摘 要：

由于逆變器非線性因素、電流測(cè)量誤差等非理想因素，傳統(tǒng)的磁鏈觀測(cè)器會(huì)受到直流分量以及諧波分量的影響，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)準(zhǔn)確度降低。將具有通頻帶最大限度平坦特性的巴特沃斯帶通濾波器與純積分器相結(jié)合構(gòu)建出一種改進(jìn)的磁鏈觀測(cè)器，并對(duì)改進(jìn)的磁鏈觀測(cè)器的傳遞函數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，然后設(shè)計(jì)出一種離散化結(jié)構(gòu)以便進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器具有出色的消除直流分量以及抑制諧波分量能力，不會(huì)造成基波處的幅值衰減以及相位誤差，提高了永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制的轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)準(zhǔn)確度，同時(shí)具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

關(guān)鍵詞：永磁同步電機(jī)；無(wú)位置傳感器控制；巴特沃斯帶通濾波器；磁鏈觀測(cè)器

DOI：10.15938/j.emc.2024.09.006

中圖分類號(hào)：TM351

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-449X（2024）09-0060-10

收稿日期： 2023-12-13

基金項(xiàng)目：湖南省自然科學(xué)基金（2023JJ30133）

作者簡(jiǎn)介：駱正紅（2000—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)橛来磐诫姍C(jī)控制；

胡亞山（1982—），男，博士，副教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡姍C(jī)驅(qū)動(dòng)及其控制。

通信作者：胡亞山

Improved flux observer based on Butterworth filter for sensorless control of permanent magnet synchronous motor

LUO Zhenghong， HU Yashan

（College of Electrical and Information Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China）

Abstract：

The conventional rotor flux observer is affected by the DC offset and harmonics of the back electromotive force caused by non-ideal conditions such as inverter nonlinearity and current measurement errors， which leads to a decrease in the accuracy of rotor position estimation. An improved flux observer was proposed by combining the Butterworth bandpass filter with the maximum flatness of the passband and the pure integrator， the transfer function of the proposed observer was analyzed theoretically， and its discretized structure was designed for experiments. The results show that the proposed observer has an excellent ability to eliminate the DC offset and suppress harmonics， and then extracts the fundamental flux without amplitude attenuation and phase shift， which improves accuracy of rotor position estimation for permanent magnet synchronous motor and has good dynamic performance.

Keywords：permanent magnet synchronous motor; sensorless control; Butterworth bandpass filter; flux observer

0 引 言

永磁同步電機(jī)因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)行效率高、功率密度大等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于航空航天、數(shù)控機(jī)床、新能源汽車等領(lǐng)域［1-3］。永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)需要實(shí)時(shí)獲取轉(zhuǎn)子位置信息，傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)子位置信息獲取方案是在電機(jī)上安裝位置傳感器。然而位置傳感器的使用不僅增加了系統(tǒng)體積和成本，同時(shí)還存在安裝維護(hù)困難、連接線路復(fù)雜、易受干擾等問(wèn)題，降低了系統(tǒng)的可靠性。為了節(jié)省成本，提高系統(tǒng)的可靠性，永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制技術(shù)在近年來(lái)得到了廣泛研究［4］。

永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器技術(shù)主要包括基于電機(jī)凸極性的高頻注入法［5-6］以及基于電機(jī)基波模型的反電勢(shì)法［7-9］和磁鏈觀測(cè)法［11-16］。其中，高頻注入法主要應(yīng)用在零低速域，反電勢(shì)法和磁鏈觀測(cè)法主要應(yīng)用在中高速域。在傳統(tǒng)的磁鏈觀測(cè)法［11-16］中，首先通過(guò)電壓模型計(jì)算反電動(dòng)勢(shì)，然后對(duì)反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行積分得到轉(zhuǎn)子磁鏈，進(jìn)而得到轉(zhuǎn)子位置信息。然而計(jì)算出的反電動(dòng)勢(shì)容易受到逆變器非線性因素、電機(jī)磁場(chǎng)空間諧波、電流測(cè)量誤差等因素影響，導(dǎo)致計(jì)算出的反電動(dòng)勢(shì)中存在直流分量以及諧波分量［10］。因此，傳統(tǒng)的由純積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器會(huì)產(chǎn)生未知積分初值、零漂以及積分器飽和等問(wèn)題，從而導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確地觀測(cè)出轉(zhuǎn)子磁鏈。

在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用低通濾波器代替純積分器來(lái)解決零漂和積分器飽和引起的問(wèn)題，然而引入低通濾波器會(huì)導(dǎo)致基波幅值衰減以及相位誤差，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差。大量學(xué)者研究了針對(duì)低通濾波器的補(bǔ)償策略，文獻(xiàn)［11］提出一種可編程的低通濾波器，避免了幅值衰減以及相位誤差，然而該方法需要通過(guò)除以電機(jī)角頻率的方式來(lái)修正磁鏈幅值，導(dǎo)致該方法的精度高度依賴于速度的估計(jì)精度，同時(shí)可能會(huì)造成低速范圍內(nèi)的不穩(wěn)定。文獻(xiàn)［12］提出一種級(jí)聯(lián)高通濾波器、積分器、低通濾波器的磁鏈觀測(cè)器，該方法的信號(hào)處理過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，并且只能在一定程度上減小低通濾波器導(dǎo)致的幅值衰減以及相位誤差。

除了改進(jìn)低通濾波器之外，自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)姆椒ㄒ驳玫搅舜罅康难芯?。文獻(xiàn)［13］提出一種具有自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)拇沛溣^測(cè)器，采用PI調(diào)節(jié)器將觀測(cè)出的磁鏈中的直流分量以及諧波分量反饋到磁鏈觀測(cè)器的輸入端，以達(dá)到抑制直流分量以及諧波分量的目的，然而該方法無(wú)法有效權(quán)衡諧波抑制能力和動(dòng)態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)［14］提出一種基于PI調(diào)節(jié)器的相位自整定的磁鏈觀測(cè)器，該文章主要考慮了參數(shù)失配情況下的相位補(bǔ)償，沒(méi)有考慮直流分量和諧波分量的影響。

溫度升高以及AD采樣校正不準(zhǔn)確等問(wèn)題引起的電流測(cè)量誤差會(huì)導(dǎo)致采樣電流中出現(xiàn)直流分量［15］。同時(shí)，采樣電流中的直流分量經(jīng)過(guò)矢量控制和死區(qū)補(bǔ)償后會(huì)導(dǎo)致逆變器的指令電壓中出現(xiàn)相應(yīng)的直流分量［16］。逆變器非線性因素、電機(jī)磁場(chǎng)空間諧波等因素會(huì)導(dǎo)致電流以及電壓中出現(xiàn)高次諧波，尤其是五、七次諧波。電流電壓中存在的直流分量以及諧波分量會(huì)嚴(yán)重影響到磁鏈觀測(cè)器的轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)準(zhǔn)確度。針對(duì)直流分量和諧波分量的影響，目前的大量研究轉(zhuǎn)向了同時(shí)具有抑制直流分量和諧波分量功能的磁鏈觀測(cè)器，文獻(xiàn)［17］和文獻(xiàn)［18］提出了用二階廣義積分器（second-order generalized integrator，SOGI）來(lái)估計(jì)轉(zhuǎn)子磁鏈，文獻(xiàn)［19］提出一種頻率自適應(yīng)的轉(zhuǎn)子磁鏈觀測(cè)器。這些觀測(cè)器具有較好地抑制諧波分量的效果和一定程度上抑制直流分量的能力，然而，這些方法并不能完全消除直流分量的影響。

為了進(jìn)一步提高磁鏈觀測(cè)器對(duì)直流分量以及諧波分量的抗干擾能力，本文采用具有通頻帶最大限度平坦特性的巴特沃斯帶通濾波器與積分器結(jié)合構(gòu)建出改進(jìn)的磁鏈觀測(cè)器，具有頻率自適應(yīng)的效果，可以實(shí)現(xiàn)完全消除直流分量，抑制諧波分量的同時(shí)提取出基波磁鏈，不會(huì)產(chǎn)生幅值衰減以及相位誤差。

本文對(duì)提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的傳遞函數(shù)進(jìn)行詳細(xì)的理論分析，并且提出改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的離散化結(jié)構(gòu)，最終在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的磁鏈觀測(cè)器具有良好地消除直流分量以及抑制諧波分量的能力，可以提高永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制的轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)準(zhǔn)確度，同時(shí)具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

1 傳統(tǒng)的磁鏈觀測(cè)器

對(duì)于內(nèi)置式永磁同步電機(jī)，采用有效磁鏈模型［20］，則αβ軸的電壓方程可表示為

uαβ=Riαβ+pLqiαβ+pψat。（1）

式中：uαβ=［uα uβ］T表示αβ軸的定子電壓矢量；iαβ=［iα iβ］T表示αβ軸的定子電流矢量；p表示微分算子；R表示定子電阻；Lq表示q軸電感；ψat=［ψat_α" ψat_β］T定義為αβ軸的有效磁鏈?zhǔn)噶?，可表示?/p>

ψat=［ψf+（Ld－Lq）id］cosθesinθe。（2）

式中：ψf表示永磁體磁鏈；Ld表示d軸電感；id表示d軸定子電流；θe表示轉(zhuǎn)子電角度。

根據(jù)式（2）可知，只要觀測(cè)出αβ軸的有效磁鏈?zhǔn)噶?，即可得到轉(zhuǎn)子位置信息。

式（1）可以改寫成

ψat=∫（uαβ－Riαβ－pLqiαβ）dt=∫eatdt。（3）

式中eat=［eat_α" eat_β］T，定義為αβ軸的有效反電動(dòng)勢(shì)矢量。

根據(jù)式（3）可知，對(duì)計(jì)算出的有效反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行積分即可得到有效磁鏈。然而，由于各種非理想條件的存在，比如：電流采樣誤差、逆變器非線性因素、電機(jī)磁場(chǎng)空間諧波等，最終會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出的有效反電動(dòng)勢(shì)中除了基波分量還存在直流分量以及諧波分量［15-16］。因此，以β軸為例，計(jì)算出的有效反電動(dòng)勢(shì)可以表示為

eat_β=E0+E1sin（ω1t+φ1）+∑∞n=2Ensin（ωnt+φn）。（4）

式中：n表示諧波分量的階數(shù)；E0、E1、En、φ1、φn分別表示β軸的有效反電動(dòng)勢(shì)的直流分量的幅值、基波分量以及諧波分量的幅值和初始相位角；ω1、ωn分別表示基波分量以及諧波分量的電角頻率，滿足ωn=nω1。

將式（4）進(jìn)行拉普拉斯變換即可得到s域中β軸的有效反電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為

Eat_β（s）=E0s+E1ssinφ1+ω1cosφ1s2+ω21+

∑∞n=2Enssinφn+ωncosφns2+ω2n。（5）

式中s表示拉普拉斯算子。

傳統(tǒng)的磁鏈觀測(cè)器采用純積分器的形式，將計(jì)算出的有效反電動(dòng)勢(shì)通過(guò)一個(gè)純積分器得到有效磁鏈。顯然，這種磁鏈觀測(cè)器同時(shí)對(duì)有效反電動(dòng)勢(shì)中多余的直流分量以及諧波分量進(jìn)行了積分，會(huì)導(dǎo)致觀測(cè)出的有效磁鏈中同樣存在直流分量以及諧波分量，進(jìn)而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)不準(zhǔn)的問(wèn)題。因此，在此基礎(chǔ)上存在兩種普遍的改進(jìn)，一種是將純積分器改為一階低通濾波器，另一種是將純積分器改為二階廣義積分器。下面對(duì)典型的幾種磁鏈觀測(cè)器分別進(jìn)行分析。

1.1 純積分器

由純積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器可以描述為

ψat_I（s）=1sEat（s）。（6）

式中：ψat_I（s）=［ψat_Iα（s） ψat_Iβ（s）］T表示純積分器觀測(cè)出的有效磁鏈?zhǔn)噶康睦绽棺儞Q形式；Eat（s）表示eat的拉普拉斯變換形式。

以β軸為例，純積分器觀測(cè)出的有效磁鏈可以描述為

ψat_Iβ（s）=1sEat_β（s）。（7）

將式（5）代入式（7）中，然后進(jìn)行拉普拉斯反變換，可以得到純積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器在時(shí)域中觀測(cè)出的β軸的有效磁鏈為

ψat_Iβ=E0t+E1cosφ1ω1+E1ω1sin（ω1t+φ1－π/2）+

∑∞n=2［Encosφnωn+Enωnsin（ωnt+φn－π/2）］。（8）

根據(jù)式（8）可知，觀測(cè)到的有效磁鏈中存在諧波分量，這會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)誤差的出現(xiàn)。除此之外，觀測(cè)到的有效磁鏈中存在隨著時(shí)間持續(xù)增大的直流分量E0t，這會(huì)導(dǎo)致磁鏈觀測(cè)器出現(xiàn)積分飽和的問(wèn)題，最終導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)失敗。因此，由純積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器難以應(yīng)用，實(shí)際應(yīng)用中通常采用一階低通濾波器代替純積分器來(lái)解決積分飽和問(wèn)題。

1.2 一階低通濾波器

由一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器可以描述為

ψat_LPF（s）=1s+ωcEat（s）。（9）

式中：ψat_LPF（s）=［ψat_LPFα（s） ψat_LPFβ（s）］T表示一階低通濾波器觀測(cè)出的有效磁鏈?zhǔn)噶康睦绽棺儞Q形式；ωc表示截止頻率。

以β軸為例，一階低通濾波器觀測(cè)出的有效磁鏈可以描述為

ψat_LPFβ（s）=1s+ωcEat_β（s）。（10）

將式（5）代入式（10）中，然后進(jìn)行拉普拉斯反變換，可以得到時(shí)域中觀測(cè)出的β軸的有效磁鏈為

ψat_LPFβ=E0ωc－E0ωce－ωct+E1cos（φ1+γ1）ω21+ω2ce－ωct+

∑∞n=2Encos（φn+γn）ω2n+ω2ce－ωct+

E1ω21+ω2csin（ω1t+φ1+γ1－π/2）+

∑∞n=2Enω2n+ω2csin（ωnt+φn+γn－π/2）。（11）

式中：γ1=arctan（ωc/ω1）；γn=arctan（ωc/ωn）。

根據(jù)式（11）可知，觀測(cè)到的有效磁鏈中的直流分量最終為E0/ωc，直流分量和諧波分量的幅值在一定程度上都存在衰減。積分器飽和的問(wèn)題得到了解決，然而直流分量和諧波分量的存在仍然會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)誤差。除此之外，基波分量產(chǎn)生了幅值衰減以及相位偏差，因此由一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器在實(shí)際應(yīng)用中必須采用相應(yīng)的補(bǔ)償策略。

1.3 二階廣義積分器

由二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器可以描述為

ψat_SOGI（s）=kω0s2+kω0s+ω20Eat（s）。（12）

式中：ψat_SOGI（s）=［ψat_SOGIα（s） ψat_SOGIβ（s）］T表示二階廣義積分器觀測(cè)出的有效磁鏈?zhǔn)噶康睦绽棺儞Q形式；ω0表示二階廣義積分器的中心頻率；k表示帶寬調(diào)整系數(shù)。

假設(shè)二階廣義積分器的中心頻率等于電機(jī)基波頻率，即ω0=ω1，則二階廣義積分器觀測(cè)出的β軸的有效磁鏈可以描述為

ψat_SOGIβ（s）=kω1s2+kω1s+ω21Eat_β（s）。（13）

將式（5）代入式（13）中，然后進(jìn)行拉普拉斯反變換，可以得到時(shí)域中觀測(cè)出的β軸的有效磁鏈［17］為

ψat_SOGIβ=kE0ω1+E1ω1sin（ω1t+φ1－π/2）+∑∞n=2Enωn（1－n2）2/k2n2+1sin（ωnt+φn+γn1）。（14）

式中γn1=arctan［nk/（n2-1）］。

根據(jù)式（14）可知，觀測(cè)到的有效磁鏈中的直流分量和諧波分量都存在一定程度上的幅值衰減，同時(shí)保證了基波分量無(wú)相位誤差以及幅值衰減。然而，直流分量的存在仍然會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)誤差。

經(jīng)過(guò)以上對(duì)3種磁鏈觀測(cè)器的分析，發(fā)現(xiàn)直流分量的有效消除仍然是有待解決的問(wèn)題。滿足消除直流分量、抑制諧波分量的同時(shí)保證基波分量無(wú)相位偏差以及幅值衰減是本文磁鏈觀測(cè)器的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

2 基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器

經(jīng)過(guò)1.3節(jié)中的分析可知，傳統(tǒng)的磁鏈觀測(cè)器并未有效地解決直流分量的問(wèn)題，仍有改進(jìn)的空間。本文采用具有通帶最大限度平坦特性的巴特沃斯帶通濾波器與純積分器結(jié)合構(gòu)建出改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器。本節(jié)中，首先，設(shè)計(jì)了基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的傳遞函數(shù)，其次，分析了基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器對(duì)直流分量以及高次諧波的抑制效果，最后，提出了基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的離散化結(jié)構(gòu)。

2.1 基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器

巴特沃斯濾波器又稱最平幅度特性濾波器［21］，具有在通頻帶內(nèi)的幅頻特性曲線最大限度平坦，阻頻帶內(nèi)逐漸下降為0的特性，被廣泛應(yīng)用于通信系統(tǒng)、圖像處理以及生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域。為了滿足磁鏈觀測(cè)器消除直流分量的設(shè)計(jì)要求，本文選用四階巴特沃斯帶通濾波器進(jìn)行磁鏈觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。

四階巴特沃斯帶通濾波器的傳遞函數(shù)為

GFBPF（s）=ω2cs2s4+Cωcs3+（2ω20+ω2c）s2+Cωcω20s+ω40。（15）

式中：C=1.414 2；ω0表示中心頻率，在應(yīng)用中為電機(jī)的估計(jì)角速度；ωc表示帶寬，在實(shí)驗(yàn)中采用ωc=Kω0，K用來(lái)控制帶寬。

當(dāng)中心頻率為50 Hz，K取不同值時(shí)，巴特沃斯帶通濾波器隨帶寬ωc變化時(shí)的伯德圖如圖1所示。當(dāng)K為1時(shí)，巴特沃斯帶通濾波器隨中心頻率變化時(shí)的伯德圖如圖2所示。

由圖1可知，隨著帶寬的增大，巴特沃斯帶通濾波器的通帶更加平坦，同時(shí)阻帶衰減速率減小。由圖2可知，巴特沃斯帶通濾波器在不同中心頻率處表現(xiàn)出相似的頻率特性，在實(shí)驗(yàn)中可以應(yīng)用于電機(jī)頻率連續(xù)變化的工況，實(shí)現(xiàn)頻率自適應(yīng)的帶通濾波效果。

將巴特沃斯帶通濾波器與純積分器結(jié)合即可得到本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器為

ψat_BTWS（s）=GBTWS（s）Eat（s）。（16）

式中：ψat_BTWS（s）=［ψat_BTWSα（s） ψat_BTWSβ（s）］T表示基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器觀測(cè)出的有效磁鏈?zhǔn)噶康睦绽棺儞Q形式；GBTWS（s）表示基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的傳遞函數(shù)，可表示為

GBTWS（s）=GFBPF（s）1s=ω2css4+Cωcs3+（2ω20+ω2c）s2+Cωcω20s+ω40。（17）

當(dāng)s=jω0時(shí)，式（17）可以化簡(jiǎn)為

GBTWS（s）=1s。（18）

根據(jù)式（18）可知，本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器可以實(shí)現(xiàn)純積分器的功能，因此可以觀測(cè)出有效磁鏈，進(jìn)而得到轉(zhuǎn)子位置信息。

2.2 巴特沃斯磁鏈觀測(cè)器性能分析

假設(shè)本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的中心頻率等于電機(jī)基波頻率，即ω0=ω1，則式（17）可改寫為

GBTWS（s）=ω2css4+Cωcs3+（2ω21+ω2c）s2+Cωcω21s+ω41。（19）

以β軸為例，基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器觀測(cè)出的有效磁鏈可以描述為

ψat_BTWSβ（s）=GBTWS（s）Eat_β（s）。（20）

對(duì)于基波分量，將s=jω1代入式（19）中可得

ω2css4+Cωcs3+（2ω21+ω2c）s2+Cωcω21s+ω41=1jω1=1ω1∠－π2。（21）

由式（4）可知，時(shí)域中的β軸的有效反電動(dòng)勢(shì)基波分量為E1sin（ω1t+φ1），結(jié)合式（21）可得，時(shí)域中觀測(cè)出的β軸的有效磁鏈中的基波分量為

ψat_BTWSβ_f=E1ω1sin（ω1t+φ1－π/2）。（22）

對(duì)于直流分量，結(jié)合式（5）、式（19）和式（20），采用終值定理，得到時(shí)域中觀測(cè)出的β軸的有效磁鏈中的直流分量為

lims→0s·ω2css4+Cωcs3+（2ω21+ω2c）s2+Cωcω21s+ω41E0s=0。（23）

對(duì)于諧波分量，將s=jωn=njω1和ωc=Kω1代入式（19）中可得

ω2css4+Cωcs3+（2ω20+ω2c）s2+Cωcω21s+ω41=∠γn2ωn［n4－K2n2－2n2+1］2+（CnK－Cn3K）2n4K2。（24）

式中γn2=arctan［（n4-K2n2-2n2+1）/（CnK-Cn3K）］。

由式（4）可知，時(shí)域中的β軸的有效反電動(dòng)勢(shì)諧波分量為Ensin（ωnt+φn），結(jié)合式（24）可得，時(shí)域中觀測(cè)出的β軸的有效磁鏈中的諧波分量為

ψat_BTWSβ_n=∑∞n=2Ensin（ωnt+φn+γn2）［n4－K2n2－2n2+1］2+（CnK－Cn3K）2n4K2ω2n。（25）

綜合以上分析，可得時(shí)域中觀測(cè)出的β軸的有效磁鏈為

ψat_BTWSβ=E1ω1sin（ω1t+φ1－π/2）+∑∞n=2Ensin（ωnt+φn+γn2）［n4－K2n2－2n2+1］2+（CnK－Cn3K）2n4K2ω2n。（26）

根據(jù)式（26）可知，觀測(cè)出的有效磁鏈中，直流分量被完全消除，基波分量無(wú)幅值衰減以及相位偏差，同時(shí)諧波分量也得到了很好地抑制，滿足磁鏈觀測(cè)器的設(shè)計(jì)要求。

為了更加直觀地比較本文所分析的4種磁鏈觀測(cè)器的效果，畫出4種磁鏈觀測(cè)器的伯德圖如圖3所示。由于磁鏈觀測(cè)器在中心頻率處的增益為1/ω0，為了伯德圖的效果更加直觀，將磁鏈觀測(cè)器的傳遞函數(shù)乘以系數(shù)ω0后再畫出伯德圖。圖3中，中心頻率為50 Hz，一階低通濾波器的截止頻率ωc為10 Hz，二階廣義積分器的帶寬調(diào)整系數(shù)k為2，基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的帶寬參數(shù)K為2，帶寬ωc為100 Hz。

根據(jù)圖3可以直觀地得到4種磁鏈觀測(cè)器的對(duì)比。純積分器的直流分量具有很高的增益，進(jìn)而導(dǎo)致積分飽和的問(wèn)題。一階低通濾波器可以在一定程度上衰減直流分量以及諧波分量，但是在基波處存在幅值衰減和相位偏差。二階廣義積分器可以衰減直流分量以及諧波分量，同時(shí)在基波處不會(huì)產(chǎn)生幅值衰減和相位偏差，然而他不能有效地消除直流分量。最后，本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器可以在消除直流分量的同時(shí)抑制諧波分量，并且實(shí)現(xiàn)在中心頻率處無(wú)幅值衰減和相位偏差。

2.3 離散化結(jié)構(gòu)

本文采用雙線性變換法對(duì)提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器進(jìn)行離散化處理。將s=2（1-z-1）/Ts（1+z-1）代入式（17）中可以得到離散化公式為

根據(jù)式（27）和式（28）可以設(shè)計(jì)出基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的離散化結(jié)構(gòu)，如圖4所示。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)整體框圖如圖5所示。為了驗(yàn)證本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的效果，在圖6所示的1.2 kW永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由1.2 kW永磁同步電機(jī)、逆變器、直流電源、示波器等組成。永磁同步電機(jī)的參數(shù)如表1所示。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用TMS320F28335作為主控芯片，IGBT開(kāi)關(guān)頻率設(shè)置為5 kHz。采用旋轉(zhuǎn)變壓器來(lái)獲取實(shí)際的轉(zhuǎn)子位置和速度信息，用于啟動(dòng)電機(jī)，啟動(dòng)后切換到無(wú)位置傳感器控制運(yùn)行，此時(shí)實(shí)際的轉(zhuǎn)子位置和速度信息用于與無(wú)位置傳感器控制估計(jì)出的轉(zhuǎn)子位置和速度信息進(jìn)行比較。由于純積分器存在積分飽和的問(wèn)題，因此本文只對(duì)傳統(tǒng)的一階低通濾波器、二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器以及基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較。磁鏈觀測(cè)器的帶寬選擇要考慮在估計(jì)的基波頻率波動(dòng)的情況下，同時(shí)能夠有效抑制DC和五、七次諧波，實(shí)驗(yàn)中磁鏈觀測(cè)器的參數(shù)選擇與圖3相同，控制系統(tǒng)中的鎖相環(huán)PLL按典型的二階系統(tǒng)來(lái)設(shè)計(jì)［8］。

3.1 穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)

本節(jié)中，對(duì)傳統(tǒng)的一階低通濾波器、二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器以及本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器的穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行比較。由于溫度升高以及AD采樣校正不準(zhǔn)確等問(wèn)題最終會(huì)導(dǎo)致逆變器的指令電壓中出現(xiàn)相應(yīng)的直流分量，因此，為了比較3種磁鏈觀測(cè)器對(duì)直流分量的抑制能力，在計(jì)算磁鏈時(shí)人為在α軸添加1 V的直流電壓。圖7和圖8分別給出了3種磁鏈觀測(cè)器在150 r/min半載條件下以及600 r/min滿載條件下估計(jì)出的有效磁鏈、轉(zhuǎn)子位置、轉(zhuǎn)子位置誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及估計(jì)出的α軸有效磁鏈的傅里葉分析結(jié)果。

在受直流分量影響方面，由圖7（d）可知，3種磁鏈觀測(cè)器在150 r/min半載條件下估計(jì)出的α軸有效磁鏈中直流分量的含量分別為21.1%、22.6%和0.08%。將實(shí)驗(yàn)所選參數(shù)代入式（11）和式（14）并對(duì)比可知，在電機(jī)轉(zhuǎn)速為150 r/min時(shí)，一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器抑制直流分量的能力比二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器稍強(qiáng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與公式相符。由直流分量的含量對(duì)比可知，在150 r/min半載條件下，一階低通濾波器以及二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器受直流分量影響較大，而本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器幾乎不受直流分量影響。在600 r/min滿載條件下，如圖8（d）所示的3種磁鏈觀測(cè)器估計(jì)出的α軸有效磁鏈中直流分量的含量分別為15.67%、6.79%和0.06%，一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器受直流分量影響最大，本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器受直流分量影響最小，僅為0.06%，符合圖3的理論分析結(jié)果。

在受高次諧波影響方面，由圖7（d）可知，3種磁鏈觀測(cè)器在150 r/min半載條件下估計(jì)出的α軸有效磁鏈中五次諧波的含量分別為0.87%、0.33%和0.09%，七次諧波的含量分別為0.56%、0.15%和0.02%。由圖8（d）可知，3種磁鏈觀測(cè)器在600 r/min滿載條件下估計(jì)出的α軸有效磁鏈中五次諧波的含量分別為1.79%、0.55%和0.4%，七次諧波的含量分別為0.44%、0.14%和0.09%。顯然，相比較而言，在負(fù)載條件下，一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器受諧波分量影響最大，本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器受諧波分量影響最小，符合圖3的理論分析結(jié)果。

在轉(zhuǎn)子位置誤差方面，估計(jì)出的α軸有效磁鏈中的直流分量和諧波分量會(huì)影響轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)，最終導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)誤差。由圖7（a）、（b）和（c）可知，3種磁鏈觀測(cè)器在150 r/min半載條件下的轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差峰峰值分別是29°、34°和4.6°，一階低通濾波器、二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器受直流分量以及諧波分量的影響較大，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差峰峰值較大，本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器受直流分量以及諧波分量的影響最小，轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差峰峰值最小。在600 r/min滿載條件下，如圖8（a）、（b）和（c）所示，3種磁鏈觀測(cè)器的轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差峰峰值分別是20°、10.5°和4°，一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器受直流分量以及諧波分量的影響最大，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差峰峰值最大，而本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器可以有效地抑制直流分量以及諧波分量，幾乎不受直流分量以及諧波分量的影響，轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差峰峰值最小。

值得注意的是，如圖7（a）和圖8（a）所示，一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器在150 r/min和600 r/min時(shí)估計(jì)出的轉(zhuǎn)子位置分別存在40°和9°的穩(wěn)態(tài)誤差。由式（11）中γ1的表達(dá)式可知，隨著電機(jī)運(yùn)行頻率的升高，一階低通濾波器產(chǎn)生的相位誤差減小，因此轉(zhuǎn)子位置估計(jì)穩(wěn)態(tài)誤差減小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與公式相符。由圖7（b）、（c）和圖8（b）、（c）可知，二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器以及本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器估計(jì)出的轉(zhuǎn)子位置不存在穩(wěn)態(tài)誤差，說(shuō)明觀測(cè)器對(duì)基波信號(hào)不產(chǎn)生相位偏移誤差，同時(shí)也體現(xiàn)了頻率自適應(yīng)的效果。

綜上所述，對(duì)比3種磁鏈觀測(cè)器的效果可知，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器消除直流分量和抑制諧波分量的效果最好，轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差最小，同時(shí)在基波處不產(chǎn)生相位誤差，可以實(shí)現(xiàn)頻率自適應(yīng)的效果。

3.2 動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)

本節(jié)中，通過(guò)速度斜坡實(shí)驗(yàn)以及負(fù)載階躍實(shí)驗(yàn)對(duì)3種磁鏈觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行驗(yàn)證。圖9給出了3種磁鏈觀測(cè)器在空載條件下速度指令從200→600→200 r/min時(shí)的速度波形以及轉(zhuǎn)子位置誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由于3種磁鏈觀測(cè)器都能很好地估計(jì)出速度，因此速度波形未重復(fù)給出。圖10給出了3種磁鏈觀測(cè)器在600 r/min負(fù)載指令從空載到額定負(fù)載然后再返回空載時(shí)的速度波形、相電流波形以及轉(zhuǎn)子位置誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由于3種磁鏈觀測(cè)器都能很好的估計(jì)出速度，因此速度波形和相電流波形未重復(fù)給出。

由圖9可知，3種磁鏈觀測(cè)器的最大轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差分別是36°、3.5°和2.9°。一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器存在隨速度升高而顯著減小的穩(wěn)態(tài)誤差，二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器以及本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器不存在穩(wěn)態(tài)誤差，轉(zhuǎn)子位置誤差受速度影響較小。由圖10可知，3種磁鏈觀測(cè)器的最大轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差分別是15°、2.8°和2.3°。一階低通濾波器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器存在穩(wěn)態(tài)誤差，并且隨著負(fù)載增大而增大，二階廣義積分器構(gòu)成的磁鏈觀測(cè)器以及本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器不存在穩(wěn)態(tài)誤差，轉(zhuǎn)子位置誤差受負(fù)載影響較小。

綜上所述，速度斜坡實(shí)驗(yàn)和負(fù)載階躍實(shí)驗(yàn)證明了本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于巴特沃斯帶通濾波器與積分器結(jié)合的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器以提高對(duì)直流分量以及諧波分量的抑制能力。本文提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器可以實(shí)現(xiàn)純積分器的功能，具有完全消除直流分量，抑制諧波分量的能力，同時(shí)保證了基波分量無(wú)幅值衰減和相位誤差，能夠?qū)崿F(xiàn)頻率自適應(yīng)的效果。本文通過(guò)詳細(xì)的數(shù)學(xué)分析以及伯德圖證明了巴特沃斯磁鏈觀測(cè)器的效果，同時(shí)還提出了磁鏈觀測(cè)器的離散化結(jié)構(gòu)。最后，本文通過(guò)穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)證明了提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器具有出色的消除直流分量以及抑制諧波分量的能力，轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)準(zhǔn)確度高，同時(shí)通過(guò)速度斜坡實(shí)驗(yàn)和負(fù)載階躍實(shí)驗(yàn)證明了提出的基于巴特沃斯結(jié)構(gòu)的改進(jìn)磁鏈觀測(cè)器具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

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（編輯：劉琳琳）