水的尾翼通過調(diào)節(jié)偏轉(zhuǎn)角，與頂部空化器一起平衡航行體重力，使航行體運動的動力學(xué)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。圖5（b）為航行體尾部滑行力Fplaning隨時間的變化曲線，在系統(tǒng)運動的初始時刻，滑行力較大并且不斷振蕩，但振幅逐漸減小，在t=0.133 s時，尾部圓柱體完全處于空泡內(nèi)，滑行力Fplaning等于0，在尾翼控制下，航行體姿態(tài)保持不變，可以實現(xiàn)穩(wěn)定運動。

圖6為航行體運動參數(shù)z和θ的時域響應(yīng)。圖6（a）為縱向位移z隨時間的變化曲線，可以看出在初始時刻，航行體的深度有小幅度偏移振蕩，但在尾翼控制律的作用下迅速趨于穩(wěn)定。圖6（b）為縱向俯仰角θ隨時間的變化曲線，俯仰角同樣是在小幅度振蕩后趨于穩(wěn)定，表明系統(tǒng)參數(shù)kz=40、σ=0.001 1時，航行體可以實現(xiàn)穩(wěn)定運動。

2.3" 反饋增益下的周期振蕩系統(tǒng)

當尾翼控制律為δe=kθθ時，對航行體動力學(xué)模型進行計算，結(jié)果表明：當空化數(shù)σ=0.01，kθ∈［－14，－7］∪［5，52］時，超空泡航行體的動力學(xué)系統(tǒng)為周期振蕩狀態(tài)。

以kz=20，σ=0.01為例，對周期振蕩系統(tǒng)的相軌圖和Lyapunov指數(shù)譜進行計算，相關(guān)計算結(jié)果如圖7所示。

在圖7（a）中，系統(tǒng)的w－θ平面相軌圖形成了閉合的極限環(huán)，這標志著航行體的運動參數(shù)呈現(xiàn)出周期變化的規(guī)律;圖7（b）中的最大Lyapunov指數(shù)在0附近，也表明系統(tǒng)處于周期振蕩狀態(tài)。

圖8為kz=20、σ=0.01時的航行體尾部流體動力特性。圖8（a）描述了周期振蕩狀態(tài)下尾部浸水深度隨時間的變化情況，可以看出：尾部浸沒深度在1.44 cm，這種情況下尾翼可以充分浸水，尾翼控制效果增強，尾部滑行力也能夠充分發(fā)揮控制航行體姿態(tài)的作用。圖8（b）為周期振蕩狀態(tài)下尾部滑行力Fplaning隨時間的變化情況，可以看到滑行力在-83.5～83.5N之間振蕩，表明航行體此刻為雙側(cè)尾拍運動。

圖9為kz=20，σ=0.1時，系統(tǒng)參數(shù)z和θ的時域響應(yīng);在圖9（a）中，縱向位移z在-0.218～0.218 m之間振蕩;在圖9（b）中，俯仰角在-0.02～0.02 rad之間振蕩，這體現(xiàn)了雙側(cè)尾拍現(xiàn)象對航行體姿態(tài)的作用規(guī)律。

2.4" 反饋增益下的混沌系統(tǒng)

尾翼控制律為δe=kzz，對航行體動力學(xué)模型進行計算，結(jié)果表明：當空化數(shù)σ=0.01，kz∈［51，86］時，超空泡航行體的動力學(xué)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

以kz=80、σ=0.01為例，對混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜進行計算，結(jié)果如圖10所示。

圖10中的Lyapunov指數(shù)由大到小分別為L1=4.03、L2=-4.88、L3=-10.73、L4=-12.20，其最大Lyapunov指數(shù)為正值，表明在kz=80，σ=0.01時，此模型為四維混沌系統(tǒng)。

圖11為kz=80，σ=0.01時，動力學(xué)系統(tǒng)在w－θ和θ－q平面上的投影。

圖11（a）和圖11（b）表明：系統(tǒng)在w－θ和θ－q平面上的投影均為具有近似周期性的環(huán)狀曲線，相鄰軌道距離很近但并未重合，沒有形成閉合的周期性環(huán)曲線。形狀不規(guī)則且不閉合的曲線說明此時航行體的運動狀態(tài)具有復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為，系統(tǒng)臨界失穩(wěn)，運動狀態(tài)不可預(yù)測。

3" 不同反饋增益參數(shù)系統(tǒng)狀態(tài)分析

為計算無動力小型超空泡航行體速度衰減過程中的系統(tǒng)穩(wěn)定性，V分別取600 m/s、400 m/s和200 m/s 3種典型工況，對應(yīng)的空化數(shù)σ分別為0.001 1、0.002 5和0.01，在此基礎(chǔ)上對航行體運動過程進行計算。對于不同反饋增益參數(shù)下的系統(tǒng)，使用Lyapunov指數(shù)譜判定標準對其進行判定，反饋增益參數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)之間的對應(yīng)關(guān)系如表2～表4所示。

3.1" 深度反饋增益參數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)的影響

表2為深度反饋增益參數(shù)kz與系統(tǒng)狀態(tài)的對應(yīng)關(guān)系，尾翼控制律δe=kzz，kθ、kq均為0，kz∈［－60，100］取整數(shù)。

由表2可知：深度反饋增益參數(shù)kz在不同取值范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在4種狀態(tài)，分別是穩(wěn)定、周期振蕩、混沌以及發(fā)散。隨著航行體速度的降低，空化數(shù)逐漸增大，穩(wěn)定系統(tǒng)的深度反饋增益參數(shù)kz的取值區(qū)間變長。航行體速度V分別取600 m/s、400 m/s和200 m/s時，能夠使系統(tǒng)一直保持穩(wěn)定的深度反饋參數(shù)取值范圍為kz∈［30，59］，能夠使系統(tǒng)一直保持周期性振蕩的深度反饋參數(shù)取值范圍為kz∈［－26，－17］∪［12，25］。

3.2" 俯仰角反饋增益參數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)的影響

表3為俯仰角反饋增益參數(shù)kθ對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，尾翼控制律δe=kθθ，kz、kq均為0，kθ∈［－60，60］取整數(shù)。

由表3可知：俯仰角反饋增益參數(shù)kθ在不同取值范圍內(nèi)，航行體運動系統(tǒng)存在3種狀態(tài)，分別為穩(wěn)定、周期振蕩和發(fā)散。對比表2可知，俯仰角反饋增益參數(shù)kθ控制下的航行體運動系統(tǒng)未發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象，且穩(wěn)定系統(tǒng)下的kθ取值區(qū)間更短，這表明kθ對航行體運動系統(tǒng)的控制效果更弱。但是在V=200 m/s，σ=0.01時，系統(tǒng)周期振蕩的kθ取值范圍明顯增大，系統(tǒng)更容易產(chǎn)生周期振蕩現(xiàn)象，這表明：當航行體運動速度較低時，俯仰角反饋增益參數(shù)kθ的反饋效果將會增強。當航行體速度V分別取600 m/s、400 m/s和200 m/s時，固定的kθ不能使系統(tǒng)一直保持穩(wěn)定，只有在對應(yīng)的速度下不斷調(diào)整對應(yīng)的kθ才能使系統(tǒng)一直保持穩(wěn)定，而kθ∈［－14，－9］可以使系統(tǒng)一直保持周期性振蕩狀態(tài)。

3.3" 俯仰角速度的反饋增益參數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)的影響

表4為俯仰角速度的反饋增益參數(shù)kq對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，尾翼控制律δe=kqq，kz、kθ均為0，kq∈［－60，60］取整數(shù)。

由表4可知：俯仰角速度反饋增益參數(shù)kq在不同取值范圍內(nèi)，航行體運動系統(tǒng)同樣有3種狀態(tài)，分別為穩(wěn)定、周期振蕩和發(fā)散。對比表2，δq=kqq控制下的系統(tǒng)沒有發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象，且穩(wěn)定系統(tǒng)對應(yīng)的kq的取值區(qū)間較短，這表明kq對于保持系統(tǒng)穩(wěn)定的能力弱于kz。對于V分別取600 m/s、400 m/s和200 m/s的超空泡航行體，kq∈［16，23］時能夠使系統(tǒng)一直保持穩(wěn)定，kq∈［28，38］時能夠使系統(tǒng)一直處于周期性振蕩狀態(tài)。

4" 結(jié)" 論

本文建立了具備尾翼控制功能的無動力小型超空泡航行體非線性動力學(xué)模型，運用非線性動力學(xué)方法，對不同反饋增益參數(shù)下的航行體俯仰運動狀態(tài)進行分析，得到結(jié)論如下：

（1） 對于穩(wěn)定系統(tǒng)，航行體的縱向運動速度w和俯仰角θ被吸引到平衡點上，重力的影響可以被尾翼的控制增益抵消，解算得到的所有Lyapunov指數(shù)均小于零，航行體的動力學(xué)參數(shù)最初發(fā)生小幅度振蕩，隨后在尾翼控制律的作用下很快趨于穩(wěn)定。

（2） 對于周期振蕩系統(tǒng)，系統(tǒng)的w－θ平面相軌圖形成了閉合極限環(huán)，表明航行體運動參數(shù)呈現(xiàn)出周期變化的規(guī)律，最大Lyapunov指數(shù)在0附近。這一階段，航行體的尾翼和圓柱體部分都會浸水，在尾翼控制下，航行體動力學(xué)參數(shù)隨時間周期性變化，系統(tǒng)處于周期振蕩狀態(tài)。

（3） 對于混沌系統(tǒng)，其最大Lyapunov指數(shù)為正值，系統(tǒng)在w－θ和θ－q平面上的投影表現(xiàn)為不規(guī)則且不重合的曲線，說明此時航行體處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)。

（4） 對不同的深度反饋增益參數(shù)kz，系統(tǒng)存在穩(wěn)定、周期振蕩、混沌以及發(fā)散4種狀態(tài)。隨著航行體速度的降低，空化數(shù)逐漸增大，穩(wěn)定系統(tǒng)的深度反饋增益參數(shù)kz的取值區(qū)間變長。針對本文航行體模型，速度V分別取600 m/s、400 m/s和200 m/s 3種典型工況下，當kz∈［30，59］時，航行體動力學(xué)系統(tǒng)均處于穩(wěn)定狀態(tài)，當kz∈［－26，－17］∪［12，25］時，航行體動力學(xué)系統(tǒng)均處于周期振蕩狀態(tài)。

（5） 對不同的俯仰角反饋增益參數(shù)kθ，航行體運動系統(tǒng)存在3種狀態(tài)，分別為穩(wěn)定、周期振蕩和發(fā)散，未發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象。針對本文航行體模型，速度V分別取600 m/s、400 m/s和200 m/s 3種典型工況下，固定的kθ不能使系統(tǒng)一直保持穩(wěn)定，需要相應(yīng)調(diào)整kθ才能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定，而kθ∈［－14，－9］可以使系統(tǒng)均處于周期性振蕩狀態(tài)。

（6） 對不同的俯仰角速度反饋增益參數(shù)kq，系統(tǒng)存在3種狀態(tài)，分別為穩(wěn)定、周期振蕩和發(fā)散，未發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象。針對本文航行體模型，速度V分別取600 m/s、400 m/s和200 m/s 3種典型工況下，kq∈［16，23］時能夠使系統(tǒng)均處于穩(wěn)定狀態(tài)，kq∈［28，38］時能夠使系統(tǒng)均處于周期性振蕩狀態(tài)。

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作者簡介

嚴" 平（1972—），男，教授，博士，主要研究方向為彈藥毀傷與安全技術(shù)。

李超暢（1999—），男，助理工程師，碩士，主要研究方向為超空泡射彈技術(shù)。