摘" 要：

針對防空導(dǎo)彈的目標(biāo)機(jī)動性較強(qiáng)帶來的姿態(tài)控制品質(zhì)變差的問題，提出一種事件觸發(fā)控制方法。首先分析了由于目標(biāo)機(jī)動性過強(qiáng)導(dǎo)致的指令變化率未知，以及指令變化率過大導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差較大的原因。針對此問題引入非線性最速跟蹤微分器獲取指令變化率，研究指令變化率與姿態(tài)角誤差之間關(guān)系，定義穩(wěn)態(tài)效應(yīng)指標(biāo)，并在該指標(biāo)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于事件觸發(fā)的新增控制量。采用滑?？刂坪蛿_動觀測器使系統(tǒng)在指令變化率較大條件下的穩(wěn)態(tài)誤差被抑制在5%誤差帶之內(nèi)。在工程實(shí)踐的背景下，數(shù)值仿真考慮了氣動參數(shù)拉偏以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)限幅，仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)的有效性。

關(guān)鍵詞：

防空導(dǎo)彈; 姿態(tài)控制; 觸發(fā)控制; 微分器; 穩(wěn)態(tài)效應(yīng)指標(biāo)

中圖分類號：

V 448.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.28

Attitude control method of air defense missile based on large command change rate

YAN Shuaihao1，*， WEI Mingying1，2， ZHENG Yongbin1

（1. Beijing Institute of Electronic System Engineering， Beijing 100854， China;

2. Beijing Simulation Center， Beijing 100854， China）

Abstract：

Aiming at the problem of poor attitude control quality caused by strong target maneuverability of air defense missile， an event-triggered control method is proposed. Firstly， the unknown command change rate caused by the strong maneuverability of the target and the reason of the large steady-state error caused by the excessive command change rate are analyzed. To solve this problem， a nonlinear fastest tracking differentiator is introduced to obtain the command change rate， the relationship between the command change rate and the attitude angle error is studied， the steady-state effect index is defined， and the new event-based control quantity is designed based on this index. By using sliding mode control and disturbance observer， the steady-state error of the system is suppressed within 5% error band under the condition of higher command change rate. In the background of engineering practice， the numerical simulation takes into account the deviation of aerodynamic parameters and the limiting of actuator， and the simulation results verify the effectiveness of the designed control system.

Keywords：

air defense missile; attitude control; trigger control; differentiator; steady-state effect index

0" 引" 言

近年來，針對各式各樣的飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的學(xué)術(shù)研究層出不窮，如乘波體飛行器［13］、吸氣式高超聲速飛行器［4］、高超聲速巡航飛行器［5］和高超聲速變外形［6］等各類飛行器，這些研究都取得了豐碩的成果。為解決各類飛行器遇到的問題和挑戰(zhàn)提出了各種控制方法來增強(qiáng)控制系統(tǒng)的魯棒性，例如自適應(yīng)控制［78］、H∞控制［9］、模糊控制方法［10］和預(yù)設(shè)性能控制（prescribed porformance control， PPC）［1112］等。文獻(xiàn)［13］的被控對象為乘波體飛行器，所使用的控制方法為預(yù)設(shè)性能控制。文獻(xiàn)［1］提出有限時間PPC（finite-time PPC， FPPC），基于FPPC設(shè)計(jì)了無需近似估計(jì)的反步控制;文獻(xiàn)［2］在常規(guī)預(yù)設(shè)性能控制基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了具備自調(diào)整功能的新型性能函數(shù)，解決了誤差接近或越過PPC邊界而造成的控制奇異問題;文獻(xiàn)［3］解決了傳統(tǒng)PPC的控制輸入飽和問題。為解決文獻(xiàn)［7］由于高超聲速飛行器故障和執(zhí)行機(jī)構(gòu)滯環(huán)等帶來的模型不確定問題設(shè)計(jì)了高性能自適應(yīng)控制器。同理，文獻(xiàn)［8］針對參數(shù)不確定、非最小相位特性的柔性吸氣式高超聲速飛行器提出了魯棒自適應(yīng)控制方案，通過自適應(yīng)律更新系統(tǒng)的未知參數(shù)實(shí)現(xiàn)魯棒控制。文獻(xiàn)［9］詳述了為解決干擾和不確定性問題而提出的魯棒控制的發(fā)展歷程，最終提出一種多變量控制器和擾動觀測器方案。隨著魯棒控制發(fā)展，滑?？刂疲?316］愈發(fā)體現(xiàn)出其優(yōu)勢，有更強(qiáng)的魯棒性，而且具有快速響應(yīng)無需在線辨識，因此一度成為比較有效的選擇。觀測器也是魯棒控制較為重要的組成部分，文獻(xiàn)［17］提出能夠在時間序列展開中估計(jì)高階擾動的廣義擾動觀測器。文獻(xiàn)［18］進(jìn)一步提出一種結(jié)構(gòu)較為簡單的觀測器，其所需要的不確定性導(dǎo)數(shù)信息較少。文獻(xiàn)［19］為進(jìn)一步提高干擾估計(jì)精度使用了高階擾動觀測器。但是在文獻(xiàn)研究中這些飛行器的目標(biāo)多為固定建筑、艦船或車輛等，這類目標(biāo)機(jī)動性能較小，相較于飛行器的機(jī)動性目標(biāo)可視為靜止（體現(xiàn)在文獻(xiàn)中為其仿真的指令多為階躍信號，頻率較低的方波信號、正弦或余弦信號等），因此飛行器的彈道為已知（即使在末端突防時的彈道也已知），進(jìn)而飛行器的姿態(tài)角指令（攻角、側(cè)滑角、傾側(cè)角）和指令變化率都是已知的或是小量。而防空導(dǎo)彈則不同，防空導(dǎo)彈［20］相較于其他飛行器有明顯的特點(diǎn)，防空導(dǎo)彈的目標(biāo)多為機(jī)動性較強(qiáng)的飛行器，其彈道是由目標(biāo)的機(jī)動決定的，所以飛行器的指令變化率是未知的，而且又由于目標(biāo)機(jī)動性較強(qiáng)導(dǎo)致飛行器的指令變化率較大，指令變化率將不再是小量而無法忽略，和其他文獻(xiàn)中指令變化率為零或小量不同。在控制系統(tǒng)固有響應(yīng)特性下指令變化率過快會產(chǎn)生較大的穩(wěn)態(tài)誤差，傳統(tǒng)工程比例積分微分（proportion-integration-differentiation， PID）控制器設(shè)計(jì)時由于忽略指令變化率因此穩(wěn)態(tài)誤差較大，采用滑?？刂频认冗M(jìn)控制器時雖然考慮了指令變化率，最終的穩(wěn)態(tài)誤差有所減小，但依舊無法滿足對穩(wěn)態(tài)誤差的要求。

因此，在設(shè)計(jì)控制器時必須進(jìn)一步考慮其影響。針對上述問題，近年來出現(xiàn)了直接側(cè)向力氣動力復(fù)合控制［21］。文獻(xiàn)［2223］對直接力/氣動力復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析并建模，而后一些研究人員將滑模、動態(tài)逆、自抗擾和自適應(yīng)等方法與其結(jié)合設(shè)計(jì)復(fù)合控制方法［2425］。周波華［26］基于直接力氣動力各自特點(diǎn)提出指令分配的復(fù)合控制方案。但這也存在相應(yīng)問題，在飛行時直接力的開啟有一個臨界范圍，若復(fù)合控制時間不在這個區(qū)間內(nèi)不但會消耗較多燃料還對制導(dǎo)精度有所影響，而且其仿真使用的指令變化依舊不夠快，還不足以滿足飛行器的高機(jī)動性能。觸發(fā)控制最初被引入飛控系統(tǒng)主要是為了解決信息傳輸問題［27］，如數(shù)據(jù)傳輸效率、傳輸信道資源的占用和帶寬瓶頸等問題，隨著觸發(fā)控制的進(jìn)一步發(fā)展，又將其用來解決飛行器耦合、干擾和魯棒［2831］等問題。Guo等［28］為解決高超音速飛行器的狀態(tài)耦合問題，提出一類結(jié)合耦合分析的控制方案，基于Lyapunov函數(shù)定義耦合效應(yīng)指標(biāo)，將耦合效應(yīng)分為有害耦合效應(yīng)和有益耦合效應(yīng)，再結(jié)合觸發(fā)控制來去除有害耦合效應(yīng)，保留有益耦合效應(yīng)進(jìn)而提高跟蹤性能。文獻(xiàn)［29］通過干擾估計(jì)，定義了擾動效應(yīng)指標(biāo)并結(jié)合觸發(fā)控制設(shè)計(jì)了擾動觸發(fā)控制方案。文獻(xiàn)［30］將跟蹤性能與耦合效應(yīng)相聯(lián)系提出涉及性能的耦合效應(yīng)觸發(fā)魯棒控制。文獻(xiàn)［31］構(gòu)建了包含耦合效應(yīng)識別項(xiàng)的觸發(fā)魯棒控制解決魯棒和耦合問題。因此，在上述文獻(xiàn)啟發(fā)下針對采用傾斜轉(zhuǎn)彎（bank-to-turn， BTT）的飛行器提出在誤差系統(tǒng)下設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時給指令變化率添加比例增益再結(jié)合觸發(fā)控制器設(shè)計(jì)魯棒姿態(tài)控制方案，主要特點(diǎn)如下：

（1） 通過引入非線性最速跟蹤微分器（tracking diffe-rentiator， TD）［32］來解決指令變化率未知的問題，而且TD還可以進(jìn)行降噪進(jìn)一步提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性;

（2） 給指令變化率添加比例增益引入控制器中，定義了與穩(wěn)態(tài)誤差相關(guān)的穩(wěn)態(tài)效應(yīng)指標(biāo)，基于該指標(biāo)提出一種針對防空導(dǎo)彈姿態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)效應(yīng)觸發(fā)控制;采用滑?？刂茖⒎€(wěn)態(tài)誤差在有限時間內(nèi)控制在一定范圍內(nèi)，并引入擾動觀測器以提高控制精度。

1" BTT飛行器數(shù)學(xué)模型

飛行器姿態(tài)系統(tǒng)模型如下所示：

α·=wz－wxcos αtan β+wysin αtan β+

mgcos θcos γv－YmVcos β+Δ1

β·=wxsin α+wycos α+gcos θsin γvV+ZmV+Δ2

γ·v=（wxcos α－wysin α）sec β+Y（tan β+tan θsin γv）mV+Ztan θcos γvmV－gcos θtan βcos γvV+Δ3（1）

w·x=JyJxJy－J2xyMx+JxyJxJy－J2xyMy+Jxy（Jz－Jx－Jy）JxJy－J2xywxwz+Jy（Jy－Jz）+J2xyJxJy－J2xywywz+Δ4

w·y=JxyJxJy－J2xyMx+JxJxJy－J2xyMy－

Jx（Jx－Jz）+J2xyJxJy－J2xywxwz－Jxy（Jz－Jx－Jy）JxJy－J2xywywz+Δ5

w·z=1JzMz+JxyJz（w2x－w2y）－Jy－JxJzwxwy+Δ6（2）

式中：α，β，γv分別是攻角、側(cè)滑角和傾側(cè)角;wx，wy，wz分別是滾轉(zhuǎn)、偏航和俯仰角速度;θ為彈道傾角;V為速度;J為轉(zhuǎn)動慣量（飛行器為面對稱飛行器，因此Jxy≠0）;Δi（i=1，2，…，6）為擾動與被控對象的不確定性總和;Y，Z，Mx，My，Mz分別代表升力、側(cè)向力、滾轉(zhuǎn)力矩、偏航力矩和俯仰力矩，表達(dá)式如下：

Y=qScy=qS（c0y+cαyα+cδzyδz）

Z=qScz=qS（cβzβ+cδxzδx+cδyzδy）

Mx=mxqSL=（m0x+mβxβ+mδxxδx+mδyxδy+mδzxδz）qSL

My=myqSL=（mβyβ+mδxyδx+mδyyδy+mδzyδz）qSL

Mz=mzqSL=（m0z+mαzα+mδxzδx+mδzzδz）qSL （3）

式中：模型中力和力矩都有一定的擾動，所以c0y=cy0+cy0·Δf，cji=cji0+cji0Δf，mjk=Δf，Δmmjk0+mjk0Δm。Δf，Δm為小量分別代表力和力矩?cái)_動范圍;q為動壓;S為飛行器參考面積;L為參考長度;δx，δy，δz分別為滾轉(zhuǎn)、偏航和俯仰舵偏;c0y是升力系數(shù)的常數(shù)項(xiàng);cαy為升力對攻角的系數(shù)；

cβz為側(cè)向力對側(cè)滑角的系數(shù);cδzy為升力對俯仰舵的系數(shù);

cδxz，cδyz為側(cè)向力對滾轉(zhuǎn)舵和偏航舵的系數(shù);側(cè)向力對側(cè)滑角的系數(shù)；m0x，m0z為力矩系數(shù)的常數(shù)項(xiàng);mβx為滾轉(zhuǎn)力矩對側(cè)滑角的系數(shù);mβy為偏航力矩對側(cè)滑角的系數(shù)；mαz為俯仰力矩對攻角的系數(shù);mδji（i，j=x，y，z）為力矩對舵偏的系數(shù)。

令x1=［α，β，γv］T，x2=［wx，wy，wz］T，u=［δx，δy，δz］T，將式（3）代入式（1）和式（2），飛行器姿態(tài)系統(tǒng)模型可表示為

x·1=F11（x1）x2+F12（x1）+d1

x·2=F21（x1）x1+F22（x2）+b（x1）u+d2（4）

式中：

F11（x1）=－cos αtan βsin αtan β1

sin αcos α0

cos αsec β－sec βsin α0

F12（x1）=－qS（cy0+cαy0α）mVcos β+gcos θcos γvVcos β

qScβz0βmV+gcos θsin γvV

qS（cy0+cαy0α）（tan β+tan θsin γv）mV+

qScβz0βtan θcos γvmV－gcos θtan βcos γvV

F21（x1）=0qSL（Jymβx0+Jxymβy0）JxJy－J2xy0

0qSL（Jxymβx0+Jxmβy0）JxJy－J2xy0

qSLmαz0Jz00

F22（x2）=

Jxy（Jz－Jx－Jy）JxJy－J2xywxwz+Jy（Jy－Jz）+J2xyJxJy－J2xywywz

－Jx（Jx－Jz）－J2xyJxJy－J2xywxwz－Jxy（Jz－Jx－Jy）JxJy－J2xywywz

Jxy（w2x－w2y）Jz－Jy－JxJzwxwy

b（x1）=

qSL（Jymδxx+Jxymδxy0）JxJy－J2xyqSL（Jymδyx0+Jxymδyy0）JxJy－J2xyqSL（Jymδzx0+Jxymδzy0）JxJy－J2xy

qSL（Jxymδxx0+Jxmδxy0）JxJy－J2xyqSL（Jxymδyx0+Jxmδyy0）JxJy－J2xyqSL（Jxymδzx0+Jxmδzy0）JxJy－J2xy

qSLmδxz0Jz0qSLmδzz0Jz

d1=Δ1

Δ2

Δ3

d2=Jym0xqSLJxJy－J2xy+Δ4

Jxym0xqSLJxJy－J2xy+Δ5

m0zqSLJz+Δ6

Δ1

Δ2

Δ3=－qSΔf（cy0+cαy0α）mVcos β+Δ11

qSΔfcβz0βmV+Δ21

qSΔf（c0y0+cαy0α）（tan β+tan θsin γv）mV+

qSΔfcβz0βtan θcos γvmV+Δ31

Δ4

Δ5

Δ6=JyqSLΔmJxJy－J2xy（mβx0β+mδxx0δx+

mδyx0δy+mδzx0δz）+Δ41

JxyqSLΔmJxJy－J2xy（mβy0β+mδxy0δx+

mδyy0δy+mδzy0δz）+Δ51

m0zqSLΔmJz（mαz0α+mδxz0δx+

mδzz0δz）+Δ61

式中：Δi1（i=1，2，…，6）為外部擾動。而后，將式（4）轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)，指令xc=［αc，βc，γvc］T，設(shè)誤差狀態(tài)e1=x1－xc，e2=x2－x2d，xc為姿態(tài)角指令，x2d為虛擬輸入x2c的一階低通濾波的輸出，對其求導(dǎo)有：

e·1=F11（x1）x2+F12（x1）+d1－x·c

e·2=F21（x1）x1+F22（x2）+b（x1）u+d2－x·2c（5）

將式（5）進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

e·1=F11e2+F11x2d+F12+d1－x·c

e·2=F21e1+F21xc+F22+bu+d2－x·2c（6）

由式（6）可知設(shè)計(jì)控制器時需要已知指令變化率x·c。

本文的主要工作：

（1） 針對目標(biāo)特性提出一種近似方法近似代替控制器中用到的指令變化率;

（2） 提出一種控制方法以確保控制系統(tǒng)在指令變化率較大和存在未知擾動情況下，攻角α、側(cè)滑角β和傾側(cè)角γv能夠跟蹤姿態(tài)角指令αc，βc，γvc，且將穩(wěn)態(tài)誤差控制在5%的誤差帶以內(nèi)。

2" 指令變化率相關(guān)分析

2.1" 微分器設(shè)計(jì)

由式（6）可知，無論采用任何控制方法都需要已知指令變化率x·c，指令變化率為姿態(tài)角期望值對時間的導(dǎo)數(shù)而得到，即

α·c=dαcdt

β·c=dβcdt

γ·vc=dγvdt

這種表達(dá)直觀易理解，也被廣泛采用。但是根據(jù)函數(shù)f（t）在某一時刻的導(dǎo)數(shù)定義：

f·（t）=limΔt→0f（t+Δt）－f（t）Δt（7）

由于目標(biāo)的特殊性可知式（7）中的f（t+Δt）是未知的，而這正是指令變化率未知的原因。

為解決這一問題，引入非線性最速TD［32］：

f·1=f2

f·2=－r2sign（f1－v（t））|f1－v（t）|α－rf2（8）

式中：r為待設(shè)計(jì)參數(shù)；v（t）為輸入信號。狀態(tài)f1跟蹤輸入信號v（t），而f2=f·1可以視為輸入v（t）的近似微分，取不同的參數(shù)r，0lt;αlt;1跟蹤微分效果不同，通過選取合適的參數(shù)使通過TD獲得的微分與真實(shí)微分之間差值為小量，而且由TD的性質(zhì)可知其還包含降噪的作用。在本文中，飛行器的姿態(tài)角指令xc為輸入v（t），用f2近似作為姿態(tài)角的指令變化率x" ·c，再通過魯棒控制進(jìn)行穩(wěn)定控制。

x·c≈x·cT+ε，其中x·c為真實(shí)指令變化率，x·cT為xc通過TD獲得的近似指令變化率，ε為小量，此估計(jì)x·c≈x·cT+ε可以生效。

TD最初是用來從被噪聲污染的信號中合理提取微分信號，其所用的數(shù)據(jù)都是當(dāng)前以及過去時刻的數(shù)據(jù)，并未涉及未來時刻數(shù)據(jù)，因此避免了f（t+Δt）未知的問題，本文引入了非線性最速TD對姿態(tài)角指令進(jìn)行處理并獲得其近似指令變化率，通過魯棒控制，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

2.2" 指令變化率對穩(wěn)態(tài)誤差影響分析

為抑制指令變化率過大引起的穩(wěn)態(tài)誤差，借鑒近期針對耦合、干擾等項(xiàng)提出的耦合效應(yīng)觸發(fā)控制 （coupling effect-triggered control， CETC）［28，30］，干擾觸發(fā)控制［29］等觸發(fā)［6］控制方法的思想。針對指令變化率定義指標(biāo)，并結(jié)合觸發(fā)控制設(shè)計(jì)控制器，分析其對姿態(tài)模型的影響。

2.2.1" x·c對穩(wěn)態(tài)誤差影響分析

對于式（6）誤差系統(tǒng)按照理論設(shè)計(jì)控制器為

x2c=－F－111（F11e2+F12+d1－x·c+

K1e1）

u=－b－1（F21e1+F21xc+F22+d2

－x·2c+K2e2） （9）

式中：K1=diag（k1i），K2=diag（k2i）∈R3×3為待設(shè)計(jì)的正定參數(shù)。

控制器設(shè)計(jì)時按照分層設(shè)計(jì)如圖1所示。由圖1可知，系統(tǒng)首先通過模型式（1）和式（2）（t時刻）推導(dǎo)獲得式（6）誤差系統(tǒng)，再由誤差系統(tǒng)計(jì)算x2c（外環(huán)控制器），通過一階低通濾波后計(jì)算出內(nèi)環(huán)控制器u。在此過程中，存在τ時刻的延時，在將u帶入彈體模型（t+τ時刻）時，由于指令變化率過大，用于計(jì)算控制器的指令變化率x·c（t）與所帶入此刻彈體模型中的x·c（t+τ）不相同（后用x·c1表示），而是存在差值x·c1－x·c=ε。

將式（9）控制器代入式（6）中可得

e·1=x·c－x·c1－K1e1

e·2=－K2e2 （10）

取Lyapunov函數(shù)V=1/2 eT1e1，聯(lián)合式（6）和式（10）可得

V·=eT1（x·c－x·c1）－12K1eT1e1

當(dāng)指令變化率為小量時，彈體模型中的x·c1與控制器中的x·c相差較小，即x·c1－x·c≈0，V·=－K1eT1e1lt;0，系統(tǒng)最終穩(wěn)定。然而，本文所探討的指令變化率較大，這就導(dǎo)致當(dāng)存在延時時x·c1－x·c不再約等于0，而是x·c1－x·c=ε，則V·=eT1ε－K1eT1e1≤e1ε－λK1e12，引入楊氏不等式可得

V·≤e12+ε24－λK1e12=

－（λK1－1）e12+ε24≤－（λK1-1）V+ε24

式中：λK1=min{K1i}，i=1，2，3。因此，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論［33］可知，V在M={V/V≤（ε2）/（4λK1-1）}最終有界，但是由于ε較大，因此給系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差帶來較大影響，最終e1雖然有界，但穩(wěn)態(tài)誤差較大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了5%誤差帶。如圖2和圖3所示，用傳統(tǒng)的滑?？刂圃O(shè)計(jì)控制器最終的跟蹤效果（指令為攻角），可以看到穩(wěn)態(tài)誤差較大，已經(jīng)超出5%誤差帶。如果預(yù)采取提高系統(tǒng)增益加快響應(yīng)減小穩(wěn)態(tài)誤差的措施，系統(tǒng)反而發(fā)散。

2.2.2" 穩(wěn)態(tài)效應(yīng)指標(biāo)

針對上述分析，提出為控制器中x·c增加比例系數(shù)并結(jié)合穩(wěn)態(tài)效應(yīng)指標(biāo)設(shè)計(jì)觸發(fā)控制系統(tǒng)，首先以式（4）姿態(tài)角系統(tǒng)分析其對系統(tǒng)的影響，而后揭示指標(biāo)與Lyapunov穩(wěn)定性之間的聯(lián)系，以此解決穩(wěn)態(tài)誤差較大問題。

取Lyapunov函數(shù)：

V=12eT1e1

為控制器中x·c增加比例系數(shù)K，則虛擬控制取為

x2c=－F－111（F11e2+F12+d1－Kx·c1+K1e1）

式中：K=diag（k01，k02，k03）∈R3×3為比例系數(shù);K1為正定待設(shè)計(jì)矩陣。而指令變化率較大導(dǎo)致：

x·c1（t+τ）－x·c（t）≠0

由于延時時間τ較短，所以x·c1－x·c=ε，將虛擬控制帶入Lyapunov函數(shù)中得

V·=eT1（Kx·c1－x·c）－eT1K1e1=

eT1（K－I）x·c－eT1K1e1+eT1Kε

式中：－eT1K1e1lt;0。由于其延時時間較短，ε遠(yuǎn)小于x·c，相較而言V·中的eT1（K－I）x·c對V·有較大影響，因此需通過設(shè)計(jì)將eT1（K－I）x·clt;0，以保證最終的Lyapunov穩(wěn)定。

定義 1" 考慮式（4）姿態(tài)角系統(tǒng)，指標(biāo)定義為

J=sgn（e1）sgn（x·c）

式中：符號表示逐元素乘積;e1是姿態(tài)角誤差量;J∈R3×1。為確保V·中的eT1（K－I）x·clt;0，可設(shè)計(jì)比例參數(shù)K為如下形式：

k0i－1lt;0， Jigt;0

k0i－1gt;0， Jilt;0， i=1，2，3 （11）

此設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)含義為：通過定義指標(biāo)，設(shè)計(jì)參數(shù)K以保證V·中的eT1（K－I）x·clt;0，為后續(xù)證明系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定作鋪墊;其物理含義為：模型的指令變化率為x·c，當(dāng)x·cigt;0，e1i=x1i－xcigt;0時，Jigt;0，控制指令繼續(xù)增大，此時反饋輸出已經(jīng)大于指令。為了提高控制品質(zhì)，設(shè)計(jì)k0ilt;1使控制器中的k0ix·cilt;x·ci，減小控制器輸出，減緩系統(tǒng)響應(yīng)，使誤差趨于零。當(dāng)x·cigt;0，e1i=x1i－xcilt;0時Jilt;0，控制指令繼續(xù)增大，此時反饋輸出小于指令，系統(tǒng)跟蹤指令過慢，設(shè)計(jì)k0igt;1使控制器中的Kx·cgt;x·c，增加控制器輸出，加快系統(tǒng)響應(yīng)，使誤差趨于零。這里和文獻(xiàn)［28］不同的是，文獻(xiàn)［28］中定義的耦合或干擾效應(yīng)指標(biāo)分為有害或有利，在設(shè)計(jì)控制器時，有害時去除，有利時保留。而本文設(shè)計(jì)的指標(biāo)是為了設(shè)計(jì)比例參數(shù)。

定理 1" 對于定義1，下面關(guān)系恒成立：

eT1（K－I）x·clt;0（12）

證明" 由式（11）可知，由指標(biāo)J的取值設(shè)計(jì)K使得eT1·（K－I）x·clt;0恒成立。

證其穩(wěn)定性，取Lyapunov函數(shù)：

V=12eT1e1

加入比例系數(shù)的虛擬控制為

x2c=－F－111（F11e2+F12+d1－Kx·c1+K1e1）

代入誤差系統(tǒng)中得

V·=eT1（Kx·c1－x·c）－

eT1K1e1=

eT1（K－I）x·c－eT1K1e1+KeT1ε=

P1+P2

P1=eT1（K－I）x·c，P2=－K1eT1e1+KeT1ε

首先，對P1分析由定理1可知P1lt;0恒成立;

P2=－eT1K1e1+eT1Kε≤－λK1e12+λKe1ε≤

－λK1e12+λK（e12+ε24）≤

－（λK1－λK）e12+λKε24

≤－λV+λKε24

式中：K∈R3×3為通過指標(biāo)所設(shè)計(jì)的比例參數(shù);λK1=min（K1i），λK=min（K0i），λ=min{λK1－λK}。因此，可對比例參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)：當(dāng)k0ilt;1時取k0ilt;0，以此保證當(dāng)k0ilt;1時V·lt;0，則e1收斂;當(dāng)k0igt;1時取1lt;k0ilt;1.5，以此保證當(dāng)k0igt;1時V·lt;－λV+λKε/4，則在M={V/V≤λKε/（4λ）}有界，而且k0i雖然大于1但并未大很多。因此，可得Jilt;0時，取k0ilt;0使得V·lt;0，則系統(tǒng)收斂;Jigt;0時，取1lt;k0ilt;1.5使得V·lt;－λV+λKε/4，則系統(tǒng)有界，即e1一段時間收斂一段時間有界，最終使e1控制在5%誤差帶中達(dá)到控制目的。

證畢

3" 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

由于目標(biāo)的快速機(jī)動特性，防空彈主要特征之一就是快速響應(yīng)和較大的過載，除目標(biāo)機(jī)動性強(qiáng)帶來的穩(wěn)態(tài)誤差較大的問題，而且大過載會導(dǎo)致攻角在短時間內(nèi)快速增加，大攻角會導(dǎo)致氣動力矩變大，而且氣動力矩變化斜率將不再是線性的而是非線性。另外，氣動參數(shù)具有較大的不確定性，這就要求設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)，不僅要保持良好的動態(tài)性能和將穩(wěn)態(tài)誤差控制在5%誤差帶，而且能夠具有適應(yīng)不確定性（既有外部擾動也有模型的不確定性）的強(qiáng)魯棒性。因此，引入了干擾觀測器綜合設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。

3.1" 干擾觀測器設(shè)計(jì)

令ξ=［xT1，xT2］T，D=［DTF，DTM］T=［d11，d12，d13，d21，d22，d23］T，式（4）轉(zhuǎn)化為

ξ·=Aξ（ξ）+Bξu+D（13）

式中：Aξ（ξ）=F11x2+F12

F21x1+F22∈R6×1，Bξ=0

b，其中F11，F(xiàn)12，F(xiàn)21，F(xiàn)22，b，0∈R3×3為式（4）中的F11（x1），F(xiàn)12（x1），F(xiàn)21（x1），F(xiàn)22（x2），b（x1）。

引入如下擾動觀測器來增強(qiáng)控制系統(tǒng)的魯棒性：

z·=Aξ（ξ）+Bξu+D^（14）

D^=－∑rk=0mkck，ck=z－ξ， k=0

∫t0ck－1dτ， k≥1 （15）

式中：z∈R6×1為觀測器狀態(tài);D^=［D^1，D^2，D^3，D^4，D^5，D^6］T為擾動D的估計(jì)值;mk∈R6×6是待設(shè)計(jì)參數(shù)。為解釋設(shè)計(jì)觀測器的基本原理，將估計(jì)量D^1表示為

D^1=－∑rk=0m1，kc1，k，c1，k=z1－ξ1， k=0

∫t0c1，k－1dτ， k≥1（16）

假設(shè) 1" 干擾D1和其r+1階導(dǎo)數(shù)都是有界的，其中|D（i）1|≤δ（i=0，1，…，r+1），δ為正常數(shù)。

引理 1" 對于姿態(tài)系統(tǒng)式（4），若假設(shè)1成立，將觀測器設(shè)計(jì)為式（14），參數(shù)m1，k為m1，k=Ck+1r+1Λk+1，其中Λgt;1，Cj+1r+1=（r+1）?。╦+1）?。╮－j）！。

則估計(jì)誤差最終可收斂到如下區(qū)域：

limt→∞|D^1－D1|≤δΛr+1（17）

證明可見文獻(xiàn)［19］。

3.2" 控制器設(shè)計(jì)

干擾觀測器式（13）給出了不確定性的估計(jì)值D=［DTF，DTM］T，然后考慮姿態(tài)誤差系統(tǒng)及上述分析設(shè)計(jì)控制器。

給出姿態(tài)控制系統(tǒng)的控制器并對其穩(wěn)定性進(jìn)行分析，首先需要做一些準(zhǔn)備工作。本文設(shè)計(jì)的被控對象是面對稱飛行器，在飛行軌跡中保持側(cè)滑角為零，而det（F11（x1））=－sec β，因此det（F11）≠0其是可逆的，通過氣動系數(shù)可知輸入系數(shù)b也是非奇異的。

選擇姿態(tài)角系統(tǒng)式（4）中式（1）滑模面［33］為

S1=e1+∫t0（M1e1+C1）dτ

C·1=N1sign（e1） （18）

式中：M1=diag（m11，m12，m13）

N1=diag（n11，n12，n13） 為正的待設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣;

e1=［|e11|12sign（e11），|e12|12sign（e12），|e13|12sign（e13）］T。

式（18）采用了超扭矩算法［3435］，當(dāng)S1進(jìn)入有界區(qū)域，狀態(tài)e1到達(dá)原點(diǎn)。

由此內(nèi)環(huán)虛擬控制器為

x2c=－F－111（F11e2+F12+D⌒F－Kx·c+

M1e1+C1+K1S1）（19）

式中：K1=diag（k11，k12，k13） （k1igt;0，i=1，2，3）為增益陣。

同理，式（4）姿態(tài)角系統(tǒng)中式（2）的滑模面為

S2=e2+∫t0（M2e2+C2）dτ

C·2=N2sign（e2） （20）

式中：M2=diag（m21，m22，m23）

N2=diag（n21，n22，n23） 為正的待設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣;

e2=［|e21|12sign（e21），|e22|12sign（e22），|e23|12sign（e23）］T

一階低通濾波器x2d取為

x·2d=－τx2d+τx2c，x2c（0）=x2d（0）（21）

式中：τ=diag（τ1，τ2，τ3）（τigt;0，i=1，2，3）;K2=diag（k21，k22，k23）（k2igt;0，i=1，2，3）。

控制器為

u=－b－1（F21e1+F21xc+F22+D⌒M－x·2c+

M2e2+C2+K2S2）（22）

式中：D^F，D^M由定理1獲取，比例參數(shù)K=diag（k01，k02，k03）。整體控制方案如圖4所示。由圖4可得，通過姿態(tài)角誤差和指令變化率組成的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的符號來進(jìn)一步指導(dǎo)控制器中的控制參數(shù)設(shè)計(jì)：當(dāng)Jigt;0時，控制指令繼續(xù)增大，此時反饋輸出已經(jīng)大于指令，設(shè)計(jì)K0ilt;1使控制器中的K0ix·cilt;x·ci，減小控制器輸出，減緩系統(tǒng)響應(yīng);當(dāng)Jilt;0時，控制指令繼續(xù)增大，此時反饋輸出小于指令，系統(tǒng)跟蹤指令過慢，設(shè)計(jì)K0igt;1使控制器中的K0ix·cigt;x·ci，增加控制器輸出，加快系統(tǒng)響應(yīng)，減小姿態(tài)角誤差。其本質(zhì)是根據(jù)指令的變化率和控制品質(zhì)要求，提前給出需要的控制量，改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。

本文主要針對防空導(dǎo)彈目標(biāo)的特殊性設(shè)計(jì)控制器，主要解決了：① 指令變化率未知;② 指令變化率過大導(dǎo)致的穩(wěn)態(tài)誤差較大的問題。

系統(tǒng)穩(wěn)定性證明：

取Lyapunov函數(shù)為V=1/2 （ST1S1+ST2S2），由式（16）～式（21）對V求導(dǎo)可得

V·=ST1S·1+ST2S·2=

ST1（Kx·c1－x·c）－ST1K1S1－

ST1d～1－ST2d～2－ST2K2S2=

ST1（K－I）x·c－ST1K1S1+

ST1Kε－ST1d～1－ST2d～2－ST2K2S2

=P1+P2+P3（23）

式中：

P1=ST1（K－I）x·c

P2=－ST1K1S1+ST1Kε

P3=－ST1d～1－ST2d～2－ST2K2S2（24）

首先對P2部分分析可有：

P2=－ST1K1S1+ST1Kε≤－λK1S12+λKS1ε，由楊氏不等式可有：S1ε≤S12+14ε。

P2≤－λK1S12+λKS1ε

≤－λK1S12+

λK（S12+14ε2）=

－（λK1－λK）S12+K4ε2（25）

對P3部分分析可有：

P3≤S12+14d～12+S22+14d～22

－λK2S22（26）

由引理1可知：

P1=ST1（K－I）x·clt;0（27）

由式（23）～式（27）可知：

V·=P1+P2+P3≤-（λK1-λK）S12+λK4ε2+

S12+14d～12+S22+14d～22-λK2S22=

-（λK1-λK-1）S12-（λK2-1）S22+

（d～21+d～22+λKΔ2）4=

-λV+（d～21+d～22+λKΔ2）4（28）

式中：

λK1=min（k1i）;λK=min（k0i）;λK2=min（k2i）;

λ=min{λK1－λK－1，λK2－1}。因此，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定定理［35］可知V是最終有界的。

4" 仿真研究

4.1" 結(jié)果分析

在本節(jié)中，進(jìn)行了數(shù)值仿真來驗(yàn)證所提出的控制方法的有效性，飛行器的指令和控制參數(shù)都在表1中給出。執(zhí)行機(jī)構(gòu)的幅值約束為-25°≤δx，δy，δz≤25°，將干擾定義為

d11=0.05sin（2πt）

d12=0.001sin（πt）

d13=0.05cos（πt）

d21=0.5+0.5sin（2πt）

d12=0.1+0.01sin（πt）

d13=0.5+0.5cos（πt）

將各項(xiàng)參數(shù)確定后進(jìn)行仿真校驗(yàn)結(jié)果如圖5～圖9所示。圖5表示三通道最終的跟蹤結(jié)果，可看出攻角α、側(cè)滑角β和傾側(cè)角γv能夠快速、精確跟蹤指令。圖6為干擾估計(jì)，可以看出干擾估計(jì)能夠較快跟蹤上真值。圖7表示俯仰通道的跟蹤誤差和執(zhí)行機(jī)構(gòu)曲線，可以看出，在指令變化率較大時最終的穩(wěn)態(tài)誤差抑制在5%誤差帶中。所提出的控制方法本質(zhì)是根據(jù)指令的變化率和控制品質(zhì)要求，提前給出需要的控制量，在目標(biāo)機(jī)動性較強(qiáng)而且存在外部干擾情況下不僅能提高穩(wěn)定性，還能實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤性能。不可避免的是會引起執(zhí)行機(jī)構(gòu)局部跳變，其原因是穩(wěn)態(tài)效應(yīng)指標(biāo)極性變化帶來的設(shè)計(jì)增益K的變化。圖10為所設(shè)計(jì)最速TD獲得指令變化率的效果，可以看出，最終通過微分器獲得的近似值與實(shí)際值之差為小量。

4.2" 氣動拉偏

為檢驗(yàn)控制律，將氣動拉偏也考慮進(jìn)去，拉偏范圍設(shè)定為±20%。仿真結(jié)果如圖11～圖13所示。

由圖11～圖13可以看出，在正負(fù)拉偏情況下能跟蹤指令信號，而且誤差抑制在5%誤差帶內(nèi)，這說明所設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制器能夠適應(yīng)氣動系數(shù)的不確定性變化，有較強(qiáng)的魯棒性。

5" 結(jié)" 論

本文討論了防空導(dǎo)彈由于目標(biāo)機(jī)動性過強(qiáng)導(dǎo)致的指令變化率未知，以及指令變化率過大導(dǎo)致的穩(wěn)態(tài)誤差較大的問題，研究了一種基于指令變化率下的高品質(zhì)姿態(tài)控制方法。針對此問題引入了非線性最速TD獲取指令變化率，并基于指令變化率和姿態(tài)誤差物理量，定義了穩(wěn)態(tài)效應(yīng)指標(biāo)，結(jié)合觸發(fā)控制提前給出需要的控制量，改變控制器中控制參數(shù)，提高了系統(tǒng)穩(wěn)定性，而且使穩(wěn)態(tài)誤差抑制在5%誤差帶之內(nèi)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的控制品質(zhì)。

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作者簡介

閆帥豪（1998—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行器穩(wěn)定控制方法。

魏明英（1966—），女，研究員，碩士，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)和制導(dǎo)控制。

鄭勇斌（1978—），男，研究員，碩士，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)和控制。